高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第29讲 4.5.3函数模型的应用（教师版）

第07讲4.5.3函数模型的应用课程标准学习目标①了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。②在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。通过本节课的学习，掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数以及其他函数模型；会从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解.高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式等知识交汇．知识点一：常见函数模型1、一次函数模型（，为常数）2、反比例函数模型（）3、二次函数模型（）4、指数函数模型（且，）5、对数函数模型（且，）6、幂函数模型（，）7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合8、对勾函数模型：题型01指数、对数、幂函数模型的增长差异【典例1】（2023·高一课时练习）若三个变量，，随着变量x的变化情况如下表.x135791152545658510552924521891968517714956.106.616.957.27.6则关于x分别呈函数模型：，，变化的变量依次是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【详解】由题表可知，随着x的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数型函数的变化；相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.故选:B.【典例2】（2023·高一课时练习）下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是.①；②；③；④【答案】①【详解】由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，更为有前途的生意，故答案为：①.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快．故选：D.【变式2】（2022秋·高一单元测试）下列函数中，随着的增大，增长速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】A选项是常数函数，B选项是一次函数，C、D选项都是指数型函数，C选项的指数型函数的底数是2，D选项的指数型函数的底数是，且，所以随着的增大，增长速度最快的是D.故选：D.题型02根据实际问题增长率选择合适的模型【典例1】（2023·全国·高三对口高考）在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x01.02.03.0y0.240.5112.023.988.02则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近（其中a、b为待定系数）？（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由表格数据知：从到，对应值依次增大，排除A、C；变化到到到到到由上，随增大，逐渐变大，即的变化不为定值，排除B.故选：D【典例2】（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：3927812以下函数中最符合变量与的对应关系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢，对选项A：增长速度不变，不满足；对选项B：时，增长速度越来越大，不满足；对选项C：时，增长速度越来越大，不满足；对选项D：函数的增长速度越来越慢，满足.故选：D【典例3】（2023春·湖南株洲·高一校考开学考试）某旅游风景区发行的纪念章即将投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下：上市时间天2620市场价元10278120为了描述该纪念章的市场价与上市时间的变化关系，现有以下三种函数模型供选择：（1）；（2）；（3）．(1)根据如表数据，请选取一个恰当的函数模型并说明理由；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.【答案】(1)选择，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低为70元【详解】（1）随着时间的增加，的值先减后增，而所给的三个函数中和显然都是单调函数，不满足题意，选择；（2）把点代入中，得，解得，当时，有最小值，故当该纪念章上市10天时，市场价最低为70元．【变式1】（2023·全国·高三对口高考）在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（

）1.953.003.945.106.120.971.591.982.352.61A． B． C． D．【答案】B【详解】法一：由表格数据得到如下散点图，为递增趋势，随变大增长率变小，只有B符合；

