华师大版九年级上期中数学常考试题60题(解析版)

【文库独家】华师大版九年级（上）期中数学常考试题60题参考答案与试题解析一、选择题（共20小题）1．（常考指数：62）小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5mB．0.55mC．0.6mD．2.2m考点：相似三角形的应用；比例的性质．专题：应用题．分析：在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．解答：解：设小刚举起的手臂超出头顶是xm根据同一时刻物高与影长成比例，得，x=0.5．故选：A．点评：能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解．2．（常考指数：62）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．考点：一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入方程进行检验，即可得到满足题意a的值．解答：解：∵一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，∴将x=0代入方程得：a2﹣1=0，解得：a=1或a=﹣1，将a=1代入方程得二次项系数为0，不合题意，舍去，则a的值为﹣1．故选：B．点评：此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3．（常考指数：61）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上，但有限D．有无数个考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：分类讨论．分析：两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答．解答：解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为．所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，第一种是，解得x=5；第二种是，解得x=．所以可以有2个．故选：B．点评：本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识．本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题．4．（常考指数：66）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是（）A．m＜1B．m＞﹣1C．m＞1D．m＜﹣1考点：根的判别式．专题：判别式法．分析：方程没有实数根，则△＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．解答：解：由题意知，△=4﹣4m＜0，∴m＞1故选：C．点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．5．（常考指数：65）方程x2=4x的解是（）A．x=4B．x=2C．x=4或x=0D．x=0考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：本题可先进行移项得到：x2﹣4x=0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．解答：解：原方程可化为：x2﹣4x=0，提取公因式：x（x﹣4）=0，∴x=0或x=4．故选：C．点评：本题考查了运用提取公因式的方法解一元二次方程的方法．6．（常考指数：69）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．考点：同类二次根式．专题：常规题型．分析：根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．解答：解：A、=2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误；B、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；D、=3，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．7．（常考指数：70）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（）A．580（1+x）2=1185B．1185（1+x）2=580C．580（1﹣x）2=1185D．1185（1﹣x）2=580考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．解答：解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得出方程为：1185（1﹣x）2=580．故选：D．点评：本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．8．（常考指数：88）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1考点：根的判别式；一元二次方程的定义．专题：判别式法．分析：方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．解答：解：由题意知：k≠0，△=36﹣36k＞0，∴k＜1且k≠0．故选：C．点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．注意到二次项系数不等于0这一条件是解题的关键．9．（常考指数：92）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A．8B．10C．8或10D．不能确定考点：等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．专题：计算题．分析：先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．解答：解：∵方程x2﹣6x+8=0的解是x=2或4，（1）当2为腰，4为底时，2+2=4不能构成三角形；（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长=4+4+2=10．故选：B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．10．（常考指数：92）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．解答：解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．∴cos∠AOB===．故选：A．点评：本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．11．（常考指数：105）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24B．24或8C．48D．8考点：一元二次方程的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理．专题：几何图形问题；分类讨论．分析：本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式S=×底×高求出面积．解答：解：x2﹣16x+60=0⇒（x﹣6）（x﹣10）=0，∴x=6或x=10．当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．∴高h==2，∴S△=×8×2=8；当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．∴S△=×6×8=24．∴S=24或8．故选：B．点评：本题考查了三角形的三边关系．看到此类题目时，学生常常会产生害怕心理，不知如何下手答题，因此我们会在解题时一步一步地计算，让学生能更好地解出此类题目．12．