2023-2024学年福建省三明市一中高三上学期10月月考数学试题及答案VIP

三明一中2023-2024学年高三月考1数学学科试卷（总分150分，时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Axx2Bxx0，则ARðB21.设全集为R，若集合，（）x1x2x2xB.A.Cx1x2x2xD.z2.若z1，则（）zz11313A.1B.1C.iD.i33332，则“3”是“a//b”的（）R，向量ab，3.已知A.必要不充分条件C.充分必要条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2023π14.已知sin，则的值为（）π23713791D.A.B.C.935.在中，已知B120，，2，则（）A.1B.2C.5D.3的前项和为，若，1，则有（）n12SnN*anS16.已知数列nnn为等差数列为等比数列anaA.C.B.D.n为等差数列为等比数列SnSnsinx,0x17.已知函数fx，若实数a，b，c互不相等，且fafbfc，则abc的log2023x,x1取值范围是（）202420232023D.A.B.C.第1页/共5页2πfxxcosx上单调，则的取值范0)π,π8.已知函数在3上存在最值，且在3围是（）2358235111746,,A.B.C.D.3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.在中，ABsinAsinBB.在锐角中，不等式sinAcosB恒成立C.在中，若aAbB，则必是等腰直角三角形D.在中，若B600，b2ac，则必是等边三角形10.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果P当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（0A.点P第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米π30π3th4t2D.点P距离水面的高度h（米）与（秒）的函数解析式为的前项积为，且，则下列结论正确的是（）anTn1111.已知正项等比数列nTTT114A.若B.若，则，则68TTT7n68第2页/共5页TTTT78C.若D.若，则67TTTT78，则67xxya与曲线y相交于A，B两点，与曲线yx相交于B，C两点，A，B，C的12.已知直线exxxx3横坐标分别为，，.则（）122ae2x21xC.3e2xx2xD.13A.B.2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列的前n项和为，若aS12anSa，则___________.8n2614.已知，则，，x3y，x3y的最小值为__________．27733，则2______，______.15.已知，均为锐角，cos，sin1416.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，bCcB2，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，OA0，则下列说法中正确的命题有______.（填序号）ABAC6；ABACBC0①若，则②若CA在CB方向上的投影向量为CB，则PQ10的最小值为；4③若点P为BC的中点，则0；ABAC为定值18.BC0APABAC，则④若ABAC四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设ABa，ADb．（1）用向量a，b表示和；第3页/共5页（2）若AD2，BAD60，求cosAFB．18.如图，在平面四边形ABCD中，ABAD,ABAD3,BC2．2，求sinADC；（1）若CD（2）若C45，求四边形ABCD的面积．12319.已知数列满足：a，数列aa，是以4为公差的等差数列．2n1naa1n2（1）求数列的通项公式；an1（2）记数列nS的前项和为，求S的值．nan12xRmx,sinx，nx,3xfxmn，设函数20.已知向量，（1）求函数的单调递增区间；fxcfA（2）设，，分别为b的内角，B，的对边，若AC2，bc22，的面积a1a为，求的值．2na是首项为的等比数列，数列满足anbnnnaa9a，已知，，成等差数列.12321.设13（1）求和的通项公式；abnn和的前项和，求和STabnST.n（2）记和分别为nnnnnππfxesinxecosxx,22.已知函数.22（1）求证：fxfx4；（2）求函数的极值.fx第4页/共5页三明一中2023-2024学年高三月考1数学学科试卷（总分150分，时间：120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Axx2Bxx0，则RAðB21.设全集为R，若集合，（）x1x2x2xB.A.C.x1x2x2xD.【答案】B【解析】ðBR【分析】分别求出集合A，B，的区间，根据交集的定义求解即可.A2,2，BðB【详解】由题意，，，RðAB2,1；R故选：B.z2.若z1，则A.1（）zz11313B.1C.iD.i3333【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】z1zz(11134.z113izz1333故选：C23”是“a//b”的（R，向量ab3.已知，，则“）A.必要不充分条件B.