动量定理-质心运动定理

PAGEPAGE3动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。用公式表达为（17-7）（17-8）设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将（17-8）式积分，积分区间为从到，得 （17-9）记，称为力在到时间间隔内的冲量。式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得即除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。如果质点的质量不变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。上式中是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为 （17-10） 这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。 将式（17-10）写成微分形式 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得 （17-11） 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即 这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。 由式（17-10）可知，动量定理在直角坐标轴的投影为 （17-12） 如果外力的矢量和不为零，但在某个坐标轴上的投影为零，则质点系的动量并不守恒，但在该轴上的投影守恒。例如外力在x轴的投影为零，即，则为常量，这是质点系动量守恒的一种特殊情况。例17-1如图17-2所示，锤从高度处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变形，历时，已知锤的质量，试求锤对工件的平均压力。解将本题分二阶段处理：1.锤头自由下落；2.锤头打击工件令自由落体时间为t，由运动学知，所以=0.553s。下落至接触工件前瞬时，锤头具有向下的速度。锤头打击工件时，锤头受到重力和垂直向上的工件反作用力，因工件反作用力在极短时间内迅速变化，作为工程近似，本题中用平均反力代替工件反作用力。取铅垂轴y向上为正，根据质点动量定理式（17－11），有按题意，锤头开始打击工件瞬时，；经过时间后，。在此过程中，重力冲量的投影为，工件平均反作用力的冲量的投影为，，代入上式得到 锤头对工件的平均压力与是作用与反作用关系，故两者大小相等，即锤头对工件的平均压力也是140kN，是它自重的28.7倍。将式（17-3）对时间t求导数，得到式中为质点系所有质点的质量和，为质点系的质心C速度，记作；为质点i的速度。有即质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，根据式（17-10），得当质量m不变时，注意到，为质心加速度，因此得 （17-13）上式称质心运动定理，它表明质点系的总质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系的运动相当于一个质点的运动，这个质点的质量等于质点系的总质量，并且作用有质点系的所有外力，其加速度等于质心加速度。 质心运动定理也可投影到直角坐标轴上，如果作用在质点系上的外力的矢量和为零时，即，则，=常矢量，这说明质心静止，或作匀速直线运动。如果作用在质点系上的外力不为零，但在某轴上的投影为零，例如在x轴上的投影为零，，那么，=常量，即质心速度在x轴上的投影保持不变。以上两种情况都称作质心运动守恒定理。 以上讨论可以看到，内力既不影响质点系的动量，也不影响质心的运动，质心的运动完全取决于质点系的外力。例如汽车、火车能够前进，就是依靠主动轮与地面或铁轨接触点的向前摩擦力（后轮驱动的汽车受力如图17－3所示），否则车轮只能在原地空转。雪地、冰冻路面，地面光滑摩擦力小，常在汽车轮子上绕防滑链，或在火车的铁轨上喷沙，这些都是为了增大主动轮与地面或铁轨的摩擦力。车辆刹车时，制动闸与轮子间的摩擦力是内力，它不直接改变车辆质心的运动状态，但能够阻止车轮相对于车身的转动，如果没有车轮与地面的向后的摩擦力，即使闸块使车轮停止转动，车辆仍要向前滑行，不能减速。又如土建、水利工程中的定向爆破施工方法，使爆破出来的土石块堆积到指定的地方（图17-4）。我们知道，爆炸飞出的土石块的运动各不相同，情况十分复杂。但是就飞出的土石块这个质点系整体而言，不计空气阻力时，土石块在运动过程中仅受到重力作用，其质心的运动可以利用质心运动定理，事先计算抛射部分的质心运动。例17-2在光滑轨道上有一小车，车上站立一人，如图17-5所示，开始时小车和人均处于静止。已知小车的质量为600kg，人的质量为75kg，如果人在小车上走过的距离a=3m，求小车后退的距离b。解考虑到人与小车组成的系统，在水平方向所受的外力为零，初始时系统处于静止。所以当人走动时，必然引起小车后退，以保持系统质心不变。由质心运动定理有上式中、均为相对地面固定坐标系的坐标变化。由于小车在后退，所以人相对地面移动了，即=、=，代入上式得到解得例17-3如图17－6所示物体A放置在物体B的斜面上，物体B放置在光滑的地面上，不计摩擦，A、B物体的质量分别为、，初始静止，在重力作用下，物体A将沿斜面向下滑，试求当物体A相对斜面滑过距离l时物体B向左滑动的距离s。 解考虑A、B两物体构成的系统，受到的外力有物体A、B的重力，地面对物体B的约束力N，所有外力都沿y轴方向，所受外力在x轴上投影为零，根据动量定理，系统在x轴方向上动量守恒。初始时物体静止，动量，所以任一时刻。设物体A相对斜面的速度为，物体B向左运动的速度为，则物体A的绝对速度为在x轴上的投影系统的动量在x轴上的投影根据上述讨论，，所以即设物体A相对斜面滑动距离l所需时间为，将上式从时刻0到时刻对时间积分，可得即例17-4如图17-7所示，电动机的定子质量，转子质量，转子的轴线通过定子的质心，转子有一偏心距，转速为。现将电动机用螺栓固定在底座上，试求螺钉受到的合力。解取电动机定子、转子为研究的质点系，受到外力m1g、m2g，底座及螺栓的反力为Nx、N取固连于基础的固定坐标系O1xy，其原点与定子质心重合，所以定子质心坐标为；转子质心