苏教版数学必修四讲义第2章2.22.2.2向量的减法Word版含答案

向量的减法学习目标核心素养(教师独具)1.理解向量减法的意义及减法法则．(重点)2.掌握向量减法的几何意义．(难点)3.能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算核心素养.向量的减法(1)向量减法的定义若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)向量的减法法则如图所示，以O为起点，作向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up12(→))＝a－b，即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b.1．思考辨析(1)eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\o(PQ,\s\up12(→)).()(2)若－b与a同向，则a－b与a同向．()(3)向量的减法不满足结合律．()[解析](1)×.eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\o(QP,\s\up12(→))；(2)√.－b与a同向，则a－b＝－b＋a与a同向．(3)×.如(a－b)＋c＝a＋(c－b)．[答案](1)×(2)√(3)×2．化简eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))等于________．0[eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝0.]3．化简eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(QP,\s\up12(→))＋eq\o(PS,\s\up12(→))＋eq\o(SP,\s\up12(→))的结果等于________．eq\o(OQ,\s\up12(→))[eq\o(OP,\s\up12(→))－eq\o(QP,\s\up12(→))＋eq\o(PS,\s\up12(→))＋eq\o(SP,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋eq\o(PS,\s\up12(→))＋eq\o(SP,\s\up12(→))－eq\o(QP,\s\up12(→))＝eq\o(OP,\s\up12(→))＋eq\o(PQ,\s\up12(→))＝eq\o(OQ,\s\up12(→)).]向量减法的几何作图【例1】如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.思路点拨：根据相反向量及三角形法则求作．[解]法一：先作a－b，再作(a－b)－c即可．如图①所示，以A为起点分别作向量eq\o(AB,\s\up12(→))和eq\o(AC,\s\up12(→))，使eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，连结CB，得向量eq\o(CB,\s\up12(→))，再以C为起点作向量eq\o(CD,\s\up12(→))，使eq\o(CD,\s\up12(→))＝c，连结DB，得向量eq\o(DB,\s\up12(→)).则向量eq\o(DB,\s\up12(→))即为所求作的向量a－b－c.法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.(1)作eq\o(AB,\s\up12(→))＝－b和eq\o(BC,\s\up12(→))＝－c；(2)作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，则eq\o(OC,\s\up12(→))＝a－b－c.求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量.1．如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，则eq\o(CB,\s\up12(→))＝a＋b－c.向量减法法则的应用【例2】(1)化简下列式子：①eq\o(NQ,\s\up12(→))－eq\o(PQ,\s\up12(→))－eq\o(NM,\s\up12(→))－eq\o(MP,\s\up12(→))；②(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))．(2)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AC,\s\up12(→))＝b，eq\o(AE,\s\up12(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(BD,\s\up12(→)).思路点拨：(1)充分利用减法的运算律求解．(2)寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．[解](1)①原式＝eq\o(NQ,\s\up12(→))＋eq\o(QP,\s\up12(→))－(eq\o(NM,\s\up12(→))＋eq\o(MP,\s\up12(→)))＝eq\o(NP,\s\up12(→))－eq\o(NP,\s\up12(→))＝0.②(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→)))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝0.(2)因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AE,\s\up12(→))＝c；eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝b－a＋c.1向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点.2用几个基本向量表示其他向量的技巧：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果.2．如图所示，已知eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，eq\o(OE,\s\up12(→))＝e，eq\o(OF,\s\up12(→))＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：(1)eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))；(2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))；(3)eq\o(BF,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)).[解](1)eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))，∵eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，∴eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))＝d－b.(2)∵eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))＋(eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→)))，eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，eq\o(OC,\s\up12(→))＝c，eq\o(OF,\s\up12(→))＝f，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝b＋f－a－c.(3)eq\o(BF,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(DF,\s\up12(→))＝eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))，∵eq\o(OF,\s\up12(→))＝f，eq\o(OD,\s\up12(→))＝d，∴eq\o(BF,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))＝f－d.|a－b|与a，b之间的关系[探究问题]1．若a与b共线，怎样作出a－b?提示：①当a与b同向且|a|≥|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up12(→))＝a－b；②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up12(→))＝a－b；③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，则Beq\o(A,\s\up12(→))＝a－b.2．结合探究问题1的图示及向量的减法法则，探究|a－b|与a，b之间的大小关系？提示：当a与b不共线时，有：||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|；当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|；当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.【例3】已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.思路点拨：|a＋b|＝|a－b|→判断a与b的位置关系→求|a－b|的值．[解]如图，设eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD.则eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up12(→))＝a－b，因为|a＋b|＝|a－b|，所以|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝|eq\o(DB,\s\up12(→))|.又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形．故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝8，由勾股定理得|eq\o(DB,\s\up12(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up12(→))|2＋|\o(AD,\s\up12(→))|2))＝eq\r(62＋82)＝10，所以|a－b|＝10.1．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，则两条对角线表示的向量为eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up12(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up12(→))＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．3．已知向量a，b，满足|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝eq\r(3)，求|a－b|.[解]在▱ABCD中，使eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，则eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up12(→))＝a－b.由于|a|＝|b|＝1，所以ABCD为菱形，且AC⊥BD，交点为O，∴AO＝eq\f(\r(3),2)，AB＝1，OB＝eq\r(AB2－AO2)＝eq\f(1,2)，∴BD＝2BO＝1，即|a－b|＝1.教师独具1．本节课的重点是相反向量、向量减法的运算以及利用已知向量表示未知向量，难点是利用已知向量表示未知向量．2．要掌握向量减法的三个问题(1)向量的减法运算；(2)向量减法及其几何意义；(3)利用已知向量表示未知向量．3．掌握用已知向量表示某向量的基本步骤第一步：观察各向量的位置；第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．1．在平行四边形ABCD中，下列结论不正确的是()A.eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→)) B.eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(DC,\s\up12(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→)) D.eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BD,\s\up12(→))D[∵ABCD是平行四边形，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))，∴eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))，故A正确；又eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(DC,\s\up12(→))＝0，故B正确；又eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))，∴eq\o(AD,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BA,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，故C正确；又eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(DB,\s\up12(→))≠eq\o(BD,\s\up12(→))，故D错误．]2．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.02[若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0.又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1.∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.]3．如图，在四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up12(→))＝________.a＋c－b[由三角形法则可知eq\o(DC,\s\up