法二：对于A，函数是指数函数，增长速度很快，且在时，时，代入值偏差较大，不符合要求；对于B，函数，是对数函数，增长速度缓慢，且在时，时，基本符合要求；对于C，函数是二次函数，且当时，时，代入值偏差较大，不符合要求；对于D，函数，当时，代入值偏差较大，不符合要求，故选：B.【变式2】（2023·高一课时练习）农场为了解某农作物的产量情况，将近四年的年产量（单位：万斤）与年份序号x之间的关系统计如下：x（第×年）1234（万斤）4.005.627.008.86若近似符合以下两种函数模型之一：①；②．则你认为最适合的函数模型的序号是__________．请简要说明理由．【答案】①，理由见解析【详解】①，理由如下：若模型为，由已知，和，，得，解得，故，当经时，，当时，，两处相差不大，拟合较好；若模型为，则由，得，即，当时，，当时，，当时，，三处相差较大，拟合相对不好.故最适合的函数模型的序号是①.【变式3】（2023秋·广东肇庆·高一统考期末）某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：时间t79101113种植成本Q1911101119为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择：①，②，③，④．(1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式；(2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值．【答案】(1)选择，理由见解析，(2)20【详解】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，因为，，都是单调函数，所以不符合题意，因为可先单调递减后单调递增，故符合题意，由表格数据可得，解得，所以，经检验其他几组数据也满足表达式（2）由（1）知，故其对称轴为，且开口向上，，所以，所以实数m的最大值为20题型03利用二次函数模型解决实际问题【典例1】（2023春·北京密云·高二统考期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是.【答案】摩托车数量在51到59辆【详解】由题意得，化简得，得，解得，因为取正整数，所以该工厂在这周内生成的摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标.故答案为：摩托车数量在51到59辆【典例2】（2023·高一课时练习）由于惯性作用，行驶中的汽车在刹车后要滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．下表是对某种型号汽车刹车性能的测试数据．刹车时车速153040506080刹车距离1.236.2011.517.8025.2044.40(1)试选择合适的函数模型拟合测试数据，并写出函数解析式；(2)若车速为，刹车距离为多少？若测得刹车距离为，刹车时的车速是多少？（可以使用计算器辅助计算）【答案】(1)选择二次函数模型，(2)，【详解】（1）选择二次函数模型，显然函数图象经过点，再近似地选取两个点和，设二次函数为，故，解得，可求得；（注：本题选取的点不同，所得到的函数解析式和下面所得的结果均可能不同．）（2）当时，；当时，有，解得（负舍）．【变式1】（2023·高一课时练习）某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为．【答案】元【详解】解：设此商品的销售单价为元，销售量为个，则为一次函数，设，由题意可得，解得，所以，，所以，，设销售该商品的利润为元，则，故当时，取得最大值，故答案为：元.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留时间为秒（小数点后保留两位有效数字）.（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，其中．）

【答案】【详解】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式，因为，所以，令，可得，即，所以，所以.所以排球能够在抛出点2以上的位置最多停留秒.故答案为：.题型04分段函数模型的应用【典例1】（2023秋·云南丽江·高一统考期末）华为消费者业务产品全面覆盖手机、移动宽带终端、终端云等，凭借自身的全球化网络优势、全球化运营能力，致力于将最新的科技带给消费者，让世界各地享受到技术进步的喜悦，以行践言，实现梦想.已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且(1)写出年利润（万元）关于年产量（万只）的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)(2)当年产量为万只时，利润最大，最大利润为万元【详解】（1）依题意，利用利润等于收入减去成本，可得：当时，；当时，；所以.（2）当时，，所以当时，；当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时；因为，所以当年产量为万只时，利润最大，最大利润为万元.【典例2】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求：(1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？(2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？【答案】(1)3.65万元(2)最高1万元，最低0.6万元【详解】（1）超额第一个5万元可得奖金1000元，超额第二个5万元可得奖金2000元，超额第三个5元可得奖金3000元，超额第四个5万元可得奖金4000元，所以当销售员的销售额超额部分为15万元时，可得奖金3000元，当销售员的销售额超额部分为20万元时，可得奖金7000元，因为销售员某月获得奖金7200元，所以销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间，设超额部分比15万多元，提成比例为，则，可得，故他该月的销售额为万元．（2）设两个月的总奖金为，某销售员月份的销售额为万元，则销售员月份的销售额为万元，则，①当时，则，，②当时，则，，③当时，则，④当时，则，综上所述，，作出图像，

由图可知，当，即7月份销售额为30万元，奖金最低为0.6万元；当或时，即7月份销售额为20或40万元，奖金最高为1万元．【变式1】（2023·全国·高一假期作业）某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.