（常考指数：128）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5考点：根的判别式．专题：判别式法．分析：由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．解答：解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．13．（常考指数：196）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6B．（x+2）2=9C．（x﹣1）2=6D．（x﹣2）2=9考点：解一元二次方程-配方法．专题：方程思想．分析：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解答：解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴（x﹣1）2=6．故选：C．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．14．（常考指数：42）下列说法正确的是（）A．“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨B．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上C．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖D．抛一枚正方体骰子朝正面的数为奇数的概率是0.5“表示如果这个骰子抛很多很多次，那么平均每2次就有1次出现朝正面的数为奇数考点：概率的意义．分析：根据概率的意义作答．解答：解：A、应该是降雨的可能性有80%，而不是有80%的时间降雨，故A错误；B、每次试验都有随机性，2次就有1次出现正面朝上，不一定发生，故B错误；C、当购买彩票的次数不断增多时，中奖的频率逐渐稳定1%附近，故C错误；D、说法正确．故选：D．点评：本题考查了概率的意义，概率只是反映事件发生的可能性的大小．15．（常考指数：59）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．专题：常规题型．分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：C、∵==；∴它不是最简二次根式．故选：C．点评：最简二次根式应该根号里没分母（或小数），分母里没根式，被开方数中不含开得尽方的因式或因数．16．（常考指数：30）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据勾股定理可以求出AB=5，根据三角函数的定义即可求得cosB的值．解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴根据勾股定理AB=5．∴cosB==．故选：A．点评：本题主要考查了勾股定理以及余弦函数的定义：直角三角形中邻边与斜边的比．17．（常考指数：52）下列计算正确的是（）A．B．C．D．考点：二次根式的加减法．专题：计算题．分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式．解答：解：A、原式=2﹣=，故A正确；B、C都不是同类项，不能合并，D、2=，故D错误．故选：A．点评：本题主要考查了二次根式的加减．18．（常考指数：44）如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC的长为（）A．米B．米C．6•cos52°米D．考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：根据三角函数的定义解答．解答：解：∵cos∠ACB===cos52°，∴AC=米．故选：D．点评：本题是一道实际问题，要将其转化为解直角三角形的问题，用三角函数解答．19．（常考指数：23）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：EC=2：3，则S△DEF：S△ABF=（）A．2：3B．4：9C．2：5D．4：25考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．解答：解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，CD=AB．∴△DFE∽△BFA，∴S△DEF：S△ABF=DE2：AB2，∵DE：EC=2：3，∴DE：DC=DE：AB=2：5，∴S△DEF：S△ABF=4：25故选：D．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．20．（常考指数：14）已知：a=，b=，则a与b的关系为（）A．a=bB．ab=1C．ab=﹣1D．a=﹣b考点：分母有理化．专题：计算题．分析：将b化简得﹣（），可知a、b的关系．解答：解：b==﹣（），而a=，所以a与b的关系为a=﹣b．故选：D．点评：本题主要考查了二次根式的分母有理化的方法．二、填空题（共20小题）21．（常考指数：34）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．考点：二次根式有意义的条件．专题：常规题型．分析：根据二次根式的性质可求出x的取值范围．解答：解：若二次根式在实数范围内有意义，则：x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．点评：主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．22．（常考指数：35）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出+++…+=1﹣．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题．分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．解答：解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，∴△A1B1C的面积为1×．∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积﹣△A1B1C的面积==1﹣；∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积﹣△A2B2C的面积=﹣=．…，∴第n个四边形的面积==．故+++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（）=1﹣．故答案为：，1﹣．点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．23．（常考指数：37）计算：×﹣=2．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先做乘法，再化简，最后合并．解答：解：原式=﹣=3﹣=2．故答案为：2．点评：二次根式的混合运算，仿照实数的运算顺序进行，先乘除，再加减．24．（常考指数：38）如果最简二次根式与能合并，那么a=1．考点：同类二次根式．专题：常规题型．分析：根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．解答：解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为：1．点评：本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．25．（常考指数：41）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是3200（1﹣x）2=2500．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：本题可根据：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．解答：解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2=2500，故答案为：3200（1﹣x）2=2500．