充分不必要条件第1页/共21页C.充分必要条件【答案】BD.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断.3210，即60【详解】若向量a//b，则2解得：2或33”是“a//b”的充分不必要条件.所以“故选：B2023π14.已知sin，则的值为（π）23713791D.A.B.C.93【答案】C【解析】13cos【分析】利用诱导公式可求得，再用诱导公式即可求解.2023π3π3π21【详解】因为sinsin1010πsincos，2231cosπ所以.3故选：C.B1205.在中，已知，，AB2，则（）A.1B.2C.5D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.c,b,a【详解】设，结合余弦定理：b2a2c22acB可得：19a242accos120，即：a2a3a52a150，解得：（3.故第2页/共21页故选：D.【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．的前项和为，若，n12SnN*，则有（）anSn116.已知数列nn为等差数列为等比数列anaA.C.B.D.n为等差数列为等比数列SnSn【答案】D【解析】n1a1SSaSaa1，得到1【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据nn1nnn2nn123,n22n13Sn即可判断CD选项.【详解】由题意，数列的前项和满足2SnNn，annan1*a2Snan1an2SnSn12a当n2时，，两式相减，可得，nn1a21n13n22，所以2，可得n1n，即，又由a11，当n1时，a221nn1所以数列的通项公式为an，故数列既不是等差数列也不是等比数列，所以aABnann223,n2错.1San1n1时，111，适合上式，当n2时，，又由nn12S所以数列的前项和为Sn1n；又由n13，所以数列S为公比为3的等比数列，故D正nannSn确，C错.故选：D.sinx,0x17.已知函数fxfafbfcabc，则的，若实数a，b，c互不相等，且log2023x,x1取值范围是（）第3页/共21页202420232023D.A.B.C.【答案】A【解析】ab1c及fafbfc【分析】根据函数的解析式作出函数的图象，根据结合函数的对称性可得abc的范围，从而求解的范围.sinx,0x1fx【详解】作出函数的图象如图：log2023x,x1fafbfcm设，且abc，yfx与直线ym的三个交点从左到右依次为a,mc,m，b,m则函数，，1则点a,m与b,m在函数上，而函数ysinx关于直线对称，ysinxx0,1x21ab21log2023x1x2023得，所以，由21c2023，fafbfc0m2023若满足，则，所以2abc2024，即abc所以的取值范围是.故选：A.2πfxxcosx上单调，则的取值范0)π,π8.已知函数在3上存在最值，且在3围是（）23582353111746,,A.B.C.D.【答案】B第4页/共21页【解析】π3x【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间2xπ,π上进行单调分析；3π6fxxcosxx【详解】因为，πππππ当0x时，因为0，则x，36636π因为函数在fx上存在最值，3πππ，解得则当2，32π622πππxπx时，，336662π3因为函数在fx,π上单调，2ππ6ππ2,π,πkZ，则3622πππ,32122362πkZkZkk所以其中，解得，π3π,62321237kkk所以，解得，23又因为0，则k2．2k00当时，；353当k1时，1；58k2当时，．235823又因为2，因此故选：B．的取值范围是,．第5页/共21页【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心；二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.在中，ABsinAsinBsinAcosBB.在锐角中，不等式恒成立C.在中，若aAbB，则必是等腰直角三角形D.在中，若B600，b2ac，则必是等边三角形【答案】ABD【解析】【分析】中，由正弦定理可得sinAsinBabAB对于选项A在BAB0sinAsin(B)BC在锐角222aAbBsin2Asin2B2A2B2A2B或在2c2acB，代入已知可得即可判断出正误；对于选项D在中，利用余弦定理可得：b2a2ac，又B60，即可得到的形状，即可判断出正误.B，可得：ab，利用正弦定理可得：sinAsinB【详解】对于A，由A，正确；AB(0,)对于B，在锐角中，，，2ABAB0，，222sinAsin(B)cosBsinAcosB，因此不等式恒成立，正确；2对于C，在aAbB，利用正弦定理可得：sinAAsinBB中，由，sin2Asin2B，A，B(0,)，2A2B或2A2B，AB或AB，2是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误.对于D，由于B600，bac，由余弦定理可得：b22aca2cac2，第6页/共21页acACB60，故正确(ac)20可得，解得，可得.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.10.