历史相似性及其教学启示

华东师大数学系汪晓勤历史相似性及其教学启示历史相似性及其教学启示历史发生原理海克尔〔E.Haeckel,1843-1919〕生物发生学定律——“个体发育史重蹈种族开展史〞在教育中的应用：“个体认知的发生遵循人类认知开展的过程。〞就数学教育而言，个体数学理解的开展遵循数学思想的历史开展顺序。历史相似性及其教学启示…thishistoryoftheembryo(ontogeny)mustbecompletedbyasecond,equallyvaluable,andcloselyconnectedbranchofthought----thehistoryofrace(phylogeny).Bothofthesebranchesofevolutionaryscienceare,inmyopinion,intheclosestcausalconnection;thisarisesfromthereciprocalactionofthelawsofheredityandadaptation…历史相似性及其教学启示HerbertSpenser(1894)

对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类的教育，换言之，个体知识的发生必须遵循人类知识的发生过程。

历史相似性及其教学启示BencharaBranford(1908)我的目的是展示人类几何知识演进的实际方式与学生最乐意与最有效吸收该经验的方式之间的相似性。需要特别指出的是，我并非在试图证明人类与个体几何知识开展的必然相似性……我所希望做的是要说明，为教育之目的，几何学的最有效的讲授方式乃是遵循科学历史演进的顺序。历史相似性及其教学启示人类与个体数学经验的开展〔BencharaBranford,1908〕历史相似性及其教学启示人类与个体数学经验的开展〔BencharaBranford,1908〕历史相似性及其教学启示人类与个体数学经验的开展〔BencharaBranford,1908〕历史相似性及其教学启示人类与个体数学经验的开展〔BencharaBranford,1908〕历史相似性及其教学启示人类与个体数学经验的开展〔BencharaBranford,1908〕历史相似性及其教学启示F·克萊因〔F.Klein,1849-1925〕：生物发生学的一项根本定律指出，个体的成长要经历种族成长的所有阶段，顺序相同，只是所经历的时间缩短。……我想教授数学和其他任何事情一样，至少在原那么上要遵照这项定律。……科学的教学方法只是诱导去作科学的思考，並不是一开头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。推广这种自然的真正科学的教学的主要障碍是缺乏历史知识。历史相似性及其教学启示F·克萊因〔F.Klein,1849-1925〕历史相似性及其教学启示庞加莱〔H.Poincaré,1854-1912〕：动物学家坚持认为，在一个短时期內，动物胚胎的发育重蹈所有地地质年代其祖先們的开展历史。人的思维开展似乎也是如此。教育工作者的任務就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。鉴于此，科学史应该是我們的指南。历史相似性及其教学启示庞加莱〔H.Poincaré,1854-1912〕历史相似性及其教学启示波利亚

只有理解人类如何获得某些事

实或概念的知识，我們才能对

人类的孩子应该如何获得这样

的知识作出更好的判断。G.Pólya〔1887-1985〕历史相似性及其教学启示弗赖登塔尔

年轻的学习者重蹈人类的

学习过程，尽管方式改变

了。H.Freudenthal〔1905-1990〕历史相似性及其教学启示弗赖登塔尔〔ICME-4,1980〕：数学史乃是一个不断进步的系统化的学习过程。儿童无需重蹈人类的历史，但他们也不可能从前人止步的地方开始。从某种意义上说，儿童应该重蹈历史，尽管不是实际发生的历史，而是倘假设我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史。H.Freudenthal(1905-1990)历史相似性及其教学启示弗赖登塔尔关于“历史发生原理〞观点历史相似性及其教学启示M·克莱因：