点评：本题考查降低率问题，由：原售价×（1﹣降低率）2=降低后的售价可以列出方程．26．（常考指数：42）若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=5．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：判别式法．分析：欲求a+b的值，先把x=3代入一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0，求出a，再由根与系数的关系，求得b，代入数值计算即可．解答：解：把x=3代入一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0，解得：a=3，由根与系数的关系得3+b=﹣=5，解得：b=2，∴a+b=3+2=5．故答案为：5．点评：此题主要考查了根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．27．（常考指数：43）在实数范围内因式分解：x4﹣4=（x2+2）（x+）（x﹣）．考点：实数范围内分解因式．专题：计算题；压轴题．分析：先运用平方差公式，分解成（x2+2）（x2﹣2），再把x2﹣2写成x2﹣，符合平方差公式的特点，可以继续分解．解答：解：x4﹣4=（x2+2）（x2﹣2）=（x2+2）[x2﹣]=（x2+2）（x+）（x﹣）．故答案为：（x2+2）（x+）（x﹣）．点评：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．28．（常考指数：45）化简：=．考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：根据二次根式的性质解答．解答：解：原式=|﹣2|=2﹣．故答案为：2﹣．点评：解答此题，要弄清性质：=|a|，去绝对值的法则．29．（常考指数：49）已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是Rt△ABC的两条边的长，则Rt△ABC的第三边长为5或．考点：解一元二次方程-因式分解法；勾股定理．专题：分类讨论．分析：解方程可以求出两根，即直角三角形的两边，利用勾股定理就可以求出第三边．解答：解：方程x2﹣7x+12=0的两个根是3和4．也就是Rt△ABC的两条边的长是3和4．当3和4都是直角边时，第三边==5．当4为斜边时，第三边=．故第三边长是5或．故答案为：5或．点评：知道直角三角形的两边，要分第三边是斜边或直角边两种情况讨论．30．（常考指数：54）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m=0的一个根为1，则方程的另一根为﹣2．考点：根与系数的关系．分析：将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出另一根的值．解答：解：设方程的另一根为x1，又∵x=1，则，解方程组可得．故答案为：﹣2．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，列方程组时要注意各系数的正负，避免出错．31．（常考指数：62）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是144．考点：相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：根据平行可得出三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，设其中一边为一求知数，然后计算出最大的三角形与最小的三角形的相似比，从而求面积比．解答：解：过M作BC平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、G，∵△1、△2的面积比为4：9，△1、△3的面积比为4：49，∴它们边长比为2：3：7，又∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，∴DM=BG，EM=CH，设DM为2x，∴BC=（BG+GH+CH）=12x，∴BC：DM=6：1，S△ABC：S△FDM=36：1，∴S△ABC=4×36=144．故答案为：144．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．32．（常考指数：66）若，则=．考点：等式的性质．专题：计算题．分析：根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．解答：解：根据等式的性质：两边都加1，，则=，故答案为：．点评：本题主要考查等式的性质，观察要求的式子和已知的式子之间的关系，从而利用等式的性质进行计算．33．（常考指数：68）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m=﹣2．考点：一元二次方程的解．分析：一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将x=0代入方程式即得．解答：解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．故答案为：m=﹣2．点评：此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．34．（常考指数：162）观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来（n≥1）．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：观察分析可得：=（1+1）；=（2+1）；…则将此题规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来解答：解：∵=（1+1）；=（2+1）；∴=（n+1）（n≥1）．故答案为：=（n+1）（n≥1）．点评：本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是根据数据的规律得到=（n+1）（n≥1）．35．（常考指数：15）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为﹣b．考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．专题：计算题．分析：由数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，原式化简为|a+b|+a，去掉绝对值符号得出﹣a﹣b+a，合并同类项即可．解答：解：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，∴+a，=|a+b|+a，=﹣a﹣b+a，=﹣b，故答案为：﹣b．点评：本题考查了二次根式的性质与化简和实数与数轴的应用，解此题的关键是根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|，题目比较典型，是一道比较好的题目．36．（常考指数：17）化简：=．考点：二次根式的加减法．专题：计算题．分析：根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．解答：解：=3﹣2+=．故答案为：．点评：此题考查了二次根式的加减运算．注意首先将各二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．37．（常考指数：11）若x2﹣2px+q=（x+）2﹣，则p=﹣，q=﹣．考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：此题考查了配方法，解题时要注意常数项的求得，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．解答：解：∵x2﹣2px+q=x2﹣2px+p2﹣p2+q=（x﹣p）2+q﹣p2=（x+）2﹣∴p=﹣，q﹣p2=﹣∴p=﹣，q=﹣．故答案为：﹣，﹣点评：此题考查了学生学以致用的能力，解题时要注意常数项的求解方法．38．