套卷2014-2015学年江西省江西师大附中临川鹰潭等五校高三上学期第二次联考试题数学（理）

2014--2015学年江西省江西师大附中、临川、鹰潭等五校高三上学期第二次联考数学(理)试题【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项是正确的.【题文】1．已知集合A={x|x(x-1)≤0，x∈R}，B={x|-2<x<1,x∈R},则A∩B是（）A．{x|-2<x≤1,x∈R}B={x|0≤x<1,x∈R}C={x|0<x≤1，x∈R}D={x|0<x<1,x∈R}【知识点】一元二次不等式不等式的解法；集合运算.E3A1【答案】【解析】B解析：A={x|0≤x≤1，x∈R},所以A∩B={x|0≤x<1,x∈R}，故选B.【思路点拨】化简集合A，再由交集意义求结论.【题文】2．设为等比数列的前n项和，，则=()A．11B．５Ｃ．－８Ｄ．－11【知识点】等比数列及其前n项和.D3【答案】【解析】D解析：由得，所以=-11，故选D.【思路点拨】由已知及等比数列的通项公式得q=-2,代入前n项和公式得所求.【题文】3.函数，（）A．是偶函数 B．是奇函数C．不具有奇偶性 D．奇偶性与有关【知识点】函数的奇偶性.B4【答案】【解析】B解析：设，此函数的定义域为R，且，所以函数，是奇函数，故选B.【思路点拨】根据函数奇偶性定义判断结论.【题文】4．等于（）A．0 B． C． D．2【知识点】定积分与微积分基本定理.B13【答案】【解析】D解析：=，故选D.【思路点拨】根据微积分基本定理求得结论.【题文】5．若函数，则此函数图像在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为()A.直角 B．0 C．锐角 D【知识点】导数的几何意义.B11【答案】【解析】C解析：∵，∴，，∴2cos1>1，∴>0，故选C.【思路点拨】根据导数的几何意义，得函数图像在点(1，f(1))处的切线的斜率，从而确定切线倾斜角的范围.【题文】6．下列命题正确的个数有()（1）命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件（2）命题“,使得”的否定是:“对,均有”（3）经过两个不同的点、的直线都可以用方程来表示（4）（5）若函数在处有极值10，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【知识点】充分条件；必要条件；基本逻辑联结词及量词；已知递推公式求通项；函数有极值的条件.A2A3D1B12【答案】【解析】B解析：（1）命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件，故（1）不正确；（2）命题“,使得”的否定是:“对,均有”，故（2）不正确；（3）显然正确；（4）∵，两式相减得，∴若函数在处有极值10，则，故（5）不正确.所以只有（3），（4）正确，故选B.【思路点拨】逐个分析各命题的正误.【题文】7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【知识点】三视图G2【答案】【解析】A解析：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为A【思路点拨】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算【典例剖析】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键【题文】8.直角三角形的斜边长为,则其内切圆半径的最大值为()A. B. C. D.【知识点】正弦定理C8【答案】【解析】B解析：如图所示：设内切圆半径为r，则r==，由正弦定理，得，∴a=2sinA，b=2sinB，∴r=sinA+sinB﹣1=sinA+cosA﹣1=sin（A+）﹣1，当A=时r取得最大值1，故选B．【思路点拨】作出图形，设内切圆半径为r，则r==，利用正弦定理化边为角，根据三角恒等变换可求．【题文】9.在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点，其中，则线段长度的最小值为（）A．B．C．D．【知识点】直线与圆H4【答案】【解析】A解析：设点，所以Q点在直线上，由于圆心为，到直线的距离为，所以长度的最小值为故A正确.【思路点拨】根据Q的坐标可得Q点在直线上，求出圆心坐标，圆心到直线的距离减去半径即可得结果.【题文】10.是同一球面上的四个点,其中是正三角形,⊥平面，,则该球的表面积为()A.B.C.D.【知识点】球的体积和表面积G8【答案】【解析】C解析：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=4，AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=2，AO=2．所求球的表面积为：4π（2）2=32π．故选C．【思路点拨】由题意把A、B、C、D扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的表面积【典例剖析】本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．【题文】11.已知定义在上的函数满足①，②，③在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为（）A.5 B.6 C.7 D【知识点】函数的图象B8【答案】【解析】B解析：∵①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，∴f（x）图象的对称中心为（1，0），f（x）图象的对称轴为x=﹣1，结合③画出f（x）和g（x）的部分图象，如图所示，据此可知f（x）与g（x）的图象在[﹣3，3]上有6个交点．故选B．【思路点拨】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f（x）和g（x）的部分图象，由图象观察交点的个数12．设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（）A．B．C．D．【知识点】等差数列的通项公式．D2【答案】【解析】D解析：由，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，∴sin（3d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0），则3d=，d=﹣．由=．