如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果P当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（0A.点P第一次到达最高点需要20秒B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米π30π3th4t2D.点P距离水面的高度h（米）与（秒）的函数解析式为【答案】ABC【解析】t【分析】根据题意求出点P距离水面的高度h（米）和时间（秒）的函数解析式为ππ306h4sint2，结合选项依次判断即可.t【详解】设点P距离水面的高度h（米）和时间（秒）的函数解析式为πAsinthBA，2hAB6A4hAB2B22π2ππT=60解得由题意得：=T300B0h0Asinπ6第7页/共21页ππ306h4sint2．故D错误；故ππ306对于A，令h6，即h4sint2，解得：t20，故A正确；ππ306对于B，令t155，代入h4sint2，解得：h2，故B正确；ππ306对于C，令t，代入h4sint2，解得：，故正确．h2C故选：ABC的前项积为，且，则下列结论正确的是（n）an1111.已知正项等比数列nTTT114A.若B.若C.若D.若，则，则，则，则68TTTTn768TTT8767TTT8767【答案】ABD【解析】【分析】根据题意结合等比数列的通项公式及其性质，逐项分析得出数列的单调性，即可得出结论.an【详解】不妨设正项等比数列的公比为q,q0，所以，nN；anaaqn1*n1TTaa1，由等比数列性质可得78aaaaaa1对于A，若，则，681278Taaaaaa1所以可得对于B，若aa，即A正确；1，又11，所以0q1；1412781314TTaaaq61q712，可得68781aa1aa17所以，又，可得，87788aa,aa<1TT，所以B正确；n7因此可得，即1278TTaaq61，又11q对于C，若对于D，若，可得，可得，因此的大小无法判断，所以C错误；6771TTaaq6<1，又1，所以可得10q1a为递减数列；n，即数列6771第8页/共21页8787<1，即7T<可得，所以D正确；8故选：ABDxxyayyB，C两点，A，B，C的12.已知直线与曲线相交于A，B两点，与曲线相交于exxxxx，.则（3横坐标分别为，）122ae2x21x3e2xx2xD.132A.B.C.【答案】ACD【解析】xgx0112ex3x项逐一判断，即可得到结果.x1xfxfxfx0，可得x1，令【详解】设，得，exex单调递增，fx，则函数f(x)>0当x1时，fx0，则函数fx单调递减，当x1时，1e有极大值，即最大值.x1时，fxfxf1则当x1xxe，则，gxgxgx0设，得，令xx2xe单调递增，gx0，则函数gx当当时，xe时，gx0单调递减，gx，则函数1xe时，有极大值，即最大值，gxfegx则当e2e20x1xexaxae2，得，故A正确；2从而可得.由12312212f1f2，由又，得，即e1e1e20x1xe021，，得12又在上单调递增，则fx12，故B错误；第9页/共21页233e233xgx.3ge由，得，即2e2e2又12ex，得e2e，3又在e,上单调递减，则e23，故C正确；gx2x2xx2xxxe2xa，e由前面知，，得，又由123132e222ae22axxxx22x132132x.故D正确.2得，，则，213故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.的前项和为，若Sn，则aa2S612813.已知等差数列n___________.n【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差即可计算作答.anaad1123【详解】设等差数列的公差为，则有21，解得1，anda,dS6a15d123611323所以817d故答案为：5，，x3y，则x3y75.14.已知的最小值为__________．【答案】6【解析】，，x3y，【详解】试题分析：由已知x3y911(x3y)29（x3x3yx3y时，取“=”则此时{则于×，当且仅当，由x3y334x30x3y66，解得y1，,故答案为．考点：1.基本不等式；2.方程组的解法.2773315.已知，均为锐角，cos，sin，则2______，______.14第10页/共21页17π【答案】【解析】①.②.3cos2的正弦值即可【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出.27【详解】因为cos，71cos22cos12所以，7π，则π，又因，均为锐角，所以,2π2ππ,，sin43，所以12，所以22733141314，所以cos1sin2又因sin，43131337147143则sin2sin2cos2sin，2π所以.31π故答案为：；.73bCcB2，若点P16.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c，是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，0，则下列说法中正确的命题有______.（填序号）ABAC6；ABACBC0①若，则②若CA在PQ10方向上的投影向量为，则的最小值为；CBCB4③若点P为BC的中点，则0；ABAC为定值18.BC0AP，则④若ABAC【答案】①③④【解析】第11页/共21页PQ时，取得最小值，计算可得；对于③，根据向量加法结合律律及平行四边形法则计算可得；对于④，根据向量数量积运算律计算即可.