考点11三角函数的图像与性质

考点11三角函数的图像与性质1.【2023天津】已知函数fx的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则fx的解析式可能为

(

)A.sinπ2x B.cosπ2x【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了正弦及余弦函数的对称性及周期性，属于基础题．

由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式．【解答】

解：由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T=2ππ2=4，C选项中T=2ππ4=8，排除选项CD，对于A选项，当x=2时，函数值sinπ2×2=0，故对于B选项，当x=2时，函数值cosπ2×2故选：B．2.【2023全国乙卷】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(π6,2π3)单调递增，直线x=πA.−32 B.−12 【答案】D

【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，是基础题．先由题意求出函数的周期，得到ω的值，再由单调区间即可求解．【解答】解：由题意，函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T满足2π3−π6=当x=π6时，f(x)可取φ=7π6，则故选：D3.【2022浙江】为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+π5A.向左平移π5个单位长度 B.向右平移π5个单位长度

C.向左平移π15个单位长度 D.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了三角函数图象的平移，属于基础题。

利用y=2sin⁡(3x+π【解答】

解：y=2sin⁡(3x+π5)=2sin⁡[3(x+π15)]

即向右平移π154.【2022全国甲卷】将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ωA.16 B.14 C.13【答案】C

【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，及三角函数奇偶性，难度一般．

由函数平移得到g(x)=sin⁡(ωx+π2ω+π【解答】

解：记g(x)为f(x)向左平移π2个单位后得到的曲线，

则g(x)=f(x+π2)=sin⁡(ωx+π2ω+π3)，

由g(x)关于y轴对称，可得：π2ω+π5.【2022北京】已知函数f(x)=cos2x−sin2A.f(x)在(−π2,−π6)上单调递减 B.f(x)在(−π4,π12)上单调递增【答案】C

【解析】【分析】本题考查判断余弦型函数的单调性，二倍角的余弦公式，属于基础题．【解答】

解：f(x)=cos2x−sin2x=cos2x，

选项A中：2x∈(−π,−π3)，此时f(x)单调递增，

选项B中：2x∈(−π2,π6)，此时f(x)6.【2021新高考Ⅰ卷】下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是A.(0,π2) B.(π2,π)【答案】A

【解析】【分析】本题考查正弦型函数单调性，是简单题．

本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．【解答】解：令−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ，k∈Z．

则−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z．7.【2021全国乙卷】函数f(x)=sinx3+cosA.3π和2 B.3π和2 C.6π和2 D.6π【答案】C

【解析】【分析】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．【解答】

解：∵f(x)=sinx3+cosx3=2sin(x3+π4)，

∴最小正周期T=2π13=6π8.【2021全国乙卷】把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−πA.sin(x2−7π12) B.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，属基础题．

由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，得出结论．【解答】

解：∵把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，

再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，

∴把函数y=sin(x−π4)的图像，向左平移π3个单位长度，

得到y=9.【2021北京】函数f(x)=cosx−cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值

A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2

C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为【答案】D

【解析】【分析】本题考查三角函数的奇偶性，余弦型函数的最值问题，属于中档题．

根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；再利用三角换元将函数转化为二次函数，然后利用二次函数的性质求出函数最值．【解答】

解：函数f(x)=cosx−cos2x，定义域为R，

∵f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx−cos2x，

∴f(−x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数；

当x∈R时，−1⩽cosx⩽1，令t=cosx，

10.【2020新高考Ⅰ卷】如图是函数y=sinωx+φ的部分图象，则sinωx+φ=(

)

A.sin (x+π3) B.sin (π【答案】BC

【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象，考查逻辑推理能力，属于中档题．

借助图象分别求出ω,φ，结合诱导公式即可判断．【解答】

解：由图象可知T=2π|ω|=2(2π3−π6)=π，故A错误;

解得ω=±2，

点(5π12,−1)在函数图象上，

当ω=2时，2×5π12+φ=−π2+2kπ,k∈Z，

解得φ=−4π3+2kπ,k∈Z，故选BC．11.【2022北京】若函数f(x)=Asinx−3cosx的一个零点为π3，则【答案】1−【解析】【分析】本题考查辅助角公式，函数零点的概念，属于基础题．【解答】

解：由题意知：f(π3)=Asinπ3−12.【2022全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)=32，x=π9为f(x)【答案】3

【解析】【分析】本题考查由余弦型函数的图象与性质，属于基础题．

由f(T)=f(0)=32求得φ，再由f(【解答】解：f(T)=f(0)=cosφ=32，且0<φ<π，故φ=π6，

f(π913.【2020全国Ⅲ卷】关于函数f(x)=sinx+①f(x)的图象关于y轴对称．②f(x)的图象关于原点对称，③f(x)的图象关于直线x=π④f(x)的最小值为2．其中所有真命题的序号是

．【答案】②③

【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质及函数的奇偶性、对称性等有关知识，属于中档题．

根据函数奇偶性定义可判断出函数图象的对称性；通过函数图象关于直线对称可得等量关系，进而检验等式是否成立即可；特殊值法可判断出函数的最值．【解答】

解：根据题意，易得函数定义域关于原点对称，f(−x)=sin (−x)+1sin (−x)=−(sin x+1若函数f(x)关于直线x=π2对称，则有即sin (通过化简可得等式成立，故③正确；当x=−π2时，f(−π故答案为②③．14.【2021浙江】设函数f(x)=sinx+cosx(x∈R).