(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式；(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据）【答案】(1)(2)0.3小时后，5.2小时【详解】（1）当时，由图象可设，将点的坐标代入函数表达式，解得，即当时，，当时，将点的坐标代入函数，得，解得，所以，故.（2）当时，，令，即，解得，即，又，∴，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，当时，，令，即，解得，又，∴，综上，，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.【变式2】（2023春·高一平湖市当湖高级中学校联考期中）在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值.【答案】(1)7天(2)【详解】（1）释放的去污剂浓度为，当时，，解得，所以；当时，，解得，即；故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.（2）设从第一次喷洒起，经天，则浓度，，当且仅当即等号成立.所以的最小值为.题型05指数模型的应用【典例1】（2023春·湖南岳阳·高一统考期末）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（

）A．17天 B．19天 C．23天 D．25天【答案】C【详解】经过x天后，“进步”与“落后”的比，所以，两边取以为底的对数得，又，，所以，解得，所以大约经过天后，“进步”是“落后”的倍.故选：C.【典例2】（2023·高一课时练习）从盛满纯酒精的容器里到倒出酒精，然后用水充满，再倒出混合溶液，再用水充满，这样继续下去，若第次倒出纯酒精为（单位：L），则函数的表达式为．（假设酒精与水混合后相对体积不变）【答案】【详解】第1次酒精残留量，第2次酒精残留量，即第次酒精残留量,.则第次倒出纯酒精为故答案为：.【典例3】（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有多年历史．清乾隆游览杭州西湖时，盛赞西湖龙井茶，把狮峰山下胡公庙前的十八棵茶树封为“御茶”．其外形扁平挺秀，色泽绿翠，内质清香味醇，泡在杯中，芽叶色绿，而泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足．(1)求常数的值；(2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到分钟）（参考数据：，，，）【答案】(1)(2)刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感【详解】（1）解：因为茶水温度从开始，即当时，，解得.（2）解：当时，，当时，，即，所以，，所以，刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.【变式1】（2023春·陕西西安·高二校考期末）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为℃，空气温度为℃，则分钟后物体的温度（单位：℃，满足：)若常数，空气温度为℃，某物体的温度从℃下降到℃，大约需要的时间为（

）（参考数据：）A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟【答案】B【详解】由题知，，，，，，，.故选：B.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量（单位：克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：（单位：克）02610…－488…已知当时，，其中为常数．当时，和的关系为以下三种函数模型中的一个：①；②且；③且；其中均为常数．(1)选择一个恰当的函数模型来描述之间的关系，并求出其解析式；(2)求该新材料的含量为多少克时，产品的性能达到最大．【答案】(1)选择①的函数模型，理由见详解，此时解析式为：；(2)当新材料的含量克时，产品的性能达到最大.【详解】（1）由表格知当时，，若选①，则，若选②且，则，此时且不满足时，，故不选，若选③且，时无意义，故不选，所以选①的函数模型来描述之间的关系，由题意有当时，由，且时得：；当时得：；当时得：；联立，解得：，所以当时，.（2）由（1）当时，，又当时，，将代入上式有：，解得：，即当时，综上有，当时，，所以当时，取到最大值，当时，单调递减，所以当时，，故当新材料的含量克时，产品的性能达到最大.【变式3】（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）工业废气在排放前需要过滤．已知在过滤过程中，废气中的某污染物含量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为（e为自然对数的底数，为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的．(1)求函数的关系式；(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少需过滤几小时？（参考：）【答案】(1)(2)20【详解】（1）因为过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的，所以，即.故（2）由，得，两边取10为底的对数，，整理得，，因此，至少还需过滤20小时.题型06对数模型的应用【典例1】（2023春·云南昆明·高二统考期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，洄游到产卵地产卵.科学家发现鲑鱼的游速（单位：）与鲑鱼的耗氧量的单位数的关系为，则鲑鱼静止时耗氧量的单位数为（

）A．1 B．100 C．200 D．300【答案】B【详解】因为，所以当鲑鱼静止时，，即，化简得，所以；故选:B.【典例2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，公式为：（其中为样本距今年代，为现代活体中碳14放射性丰度，为测定样本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度，该人类骨骼碳14放射性丰度，则该骨骼化石距今的年份大约为（

）（附：，，）A．3353 B．3997 C．4125 D．4387【答案】B【详解】由题知，，∴.故选：B.【典例3】（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知型火箭的喷流相对速度为.(1)当总质比为时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据:，，）【答案】(1)(2)11【详解】（1）由已知可得.（2）设在材料更新和技术改进前总质比为，且，，若要使火箭的最大速度至少增加，所以，即，，所以，解得，因为，所以，所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为.【变式1】（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（