【详解】如图，设BC的中点为E，连接QE，∵bCcB2，由余弦定理可得：a2b2ab2c2a2c2b22a2bc2，∴2，∴a2，2ac2a2，2又0，∴，∴∴，ABACBC0对于①，∵又E为中点，∴，∴20，∴，11a1，22又ABc10，∴AE1013，AB2BE226∴，故①正确；方向上的投影向量为对于②，∵CA在，∴，CBCB又Q是AC的中点，P在BC上，∴当时，PQ最小，12102此时，故②错误；对于③，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵，∴OQOP，∴0，故③正确；ABACBC0，∴对于④，∵的平分线与BC垂直，ABAC∴是以BC为底边的等腰三角形，∴，又由①分析知AE3，2∴根据向量数量积的几何意义知APAEAE9，APABACAP2AE2APAE2918∴，故④正确．第12页/共21页故答案为：①③④．【点睛】关键点点睛：设BC的中点为E，连接QE，根据0，得出决本题的关键.是解四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，AE交BD于点F，设ABa，b．（1）用向量a，b表示和；（2）若2，BAD60，求cosAFB．121313abab【答案】（1），7（2）14【解析】DFDE121）在菱形ABCD中，根据E是CD的中点，∥，，结合向量的线性BFAB运算可得答案；FAFB,FB,FA（2）用AD,AB表示向量FB,FA，然后分别求得，再由平面向量的夹角公式求解．【小问1详解】DFDE12ABCD中，E是CD的中点，∥，则在菱形，BFAB112AEADADABab,2111111(ABAD)ABADab.333333【小问2详解】第13页/共21页223FB2ADAB因为，313222FAFBBAADABBAADAB，333ABCD2，BAD60，又为菱形，22292312242FAFBADABADABADABADAB所以333994224922222260，9992892232494169422AD，，39322231491428927322AD，，399FAFB7cosAFB所以.14FAFB18.如图，在平面四边形ABCD中，ABAD,ABAD3,BC2．2，求sinADC；（1）若CD（2）若C45，求四边形ABCD的面积．213【答案】（1）813（2）2【解析】1）连接后由余弦定理与两角和的正弦公式求解（2）由余弦定理与面积公式求解【小问1详解】第14页/共21页RtABD连接，在中，222，AB3ADBADB且tanADB，，所以．26AD32CD2244222234在△BCD中，由余弦定理得，2BDCD2347所以BDC1．4所以6733142213sinADCsinBDCsinBDCBDCsin66428【小问2详解】在△BCD中，由余弦定理得BD2CD2BC2BC，4即20，解得CD13或132121212ABCDS的面积为SABDSABADBCsin3所以四边形413满足：a2，，数列an1an是以4为公差的等差数列．a119.已知数列n22（1）求数列的通项公式；an1nSS的前项和为，求（2）记数列的值．nan1an2n12n3【答案】（1）2200（2）199【解析】1）利用等差数列的通项公式，结合累和法进行求解即可；第15页/共21页（2）运用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】an1aaa4n4n2；n21根据题意可得当nnN时，24n6n11an1an1an2a21anana1221212n122n12n3，211a1an2n12n3又符合上式，所以；22【小问2详解】1211，2n12n32n32n1an1111112001991001113197199fxmn12x,sinxnx,3xxR，m20已知向量，，设函数（1）求函数的单调递增区间；fxfA2的面积abc的内角A，B，C的对边，若，bc22，（2）设，，分别为12a，求的值．为ππ6π,π，kZ【答案】（1）3（2）a=3-1【解析】π6fxsin2x11单调递增区间；πA，结合三角形面积公式求出bc2（2）在（1）基础上，求出【小问1详解】，进而由余弦定理求出答案.6mx,sinxx,3xn，，第16页/共21页1212fxmncos2x3sinxx1cos2x3113sin2xcos2xsin2x122222π6sin2x1πππ2π2x2πkZ，令，262πππxπkZ，解得，36ππ\f(x)π,πkZ的单调递增区间是，63【小问2详解】π6fxsin2x由（1）知：1fA2，π6π6sin2A12sin2A1，即0Aπ，02A2π，ππ13π∴2A，666ππ2A，62πA，6ABC12的面积为，111bcsinAbc，解得bc2，242bc22，由余弦定理得a2cbcA2b2b2c223bc)2bc238423423a0，第17页/共21页a42331，综上所述，结论是：a=3-1.na是首项为的等比数列，数列满足anbnnn1，a2，93，已知成等差数列21.设1.3（1）求和的通项公式；abnn和的前项和，求和TnSTnabSn（2）记和分别为n.nnn1nnanbn【答案】（1），；1n312n34n34S)，n（2）.nn2【解析】1）设出等比数列的公比，利用等差中项列式求解即可.an（2）由（1）的结论，利用等比数列前n项和公式及错位相减法求和得解.【小问1详解】设的公比为q，则aqn1，ann1a1，a，9a6aa9a，则有9q26q10q由成等差数列