重庆高考数文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，，则（）A.B.C.D.【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】集合的表达（列举法），求集合的并集与补集.【参考答案】D【试题分析】先求出两个集合的并集，再结合补集的概念求解.2．命题“对任意，都有”的否定为（）A.对任意，都有B.不存在，都有C.存在，使得D.存在，使得【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】含有量词的命题否定，直接求该命题的否定.【参考答案】D【试题分析】根据含有一个量词的命题进行否定的方法直接写出故“对任意，都有”的否定是“存在，使得”3．函数的定义域为（）A.B.C.D.【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给定函数式，使每个部分有意义，求其定义域.【参考答案】C【试题分析】利用函数有意义的条件直接运算求解.故选C4．设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（）A.6B.4C.3D.2【测量目标】直线与圆的位置关系、动点间距离最值问题.【考查方式】给出圆与直线的方程，利用数形结合求两图形上动点的最短距离.【参考答案】B【试题解析】圆心与定直线的最短距离为，又圆的半径为2，故所求最短距离为62=4.5．执行如题5图所示的程序框图，则输出的的值是（）A.3B.4C.5D.6【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】考查循环结构的流程图，注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的值，输出.【参考答案】C【试题解析】利用循环结构相关知识直接运算求解.第5题图6．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22,30）内的概率为（）A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6【测试目标】茎叶图.【考查方式】题给出茎叶图，直接求解.【参考答案】B【试题分析】利用频率及茎叶图的知识直接求解，由题意知，这10个数据落在区间内的有22,22,27,29四个，所以频率为0.47．关于的不等式（）的解集为，且：，则或解得或（步骤2）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）设数列满足：，，．（1）求的通项公式及前项和；（2）已知是等差数列，为前项和，且，，求．【测量目标】等比数列、等差数列的通项公式及前项和公式.【考查方式】给定，与的关系，去求的通项公式及前项和，再根据与的关系，求.【试题分析】根据等比，等差数列的通项公式及前项和公式直接求解.解：（1）由题设知是首项为1，公比为3的等比数列，.（步骤1）故（步骤2）17．（本小题满分13分，（1）小问9分，（2）、（3）小问各2分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【测量目标】线性回归方程，利用线性回归方程解决实际应用问题.【考查方式】给出月收入与月储蓄，求解其线性回归方程，并判断两者之间的相关性，给定数据代入线性回归方程求解.【试题分析】根据线性回归方程相关知识直接运算求解.解：（1）由题意知（步骤1）（步骤2）故所求线性回归方程为（步骤3）（2）由于变量的值随值的增加而增加，故与之间是正相关.（步骤4）（3）将带入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千元）（步骤5）18．（本小题满分13分，（1）小问4分，（2）小问9分）在△中，内角、、的对边分别是、、，且．（1）求；（2）设，为的面积，求的最大值，并指出此时的值．【测量目标】利用正余弦定理解决有关角度问题.【考查方式】给出三角形三边的数量关系，求其中一角;再给出其中一边具体数值情况下，计算所给函数式的值，并求其中角的数值.【试题分析】利用正、余弦定理及差角三角函数直接运算解答.解（1）由余弦定理得.（步骤1）又因为（步骤2）（2）由（1）得又由正弦定理及得（步骤3）当取最大值3（步骤4）19．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）如题（19）图，四棱锥中，⊥底面，，，．（1）求证：⊥平面；（2）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．【测量目标】线线-线面垂直的判定以及三棱锥体积的求解.【考查方式】（1）给出四棱锥的图形，给出其中部分直线的位置与代数关系及部分角，线线垂直推出线面垂直（2）再给出一条棱上的比例关系，求三棱锥体积.【试题分析】运用线面垂直的性质和判定证明平面利用割补法求三棱锥体积.证明：因为所以为等腰三角形.（步骤1）又.（步骤2）因为底面.（步骤3）从而与平面内两条相交直线都垂直,平面（步骤4）（2）解三棱锥的底面的面积（步骤5）平面（步骤6）由，得三棱锥的高为，故（步骤7）所以（步骤8）20．（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）．（1）将表示成的函数，并求该函数的定义域；（2）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．【测量目标】函数的实际运用，函数的定义域，导数在实际问题中的应用.【考查方式】根据题意列出函数方程式，求其定义域；结合导数研究函数的单调性及最值问题。【试题分析】根据数量关系列出函数关系式，并利用导数研究函数的单调性与最值.解（1）因为蓄水池侧面的总成本为（元），底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为（）元.又根据题意，又由故函数的定义域为（） 令解得（因为不在定义域内，舍去）.当故在上为增函数；当故在上为减函数.由此可知，在处取得最大值，此时.即当时，该蓄水池的体积最大.21．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）如题21图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．（1）求该椭圆的标准方程；（2）取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程．【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置关系，三角形的面积最值.【考查方式】给定图形，椭圆的离心率及值，求解椭圆的方程，利用椭圆的性质求三角形面积及内切圆的标准方程【试题分析】（1）利用离心率及点在椭圆上求出椭圆的标准方程；（2）设未知数表示出的面积，利用函数求最值解决.