）A．30 B．60 C．40 D．80【答案】C【详解】因为，将代入，则，则，所以，所以，故选：C【变式2】（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（

）A．17周 B．24周 C．28周 D．26周【答案】D【详解】，由，，得，，两式相减得，则，所以，.该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，则，即，解得，故至少需要通风26周.故选：D．【变式3】（2023秋·福建厦门·高一统考期末）中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十五号航天员乘组与神舟十四号航天员乘组太空在轨轮换.已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和.在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和x的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为0时，火箭的最大速度为0.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为4.(1)求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；(2)当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到8？【答案】(1)(2)燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到8【详解】（1）因为火箭的最大速度（单位：）和x的函数关系是，又时，，；时，，，所以，解得，所以；（2）设且，则，又所以时可得，即，解得故燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到8.题型07幂函数模型的应用【典例1】（2023·高一课时练习）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.149161(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？【答案】(1)更适合作为与的函数模型(2)果树数量为时年利润最大【详解】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得解得此时，当时，，当时，，与表格中的和相差较大，所以不适合作为与的函数模型.②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得解得此时，当时，，当时，，刚好与表格中的和相符合，所以更适合作为与的函数模型.（2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为，令，则经计算，当时，取最大值（万元），即，时（每亩约38棵），利润最大.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？【答案】(1)，；(2)当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润约为4万元．【详解】（1）设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，由题设，，由图可知（1），所以，又（4），所以，所以，；（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，，，令，则，，所以当时，，此时，所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，约为4万元．【变式1】（2023·高一课时练习）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大?（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金)【答案】（1）生产芯片的毛收入，生产芯片的毛收入；（2）答案见解析；（3）千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元.【详解】（1）设投入资金(千万元)，则生产芯片的毛收入.将，代入，得，∴，生产芯片的毛收入.（2）由，得；由，得；由，得.∴当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大；当投入资金等于16千万元时，生产、芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大（3）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片，投入千万元资金生产芯片，∴公司所获利润，故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元.【变式2】（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考开学考试）某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的利润与投资额的函数关系式；（2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）；（2）当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元【详解】解：（1）设两种产品的利润与投资额的函数关系分别为：，结合已知得，所以；（2）设投资乙产品万元，则投资甲产品万元，依题意，获得的利润为，令，则，所以当，即时，取得最大值，，故当投资甲产品96万元，投资乙产品4万元时，可使利润最大，最大利润是13万元.题型08利用给定函数模型解决实际问题【典例1】（2023秋·云南丽江·高一统考期末）华为消费者业务产品全面覆盖手机、移动宽带终端、终端云等，凭借自身的全球化网络优势、全球化运营能力，致力于将最新的科技带给消费者，让世界各地享受到技术进步的喜悦，以行践言，实现梦想.已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为万元，且(1)写出年利润（万元）关于年产量（万只）的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)(2)当年产量为万只时，利润最大，最大利润为万元【详解】（1）依题意，利用利润等于收入减去成本，可得：当时，；当时，；所以.（2）当时，，所以当时，；当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时；因为，所以当年产量为万只时，利润最大，最大利润为万元.【典例2】（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知销售甲、乙两种商品所得利润分别是（单位：万元）和）（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式分别为，，其中为常数．今将5万元资金经营甲、乙两种商品，设对甲种商品投入奖金x万元，其中．(1)当时，如何进行投资甲、乙两种商品才能使得总利润y最大；(2)存在，使得甲、乙两种商品投资总利润等于，求a的取值范围．【答案】(1)对甲种商品投入奖金万元，对乙种商品投入奖金万元时，总利润最大(2)【详解】（1）由题可知对甲种商品投入奖金万元，则对乙种商品投入奖金万元，其中，所以总利润.

令，则，，所以，

当时，取最大值，此时，所以对甲种商品投入奖金万元，对乙种商品投入奖金万元时，总利润最大.（2）由题可知总利润，令，则，，所以问题转化为存在，使得有解，

化简得因为，所以，从而，所以.

