数学高中人教A版必修4学案3.2简单的三角恒等变换（第二课时）Word版含解析

第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换(第二课时)学习目标进一步掌握三角恒等变换的方法,如何利用正弦、余弦、正切的和差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.合作学习一、复习回顾,承上启下1.两角和与差公式cos(α-β)=

cos(α+β)=

sin(α-β)=

sin(α+β)=

tan(α+β)=

tan(α-β)=

2.二倍角公式sin2α=

cos2α=

=

=

tan2α=

3.两角和与差公式、二倍角公式的逆用(1)降幂公式2cos2α=

2sin2α=

(2)辅助角公式asinx+bcosx=

注:

二、典例分析,性质应用【例1】如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π3的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积【例2】利用三角公式化简sin50°(1+3tan10°).【例3】已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若x∈[0,π2],求f(x)的最大、最小值三、变式演练,深化提高1.已知函数f(x)=12sin2xsinφ+cos2xcosφ-12sin(π2+φ)(0<φ<π),其图象过点((1)求φ的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在[0,π4]2.已知向量m=(sinx,1),n=(3Acosx,A2cos2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6(1)求A;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0,5π四、反思小结,观点提炼布置作业课本P147复习参考题A组第10,11,12,13题;B组第6,7,8题.参考答案二、典例分析,性质应用【例1】解:在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα,在Rt△OAD中,DAOA=tan60°=3所以OA=33DA=33BC=33所以AB=OB-OA=cosα-33sinα设矩形ABCD的面积为S,则S=AB·BC=(cosα-33sinα)sinα=sinαcosα-33sin=12sin2α+36cos2α-36=13(32=13sin(2α+π6)-由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以当2α+π6=π2,因此,当α=π6时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为3【例2】解:原式=sin50°(1+3sin10°cos10°)=sin50°·2(12cos10°【例3】解:(1)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+π4所以,f(x)的最小正周期T=2π2=(2)因为x∈[0,π2],所以2x+π4∈[π当2x+π4=π4时,cos(2x+π当2x+π4=π时,cos(2x+π4)取得最小值-所以,f(x)在[0,π2]上的最大值为1,最小值为-2三、变式演练,深化提高1.解:(1)因为f(x)=12sin2xsinφ+cos2xcosφ-12sin(π2+φ)(0<φ所以f(x)=12sin2xsinφ+1+cos2x2cosφ-=12sin2xsinφ+12cos2x=12(sin2xsinφ+cos2xcosφ=12cos(2x-φ又函数图象过点(π6所以12=12cos(2×即cos(π3-φ)=1又0<φ<π所以φ=π3(2)由(1)知f(x)=12cos(2x-π3),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)g(x)=f(2x)=12cos(4x-π因为x∈[0,π4所以4x∈[0,π],因此4x-π3∈[-π故-12≤cos(4x-π3)≤所以y=g(x)在[0,π4]上的最大值和最小值分别为12和-2.解:(1)f(x)=m·n=3Acosxsinx+A2cos2x=32Asin2x+A2cos2x=Asin(2则A=6.(2)函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度得到函数y=6sin[2(x+π12)+π6]=6sin(2x+π3)的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=6sin(当x∈[0,5π24]时,4x+π3∈[π3,7π6],sin(4x+π3)∈[-12,1],g(故函数g(x)在[0,5π24]上的值域为[-3,6另解:由g(x)=6sin(4x+π3)可得g'(x)=24cos(4x+π3),令g'(x)=则4x+π3=kπ+π2(k∈Z),而x∈[0,5π24],于是g(0)=6sinπ3=33,g(π24)=6sinπ2=6,g(5π24)=故-3≤g(x)≤6,即函数g(x)在[0,5π24]上的值域为[-3,6四、反思小结,观点提炼1.本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现了生活的数学和“活”的数学.2.在学习中要切实掌握公式之间的内在联系,把握各个公式的结构特征,要善于变通,体现一个活字,明确各个公式的适用范围.3.在解三角问题时,要确立模型意识,根据具体问题运用函数与方程的思想,构造相关的函数或方程来解题.4.掌握