我坚信历史顺序是教学的指

南。我们无需完完全全追随

历史，但如果大数学家在作

出某些创造时遇到困难，我

们的学生也必会遇到。M.Kline(1908-1992)历史相似性及其教学启示M·克莱因：

数学家花了几千年时间才理解无理数，而我们竟贸然给中学生讲戴德金分割。数学家花了三百年才理解复数，而我们竟马上就教给学生复数是一个有序实数对。数学家花了约一千年才理解负数，但现在我们却只能说负数是一个有序自然数对。从伽利略到狄利克雷，数学家一直绞尽脑汁历史相似性及其教学启示去理解函数的概念，但现在却由定义域、值域和有序对〔第一个数相同时第二个数也必须相同〕来玩弄把戏。从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和笛卡儿，没有一个数学家意识到字母可用来代表一类数，但现在却通过简单的集合思想马上产生了集合这个概念。历史相似性及其教学启示皮亚杰、加西亚科学在历史跨越过程中所做出的各种进步，不是以随意的形式呈现的，而是按一定顺序排列的。与心理发生一样，是以一系列连续的“阶段〞呈现。促成历史时期跨越的转化机制与那些促成心理阶段跨越的转化机制是相似的。研究之一：符号代数E.Harper(1987)研究问题：学生对符号代数的认知过程是否与符号代数的历史开展过程相似？研究方法：测试。丟番图?算术?：“两数的和与差，证明这两个数总能求出。〞被试：英国两所文法学校1-6年级各12名学生，共144人。研究之一：符号代数G.H.Nezzelmann?希腊代数?(1842)：代数学的开展经历三个阶段：研究之一：符号代数修辞代数解法：文字表达丢番图的解法：设和为100，差为40，较小数为x，那么较大数为x+40。这样就有2x+40=100，从而得x=30。因此两数分别为30、70。韦达的解法：设和为a，差为b。又设较小数为x，那么较大数为x+b，于是2x+b=a，故得x=(a-b)/2。因此两数分别为(a-b)/2、(a+b)/2。研究之一：符号代数1修辞的解法Jane〔二年級，12岁零8月〕：“和除以2，差除以2。和除以2的商与差除以2的商相加，得到第一个数；从和除以2的商中減去差除以2的商，得到第二个数。例如：和＝8，差＝2，8/2＝4，2/2=1，第一个数＝4+1=5；第二个数＝4-1=3。〞研究之一：符号代数2丟番图的解法Barry〔三年級，13岁零10个月〕：x–y=2〔1〕x+y=8〔2〕〔1〕+〔2〕得2x=10，x=5。代入〔2〕得：5+y=8，y=8-5，y=3。对于任何数，你都可以这样做。〞研究之一：符号代数

3

韦达的解法设两数为x和y，n=x和y的和，m=x和y的差，一般的方程为n=x+y，m=x-y。兩式相加，m+n=2x。求得x，回代，求出y。研究之一：符号代数类型学生數一年级二年级三年级四年级五年级六年级修辞法444130丟番图法013554韦达法0101620合

計46771424研究之一：符号代数研究结论：学生对符号代数的认知开展过程与符号代数的历史开展过程具有相似性。

研究之二：角的概念Keiser(2004)