又由题知，，所以所以.【变式1】（2023·江西南昌·校联考模拟预测）水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q（单位：L/min）计算公式为和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为计算确定，其中P为水雾喷头的工作压力（单位：MPa），K为水雾喷头的流量系数（其值由喷头制造商提供），S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度（单位：）．水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量．当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为，保护对象的设计喷雾强度W为时，保护对象的水雾喷头的数量N约为（参考数据：）（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【详解】依题意，，，，，由，，得，所以保护对象的水雾喷头的数量N约为6个.故选：C【变式2】（2023春·江苏宿迁·高一统考期中）随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，（单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．(1)求h的值；(2)求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）参考数据：【答案】(1)10；(2)14.【详解】（1）在中，，则有，整理得，即，解得，所以h的值为10.（2）由（1）知，，当时，，即有，取常用对数得：，解得，而，则，所以服装价格降到60元每件时需要14天.题型09建立拟合函数模型解决实际问题【典例1】（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如下表.上市时间/天2632市场价/元1486073(1)根据上表数据，从①，②，③中选取一个恰当的函数描述每枚纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并求出该函数的解析式；(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及每枚纪念章的最低市场价.【答案】(1)，(2)当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.【详解】（1）每枚纪念章的最低市场价不是关于上市时间的单调函数，故选.分别把，代入，得解得，，∴，.此时该函数的图象恰经过点，∴，.（2）由（1）知，当且仅当，即时，有最小值，且.故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元.【典例2】（2023春·福建福州·高一校联考期中）疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示：（天11418222630122135139143139135(1)给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)已知第1天的日销售收入为244元．设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．【答案】(1)选择模型②，，；(2)139.5元．【详解】（1）解：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足为常数，且，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如表所示：（天11418222630122135139143139135由表格中的数据知，当时间变长时，先增后减，①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型，所以选择模型②：，由函数图象对称性可知，又由表格可知，，代入，得，解得，，所以日销售量与时间的变化的关系式为，.（2）因为第1天的日销售收入为244元，则，解得，则，由（1），知，由，当，时，，当且仅当时，即时等号成立，当，时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值139.5元．【变式1】（2023秋·广东清远·高一统考期末）在无菌培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢，在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y（单位：百万个）与培养时间x（单位：小时）的3组数据如下表所示.2353.54.55.5(1)当时，根据表中数据分别用模型和建立关于的函数解析式.(2)若用某函数模型根据培养时间来估计某类细菌在培养皿中的数量，则当实际的细菌数量与用函数模型得出的估计值之间的差的绝对值不超过0.5时，称该函数模型为“理想函数模型”，已知当培养时间为9小时时，检测到这类细菌在培养皿中的数量为6.2百万个，你认为（1）中哪个函数模型为“理想函数模型”？说明理由.（参考数据：）(3)请用（2）中的“理想函数模型”估计17小时后，该类细菌在培养皿中的数量.【答案】(1)，(2)模型①是“理想函数模型”，理由见解析(3)（百万个【详解】（1）当时，，由图表数据可得，，，联立上式，解方程可得，，则；当时，，由图表数据可得，联立上式，解方程可得，则；（2）考虑①，由，可得，而，可得模型①是“理想函数模型”；考虑②，由，可得而，所以模型②不是“理想函数模型”；（3）由（2）可得时，（百万个【变式2】（2023秋·山东临沂·高一统考期末）2022年11月，国务院发布了简称优化防控二十条的通知后，某药业公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第x天每股的交易价格（元）满足，第x天的日交易量（万股）的部分数据如下表：第x（天）12410（万股）14121110.4(1)给出以下两种函数模型：①；②.请你根据上表中的数据.从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第x天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；(2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第x天的日交易额的函数关系式，并求其最小值.【答案】(1)选择模型②，理由见解析，(2)，最小值484【详解】（1）对于函数，根据题意，把点代入可得，解得，而点均不在函数的图象上；对于函数，根据题意，把点代入可得，解得，此时.而均在函数的图象上.所以.（2）由（1）知.所以，即当时，当且仅当时，即时等号成立，当时，为减函数.所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值484.一、单选题1．（2023春·福建·高二统考学业考试）厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示不超过12的部分3元/超过12不超过18的部分6元/超过18的部分9元/若小曾同学用水量为16，则应交水费（