（常考指数：28）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若△ABC的周长为12cm，则△DEF的周长是6cm．考点：三角形中位线定理．专题：计算题．分析：根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半．解答：解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE=BC，EF=AB，DF=AC，∴△DEF的周长=（AB+BC+AC）=×12=6cm．故答案为：6．点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．39．（常考指数：26）如图，D、E两点分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：∠1=∠B或∠2=∠C或=，使得△ADE∽△ABC．考点：相似三角形的判定．专题：压轴题；开放型．分析：△ADE和△ABC中，∠A为公共角，再找出一组对应角相等或者夹∠A的两边对应成比例就可以得到两三角形相似．解答：解：∵∠EAD=∠CAB∴当∠1=∠B或∠2=∠C或=时，△ADE∽△ABC．此题答案不唯一．故答案为：∠1=∠B或∠2=∠C或=（答案不唯一）．点评：熟练掌握三角形相似的判定方法是解决本题的关键，也是本题考查的重点．40．（常考指数：52）直线y=x+3上有一点P（m﹣5，2m），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．考点：一次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标．专题：计算题．分析：先根据已知条件求得m的值，再根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即可求得P′的坐标．解答：解：∵点P（m﹣5，2m）是直线y=x+3上的点，∴2m=m﹣5+3，即m=﹣2；那么P点的坐标是（﹣7，﹣4），则P点关于原点的对称点P′的坐标为（7，4）．故答案为：（7，4）．点评：本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．三、解答题（共20小题）41．（常考指数：36）如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有暗礁的危险？考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：计算题．分析：过点P作PC⊥AB于C点，在Rt△PBD和Rt△PAC中，根据三角函数AC、BC就可以PC表示出来，在直角△PAC中，根据三角函数，就得到一个关于PC的方程，求得PC．进而判断如果海轮不改变方向继续前进有没有暗礁的危险．解答：解：过点P作PC⊥AB于C点，根据题意，得AB=18×=6（海里），∠PAB=90°﹣60°=30°，∠PBC=90°﹣45°=45°，∠PCB=90°，∴PC=BC在Rt△PAC中tan30°==即，解得PC=（+3）海里，∵+3＞6，∴海轮不改变方向继续前进无触礁危险．点评：本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键．42．（常考指数：38）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6m，DN=0.6m．（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；（2）求标杆EF的影长．考点：相似三角形的应用．专题：计算题；作图题．分析：解此题要借助于相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，还要注意数形结合思想与方程思想的应用．解答：解：（1）如右图．（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH=xm，由AB∥CD∥OH得，即，解得x=1.2．设FG=ym，同理得，即，解得y=0.4．所以EF的影长为0.4m．点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了方程的思想．43．（常考指数：38）计算：（π﹣1）0++﹣2．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：按照实数的运算法则依次计算；考查知识点：负指数幂、零指数幂、绝对值、二次根式的化简．解答：解：原式=1+2+（﹣5）﹣2=3+3﹣5﹣2=﹣2．点评：传统的小杂烩计算题．涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．44．（常考指数：41）如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．解答：解法一：原图经过平移转化为图1．设道路宽为X米，根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）=540．整理得x2﹣52x+100=0．解得x1=50（不合题意，舍去），x2=2．答：道路宽为2米．解法二：原图经过平移转化为图2．设道路宽为x米，根据题意，20×32﹣（20+32）x+x2=540整理得x2﹣52x+100=0．解得x1=50（不合题意，舍去），x2=2．答：道路宽为2米．点评：对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．45．（常考指数：57）解方程：x2﹣3x﹣1=0考点：解一元二次方程-公式法．专题：计算题．分析：此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．解答：解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x1=，x2=．点评：此题考查了学生的计算能力，解题的关键是准确应用公式．46．（常考指数：57）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：原方程的左边含有公因式（x﹣3），可先提取公因式，然后再分解因式求解．解答：解：（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0（x﹣3）（x﹣3+2x）=0（x﹣3）（3x﹣3）=0解得：x1=3，x2=1．点评：只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．47．（常考指数：68）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解；（2）先求出单位面积所需资金，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．解答：解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，整理，得：x2+3x﹣1.75=0，∵a=1，b=3，c=﹣1.75，∴b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1.75）=16，解之，得：x==，∴x1=0.5，x2=﹣3.5（舍去），答：每年市政府投资的增长率为50%；（2）到2012年底共建廉租房面积=9.5÷（万平方米）．答：到2012年的共建设了38万平方米廉租房．点评：主要考查了一元二次方程的实际应用，本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．48．（常考指数：95）已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．考点：解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系．专题：计算题；证明题．分析：若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．解答：证明：（1）∵a=2，b=k，c=﹣1∴△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+8，∵无论k取何值，k2≥0，∴k2+8＞0，即△＞0，∴方程2x2+kx﹣1=0有两个不相等的实数根．