对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，∴，解得：．∴首项a1的取值范围是．故选：D．【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知为单位向量，当向量的夹角为时，在上的投影为.【知识点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的含义与物理意义．F3C8【答案】【解析】解析：根据题意画出图形如下图：设，根据余弦定理得：，所以,则在上的投影为，故答案为。【思路点拨】利用数量积运算、投影的意义即可得出．【题文】14．已知点满足不等式组，其中，则的最小值为__________．【知识点】简单的线性规划.E5【答案】【解析】-7解析：由题意画出不等式组表示的平面区域如下图：易知当直线过B（1,3）时，有最小值，最小值为z=-1-6=-7,故答案为-7.【思路点拨】先画出不等式组表示的平面区域，再结合图像求出最小值即可。【题文】15.已知,函数在上单调递减，则________．【知识点】正弦函数的图象．C3【答案】【解析】2或3．解析：数f（x）=sin（ωx+）的单调递减区间为：（k∈Z），解得：，所以：，解得：6k+≥，当k=0时，ω=2或3，故答案为：2或3．【思路点拨】首先利用整体思想求出ω的范围，进一步求出整数值．【题文】16.定义函数，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的“均值”为，已知，则函数在上的“均值”为________．【知识点】对数函数的图像与性质．B7【答案】【解析】解析：根据定义，函数，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的“均值”为，令当时，选定，可得：=，故答案为：【思路点拨】根据定义，令令，当时，选定，可得的值。【题文】三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】17.（本小题满分12分）已知分别是的三个内角的对边，.(1)求角的大小；(2)若的面积，求周长的最小值.【知识点】正弦定理；余弦定理；基本不等式求最值.C8E6【答案】【解析】（1）；（2）解析：（1）中，∵，由正弦定理，得：，………….2分即，故………………4分…………….6分（2），且，…8分由余弦定理，得，又，………10分当且仅当时，的最小值为，的最小值为，所以周长的最小值为.………………….12分【思路点拨】（1）将正弦定理代入已知等式，用两角和与差的三角函数及诱导公式得结果；(2)由（1）的结论和的面积得，，在由余弦定理得：，又，这两个不等式中等号成立的条件都是b=c=2,所以得周长的最小值为.【题文】18．（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列的首项为1，且构成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设,求数列的前项和.【知识点】等差数列与等比数列；数列求和.D2D3D4【答案】【解析】（1）2n-1；（2）.解析：（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），∵a2，a5，a14构成等比数列，∴aeq\o\al(2,5)＝a2a14，即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，………1分解得d＝0（舍去），或d＝2．……..3分∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．……………….5分(2)由(1)得当为奇数时，….……6分所以……10分…………12分【思路点拨】(1)根据已知条件得关于公差d的方程求解；（2）由（1）得，要求的前项和，只需分别求前2n项中，奇数项的和与偶数项的和，然后再把这两部分相加即可.【题文】19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，∥,，侧面为等边三角形..（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【知识点】线线垂直二面角G5G11【答案】【解析】(1)略(2)-解析：(1)如图取中点，连结，则四边形为矩形，，连结，则，∥，平面，(2)依题意，，而，，故,，又，且，所以可建立如图空间直角坐标系.……………7分则,，，所以，设平面的法向量,平面的法向量,，即，令，则，于是又，即，令，则，于是………………….…10分.………………….…….11分故二面角的余弦值为-.【思路点拨】根据条件可证明直线与平面垂直，所以直线与平面内的所有直线垂直，再根据空间向量的关系证明两个平面的法向量的角，进而求出二面角的值.【题文】20．（本小题满分12分）已知椭圆C:短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C的方程;（2）椭圆C与轴负半轴交于点，过点的直线，分别与椭圆C交于，两点,分别为直线、的斜率，，求证：直线过定点,并求出该定点坐标;（3）在（2）的条件下，求面积的最大值.【知识点】直线与椭圆的综合问题H8【答案】【解析】(1)(2)(-1,0)(3)解析：（1）由椭圆C短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，则，……1分又因为以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离，………3分解得椭圆C的方程为.…………………4分(2)由题意可知直线斜率不为0，设直线的方程为，,联立消去得，，，…………….5分，，即，，解得或（舍去）,直线的方程为,直线过定点(-1,0)(3)记直线与轴交点为，则坐标为(-1,0)联立消去得，，，,令，，当且仅当即时，面积的最大值为.……………【思路点拨】由题中的条件可求出椭圆方程，再由直线与椭圆的联立方程可求出直线方程，根据三角形的面积公式可列出关系式，利用不等式求出最大面积.21.（本小题满分12分）设函数,,（是自然对数的底数）.（1）讨论在其定义域上的单调性；（2）若，求的取值范围.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值。B12【答案】【解析】（1）见解析；（2）解析：（1）,令，，①当时，，则，此时在上单调递增；………………2分②当时，，方程两根为（ⅰ）当时，，则当时，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减；在上递增；……