）（单位：元）A．48 B．60 C．72 D．80【答案】B【分析】根据给定的数表，分段计算即可作答.【详解】因为小曾同学用水量为16，则不超过12的部分的水费为（元），显然没有超过18，则超过12不超过18的部分的水费为（元），所以应交水费为（元）.故选：B2．（2023春·广西河池·高二校联考阶段练习）燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（

）A．30 B．60 C．40 D．80【答案】C【分析】根据题意将代入可求出即可.【详解】因为，将代入，则，则，所以，所以，故选：C3．（2023·全国·高三对口高考）在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据题设有，根据指数函数性质确定函数图象.【详解】由题设，由，结合指数函数的图象知：D符合要求.故选：D4．（2023·全国·高一专题练习）在环境检测中人们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：），为基础声强，其值约为，某环境检测点检测到某一时段的声强约为，则这一时段的声强级约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将的值代入关系式即可化简求得结果.【详解】由题意知：，，.故选：C.5．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（

）（参考数据：取）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】设石片第次“打水漂”时的速率为，则，由于，可得，再结合对数公式，即可求解．【详解】设石片第次“打水漂”时的速率为，则，，，则，即，解得，故至少需要“打水漂”的次数为10．故选：．6．（2023春·湖北武汉·高一校联考期末）2023年4月18日，我国自行研制具有完全自主知识产权的喷气式支线客机ARJ21完成了在印尼首航，这是ARJ21在海外市场商业运行的首秀，标志着国产新支线客机ARJ21在海外商业运营迈开第一步．中国商飞公司为了进一步打开海外市场，需要加大在开创性、创新性探索和实践方面的投入．中国商飞公司旗下甲乙两家子公司，各子公司投入与利润的关系如下．甲公司：利润（亿元）与投入（亿元）成一次函数关系，乙公司：利润（亿元）与投入（亿元）成幂函数型关系，如图所示．目前，中国商飞总公司准备拿出资金10亿元投入到甲、乙两公司，如何分配才能使总利润最大呢？（

）

A．投入甲公司亿元，投入乙公司亿元B．投入甲公司亿元，投入乙公司亿元C．投入甲公司0亿元，投入乙公司10亿元D．投入甲公司10亿元，投入乙公司0亿元【答案】B【分析】根据题意利用待定系数法求相应的解析式，进而可得总利润，换元，结合而成函数分析运算.【详解】由题意可得：，解得，即甲公司利润与投入函数关系式；，解得，乙公司利润与投入函数关系式．设投入到乙公司亿元，则投入到甲公司亿元，总利润，令，则总利润为，因此当，即投入到乙公司亿元，投入到甲公司亿元，总利润最大．故选：B.7．（2023春·北京密云·高二统考期末）单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：.其中，分别为火箭结构质量和推进剂的质量.是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为.则火箭发动机的喷气速度约为（

）（参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，，其中，则，求得.故选：B8．（2023秋·云南红河·高一统考期末）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（为常数）.若牛奶在的冰箱中，保鲜时间约是，在的冰箱中，保鲜时间约是，那么在的冰箱中保鲜时间约是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将对应温度和保鲜时长分别带入关系式，解出方程组即可得，再利用指数关系运算即可得结果.【详解】由题得，解得，因此在的冰箱中的保鲜时间大约是.故选：B．二、多选题9．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（

）A．当，则这期间人口数呈下降趋势B．当，则这期间人口数呈摆动变化C．当时，的最小值为3D．当时，的最小值为3【答案】AC【详解】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；，所以，所以，，所以的最小值为3，故C正确；，所以，所以，，所以的最小值为2，故D不正确；故选：AC.10．（2023·全国·高一假期作业）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（

）A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元B．甲厂的费用与证书数量x