(1)求函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期；【答案】解：(1)由辅助角公式得f(x)=sin则y=[f(x+π2)]2所以该函数的最小正周期T=2π(2)由题意，y=f(x)f(x−π4=2sin x⋅(=2⋅1−cos由x∈[0,π2]可得2x−π4∈[−π4,【解析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，考查三角恒等变换公式，考查分析计算能力，属于中档题．

(1)由题意结合三角恒等变换可得y=1−sin 2x，再由三角函数最小正周期公式即可得解；

(2)由三角恒等变换可得15.【2023全国甲卷】函数y=f(x)的图象由y=cos(2x+π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象平移及函数图象交点个数问题，属于中档题．根据函数图象平移得到f(x)，然后在同一直角坐标系下作出两函数图象分析即可求解．【解答】解：y=cos(2x+π6)即f(x)=−sin2x，值域为[−1,1]，且y=12x−12在同一直角坐标系中作出两函数图象如下：结合图象分析可得y=f(x)的图象与直线y=12故选C.16.【2022新高考Ⅰ卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π，且y=f(x)A.1 B.32 C.52 【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题．

根据周期范围，确定ω范围，再根据对称中心确定ω=23(k−【解答】解：由题可知：T=2πω∈(2π3,π)，所以ω∈(2,3)．

又因为y=f(x)的图像关于点(3π2,2)中心对称，所以b=2，且f(3π2)=sin17.【2022全国甲卷】设函数f(x)=sinωx+π3在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是

A.53,136 B.53,【答案】C

【解析】【分析】本题考查三角函数的图象性质，函数的零点与最值问题．【解答】

解：依题意可得ω>0，因为x∈0,π，所以ωx+要使函数在区间0,π恰有三个极值点、两个零点，

又y=sinx，则5π2<ωπ+π3≤3π18.【2022天津】已知f(x)=12sin2x，关于该函数有下列四个说法：

①f(x)的最小正周期为2π；

②f(x)在[−π4,π4]上单调递增；

③当x∈[−π6,π3]时，f(x)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质，属于较易题．

由题意，利用正弦函数的图象和性质，即可得出结论．【解答】

解：∵f(x)=12sin2x，

∴最小正周期为T=2π2=π，故①错误；

∵当x∈[−π4,π4]时，2x∈[−π2,π2]，

∴函数f(x)在[−π4,π4]上单调递增，故②正确；

∵当x∈[−π19.【2022新高考Ⅱ卷】已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(2π3A.f(x)在(0,5π12)单调递减

B.f(x)在(−π12,11π12)有两个极值点

C.直线x=7π【答案】AD

【解析】【分析】解：由题意得：f(2π3)=sin(4π3+φ)=0，

所以4π3+φ=kπ，即φ=−4π3+kπ，k∈Z，

又0<φ<π，所以k=2时，φ=2π3，

故f(x)=sin(2x+2π3).

选项A:x∈(0,5π12)时，2x+2π3∈(2π3,3π2)，由y=sinu图象知f(x)在(0,5π12)单调递减;

选项B:x∈(−π12,11π12)时，2x+2π3∈(π2,5π2)，由y=sin u图象知f(x)在(−π【解答】

本题考查三角函数的图象与性质，三角函数的单调性、三角函数的对称轴与对称中心，函数的极值，切线方程的求解，属于中档题．20.【2023新高考Ⅰ卷】已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是

．【答案】[2,3).

【解析】【分析】本题考查了余弦型函数的零点问题，属中档题．【解答】解：令f(x)=cosωx−1=0，得cos ωx=1，又x∈[0,2π]，则ωx∈[0,2ωπ]，所以故答案为：[2,3).

21.【2023新高考Ⅱ卷】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=π6，则f(π)=【答案】−【解析】【分析】主要考查了函数y=Asin根据AB的长度求出ω.函数图象过点(2π3,0)【解答】解：

设相邻的两个交点A，B的横坐标为t1，t2又sin(ωx+φ)=1ωt1+φ=π6，函数图象过点(2π3,0)，sin (8π3+φ)=0，故φ=kπ−8π322.【2021全国甲卷】已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图所示，则满足条件f(x)−f−7π4f(x)−f4π【答案】2

【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图像和性质以及相关应用，属于中档题．

需要由图求出正弦型函数的解析式，解一元二次不等式得到f(x)的范围，最后求解x的范围．【解答】

解：34T=13π12−π3=34π,可得T=π,ω=2.

将x=π3代入f(x)=2cos (2x+φ),得2cos (2π3+φ)=0