浙江省丽水市四校联考2023-2024学年高二数学第一学期期末预测试题含解析

浙江省丽水市四校联考2023-2024学年高二数学第一学期期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.2．下列三个命题：①“若，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则”；②若事件A与事件B互斥，则；③设命题p：若m是质数，则m一定是奇数，那么是真命题；其中真命题的个数为（）A.3 B.2C.1 D.03．青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（）A. B.C. D.4．设是数列的前项和，已知，则数列（）A.是等比数列，但不是等差数列 B.是等差数列，但不是等比数列C.是等比数列，也是等差数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列5．胡萝卜中含有大量的胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素，现从，两个品种的胡萝卜所含的胡萝卜素（单位：）得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是A. B.的方差大于的方差C.品种的众数为 D.品种的中位数为6．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（）A.255 B.257C.127 D.1297．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类以及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A.4 B.5C.6 D.78．设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（）A. B.C.24 D.489．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于，，且，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.10．过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为（）A. B.2C. D.411．已知，则下列说法中一定正确的是（）A. B.C. D.12．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和为石，则“衰分比”为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数有三个零点，则正实数a的取值范围为_________14．在数列中，，，记是数列的前项和，则=___.15．为增强广大师生生态文明意识，大力推进国家森林城市建设创建进程，某班26名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵（各自挖坑种植），相邻两棵树相距均为10米，在同学们挖坑期间，运到的树苗集中放置在了某一树坑旁边，然后每位同学挖好自己的树坑后，均从各自树坑出发去领取树苗．记26位同学领取树苗往返所走的路程总和为，则的最小值为______米16．已知函数，，对一切，恒成立，则实数的取值范围为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点及圆，点P是圆B上任意一点，线段的垂直平分线l交半径于点T，当点P在圆上运动时，记点T的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与曲线E分别交于点C、D、M、N，且四边形是菱形，求该菱形周长的最大值18．（12分）已知O为坐标原点，点P在抛物线C：上，点F为抛物线C的焦点，记P到直线的距离为d，且.（1）求抛物线C的标准方程；（2）若过点的直线l与抛物线C相切，求直线l的方程.19．（12分）已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.（1）求双曲线的焦点坐标；（2）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.20．（12分）已知圆C：x2+y2+2ax﹣3＝0，且圆C上存在两点关于直线3x﹣2y﹣3＝0对称.（1）求圆C的半径r；（2）若直线l过点A（2，），且与圆C交于MN，两点，|MN|＝2，求直线l的方程.21．（12分）已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点（1）求P点的轨迹C的方程；（2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值22．（10分）已知为等差数列，是各项均为正数的等比数列的前n项和，，，，在①；②；③．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择的第一个解答计分）（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】构造利用导数判断函数在上单调递减，利用单调性比较大小【详解】设恒成立，函数在上单调递减，.故选：B2、B【解析】写出逆否命题可判断①；根据互斥事件的概率定义可判断②；根据写出再判断真假可判断③.【详解】对于①，“，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则”，故①错误；对于②，满足互斥事件的概率求和的方法，所以②为真命题；③命题p：若m是质数，则m一定是奇数.2是质数，但2是偶数，命题p是假命题，那么真命题故选：B.3、B【解析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于的人数，由茎叶图可知视力小于等于的有5人，故选：B4、B【解析】根据与的关系求出通项，然后可知答案.【详解】当时，，当时，，综上，的通项公式为，数列为等差数列同理，由等比数列定义可判断数列不是等比数列.故选：B5、C【解析】读懂茎叶图，分别计算出众数、中位数、方差，然后对各选项进行判断【详解】由茎叶图知，品种所含胡萝卜素普遍高于品种，所以，故A正确；品种的数据波动比品种的数据波动大，所以的方差大于的方差，故B正确；品种的众数为与，故C错误；品种的数据的中位数为，故D正确.故选.【点睛】本题主要考查了对数据的分析，首先要读懂茎叶图，然后计算出众数、中位数、方差，即可对各选项进行判断，较为基础6、C【解析】由题设可得，再由即可求值.【详解】由数列是公比为2的等比数列，且，∴，即，∴.