解：（2）把x=﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1=0∴k=1∴原方程化为2x2+x﹣1=0，解得：x1=﹣1，x2=，即另一个根为．点评：本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．49．（常考指数：30）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．考点：概率的意义．专题：计算题．分析：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．解答：解：（1）50×+30×+20×=11.875（元）；（2）∵11.875元＞10元，∴选择转转盘．点评：关键是得到转一次转盘得到奖券的平均金额．50．（常考指数：14）随着社会经济的发展，汽车逐渐走入平常百姓家．某数学兴趣小组随机抽取了我市某单位部分职工进行调查，对职工购车情况分4类（A：车价40万元以上；B：车价在20﹣40万元；C：车价在20万元以下；D：暂时未购车）进行了统计，并将统计结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图．请结合图中信息解答下列问题：（1）调查样本人数为50，样本中B类人数百分比是20%，其所在扇形统计图中的圆心角度数是72°；（2）把条形统计图补充完整；（3）该单位甲、乙两个科室中未购车人数分别为2人和3人，现从这5个人中选2人去参观车展，用列表或画树状图的方法，求选出的2人来自不同科室的概率．考点：条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．专题：计算题．分析：（1）根据调查样本人数=A类的人数除以对应的百分比．样本中B类人数百分比=B类人数除以总人数，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数=B类人数的百分比×360°．（2）先求出样本中B类人数，再画图．（3）画树状图并求出选出的2人来自不同科室的概率．解答：解：（1）调查样本人数为4÷8%=50（人），样本中B类人数百分比（50﹣4﹣28﹣8）÷50=20%，B类人数所在扇形统计图中的圆心角度数是20%×360°=72°故答案为：50，20%，72°．（2）如图，样本中B类人数=50﹣4﹣28﹣8=10（人）（3）画树状图为：共有20种可能的结果数，其中选出选出的2人来自不同科室占12种，所以选出的2人来自不同科室的概率==．点评：此题主要考查了条形统计图，扇形统计图及树状图求概率，根据题意吧了解统计表中的数据是解决问题的关键．51．（常考指数：21）先化简后求值，其中．考点：分式的化简求值；分式的基本性质；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：分解因式的同时把除法转化成乘法，进行约分，再算减法，把x代入进行化简即可．解答：解：原式=﹣•=﹣=，当时，原式=====﹣1．点评：本题主要考查对分式的基本性质，约分、通分，最简分式，最简公分母，分式的加减、乘除，分式的化简求值，二次根式的化简求值等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．52．（常考指数：12）（1）﹣72+2×（﹣3）2+（﹣6）÷（﹣）2（2）2﹣6﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；有理数的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）先算乘方，72=49，（﹣3）2=9，=，再算乘法和除法，最后合并即可；（2）先把根式化成最简二次根式，同时求出=2，再合并同类二次根式即可．解答：（1）解：原式=﹣49+2×9+（﹣6）×9=﹣49+18﹣54=﹣85；（2）解：原式=4﹣6×﹣2=4﹣2﹣2=2﹣2．点评：本题考查了二次根式的化简、负指数幂、有理数的运算，注意运算顺序：先算乘方、再算乘除、最后算加减，题目比较典型，是一道比较好的题目．53．（常考指数：25）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°，BC=2；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．考点：相似三角形的判定；勾股定理．专题：压轴题；网格型．分析：（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．解答：（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC===2；故答案为：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF．∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=∴==，==．∴△ABC∽△DEF．点评：此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．54．（常考指数：13）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE．（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．（写出你添加的条件，不要求证明）考点：三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定．专题：计算题；压轴题．分析：（1）连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，推出EF=HG，EF∥HG即可；（2）根据三角形的中位线定理得到EF=AC，GF=BD，AC=BD，推出EF=GF，由（1）即可推出答案．解答：解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．证明：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，GF=BD，∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）添加的条件是AC=BD．点评：本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能求出四边形是平行四边形是证此题的关键．55．（常考指数：59）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（﹣1，1）．（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；（3）△A′B′C′与△ABC是位似图形，请写出位似中心的坐标：（0，0）；（4）顺次连接C、C1、C′、C2，所得到的图形是轴对称图形吗？考点：作图-位似变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换；作图-旋转变换．专题：作图题．分析：（1）将A、B、C按平移条件找出它的对应点A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到平移后的图形△A1B1C1；（2）利用中心对称的性质，作出A1、B1、C1，关于原点的对称点A2、B2、C2，顺次连接A2B2，B2C2、C2A2，即得到关于原点对称的三角形；（3）利用对应点所在直线都经过位似中心，即可解决问题；（4）观察图形，会找到两条对称轴，所以是轴对称图形．解答：解：画出平移后的图形，画出旋转后的图形，写出坐标（0，0），答：“是轴对称图形”．点评：本题的关键是作各个关键点的对应点．56．（常考指数：72）计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值．专题：计算题；压轴题．分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式==．点评：本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是