故选：C.7、C【解析】按照分层抽样的定义进行抽取.【详解】按照分层抽样的定义有，粮食类：植物油类：动物性食品类：果蔬类=4:1:3:2，抽20个出来，则粮食类8个，植物油类2个，动物性食品类6个，果蔬类4个，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是6个.故选：C.8、C【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,,所以,所以.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.9、D【解析】直线的斜率为，计算，，利用余弦定理得到，化简知，得到答案【详解】由题意知直线的斜率为，，又，由双曲线定义知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故双曲线渐近线的方程为.故答案选D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，与圆的关系，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.10、A【解析】求出椭圆的通径，即可得到结果【详解】过椭圆的左焦点作弦，则最短弦的长为椭圆的通径：故选：A11、B【解析】AD选项，举出反例即可；BC选项，利用不等式的基本性质进行判断.【详解】当，时，满足，此时，故A错误；因，所以，，，B正确；因为，所以，，故，C错误；当，时，满足，，，所以，D错误.故选：B12、A【解析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，则，，解得：，，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求导易得函数有两个极值点和，根据题意，由求解.【详解】由，可得函数有两个极值点和，，，若函数有三个零点，必有解得或故答案为：14、930【解析】当为偶数时，，所以数列前60项中偶数项的和，当为奇数时，，因此数列是以1为首项，公差为2等差数列，前60项中奇数项的和为，所以.考点：递推数列、等差数列.15、【解析】根据对称性易知：当树苗放在第13或14个坑，26位同学领取树苗往返所走的路程总和最小，再应用等差数列前n项和的求法求26位同学领取树苗往返所走的路程总和.【详解】将26个同学对应的26个坑分左右各13个坑，∴根据对称性：树苗放在左边13个坑，与放在对称右边的13个坑，26个同学所走的总路程对应相等，∴当树苗放在第13个坑，26位同学领取树苗往返所走的路程总和最小，此时，左边13位同学所走的路程分别为，右边13位同学所走的路程分别为，∴最小值为米.故答案为：.16、【解析】通过分离参数，得到关于x的不等式；再构造函数，通过导数求得函数的最值，进而求得a的取值范围【详解】因为，代入解析式可得分离参数a可得令（）则，令解得所以当0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上单调递减当1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范围为【点睛】本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出，即可（2）设的方程为，，，，，设的方程为，，，，，分别联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，求得，，运用菱形和椭圆的对称性可得，关于原点对称，结合菱形的对角线垂直和向量数量积为0，可得，设菱形的周长为，运用基本不等式，计算可得所求最大值【小问1详解】点在线段的垂直平分线上，，又，曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆设曲线的方程为，，，曲线的方程为【小问2详解】设的方程为，，，，，设的方程为，，，，，联立可得，由可得，化简可得，①，，，同理可得，因为四边形为菱形，所以，所以，又因为，所以，所以，关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以，关于原点对称，，也关于原点对称，所以且，所以，，，，因为四边形为菱形，可得，即，即，即，可得，化简可得，设菱形的周长为，则，当且仅当，即时等号成立，此时，满足①，所以菱形的周长的最大值为【点睛】关键点点睛：在处理此类直线与椭圆相交问题中，一般先设出直线方程，联立方程，利用韦达定理得出，，再具体问题具体分析，一般涉及弦长计算问题，运算比较繁琐，需要较强的运算能力，属于难题。18、（1）；（2）或.【解析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；（2）根据直线l是否存在斜率分类讨论，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【小问1详解】因为，所以P到直线的距离等于，所以抛物线C的准线为，所以，，所以抛物线C的标准方程为；【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，方程为，此时直线l恰与抛物线C相切当直线l的斜率存在时，设其方程为，联立方程，得若，显然不合题意；若，则，解得此时直线l的方程为综上，直线l与抛物线C相切时，l的方程为或.19、（1）；（2）.【解析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的焦点坐标；（2）先求出的值，再解方程得解.【详解】（1）因为双曲线的方程为，所以.所以.所以.所以双曲线的焦点坐标分别为.（2）因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，所以.因为点为抛物线上一点，所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.因为点到拋物线的焦点的距离是5，即，所以.【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、（1）r＝2（2）x﹣2＝0或x+﹣3＝0【解析】（1）由已知根据对称性可知直线m过圆心C.代入后可求a，进而可求半径；（2）先求出圆心到直线l的距离，然后结合直线与圆相交的弦长公式可求.【小问1详解】解：圆C的标准方程为，圆心为.因为圆C关于直线m对称，所以直线m过圆心C.将代入，解得.此时圆C的标准方程为，半径r＝2.【小问2详解】解：设圆心到直线距离为d，则d＝＝＝1，①当直线l斜率不存在时，直线方程l为x＝2，符合条件.②当直线l斜率存在时，设直线l方程为y﹣＝k（x﹣2），即x﹣y﹣2k+＝0，所以圆心C到直线l的距