研究对象：6年级学生

研究问题：6年级学生是如何理解角概念的？他们在理解0

、180

和360

时有困难吗？

研究方法：课堂观察和访谈。研究之二：角的概念历史回溯：古希腊人从关系、质和量三方面之一来定义角，欧几里得在?几何原本?中将角定义为“平面上两条不在同一直在线的直线彼此之间的倾斜度〞〔关系〕。卡普斯〔Carpus〕将角定义为“包含它的两线或两面之间的距离〞〔量〕。而普罗克拉斯〔Proclus〕那么认为必须同时从大小〔量〕、存在研究之二：角的概念的形状和特征〔质〕、两条直线之间的关系三方面来定义角。但在古希腊时代，无论从哪一种定义，都未能很完善地刻划这个概念。另外，历史上数学家在理解0、180和360三种特殊角时遇到了困难，许多数学家给出的“角〞的定义〔其中包括希尔伯特?几何根底?中的定义〕都不含这三种角。研究之二：角的概念研究发现：学生对角的理解也分成三种情形：(1)强调“质〞的方面：一些学生认为，随着正多边形边数的增加，“角〞越来越小；即形状越“尖〞的“角〞越大。(2)强调“量〞的方面：一些学生认为，边越长或者边所界区域越大，角越大；研究之二：角的概念(3)强调“关系〞方面：一个学生不同意把角看作“两条射线之间的‘宽度’，他认为角是将一条边〔终边〕旋转后与始边之间的一种“关系〞。课堂上学生同样很难理解0、180和360这三种特殊角，因为在他们的概念表像中并不存在这些角。研究之二：角的概念如Claire在研究者对她进行的访谈中对这些角提出质疑：“如果它〔180〕是一个角的话，那么它就需要有两条边，我看不出哪儿有两条边相交。〞“角有顶点以及两条不同的线。我知道〔在180中〕有两条直线，但你说不出顶点在哪儿。〞“〔对于360的角〕圆是没有任何角的，所以我不研究之二：角的概念明白。〞……研究结论学生对角概念的理解具有历史相似性。教材和学生都可以从前人理解角概念的困难中获得諸多启示。研究之三：平面概念K.Zormbala,C.Tzanakis研究对象：51位大学非数学专业毕业、从事各种职业的对象〔社会学家、小学教师、德文和英文教师、心理学家、律师、医生〕研究问题：非数学专业毕业生是如何理解平面概念的？研究之三：平面概念研究方法：问卷调查。调查问题：(1)请描述什么是平面；(2)在你看來，“平面〞和“外表〞有何不同？(3)作出一个平面。研究之三：平面概念类別对平面的描述百分比历史上数学家的定义1平面是直线恰好与其相合的表面15.9%海伦（Heron,1世紀）2平面是包含经过其上任意兩点的直线的表面4.8%辛松（R.Simson,1687-1768）3平面是由三点及经过它们的直线所确定的表面12.7%皮埃里（M.Pieri,1860-1930）4平面是与两个已知点等距的点的集合1.6%萊布尼茨（G.W.Leibniz,1646-1716）5平面是一个光滑的直的表面。12.7%巴门尼德（Parmenides,前5世紀）、欧几里得（前3世纪）研究之三：平面概念类別对平面的描述百分比历史上数学家的定义6其他回答（如“平面由其上一点及与其垂直的一条直线完全确定”）7.9%高斯(C.F.Gauss,1777-1855)、波尔約（W.Bolyai,1775-1856）7不清楚的、逻辑循环或前后不一致的回答11.5%

8不正确的回答15.9%9不完全的回答6.3%

10具体的现实情境（如平静的水面、桌面、球在其上任一点处都能保持平衡的表面）6.3%

11沒有回答4.8%研究之三：平面概念萊布尼茨辛松高斯研究之三：平面概念研究结论

被试对平面概念的理解与历史上巴门尼德(Parme-nides,前5世紀)、海伦(Heron,1世紀)、莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646～1716)、辛松(R.Simson,1687-1768)、高斯(C.F.Gauss,1777-1855)、皮埃里(M.Pieri,1860-1930)等数学家的理解具有相似性。研究之四：实无穷概念研究问题：高中生比较无穷集合时采用何种策略？是否具有历史相似性？研究方法：测试与访谈被试：江苏省某中学高二、高三两个年级各一个班，共94人。他们只具有一些初步的集合和元素的知识，尚未接触过无穷集合的知识，也不曾阅读过有关康托尔集合论方面的书籍。研究之四：实无穷概念实无穷测试题1、正整数集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比平方数集

{1，4，9，16，25，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道解释你的答案。2、正整数集{1，2，3，4，5，…}中的元素是否比偶数集{2，4，6，8，10，…}中的元素多？

A、是B、否C、不知道解释你的答案。研究之四：实无穷概念3、观察长度分别为4厘米和6厘米的线段AB和CD，假设比较AB和CD上的点，CD上的点是否比AB上的点更多？A、是B、否C、不知道解释你的答案。研究之四：实无穷概念

4、再观察线段AB和CD，连接CA和DB，并延长，交于点O，设P是CD上任意一点，连接PO，交AB于P

。CD上的点是否比AB上的点更多？

A、是；B、否；C、不知道解释你的答案。研究之四：实无穷概念5、设，，那么集合A和B是否具有同样多的元素？A、是;B、否;C、不知道解释你的答案。研究之四：实无穷概念

两个集合A和B都满足：

(1)A和B都是无穷集合；

(2)B是A的真子集；

(3)A和B的元素之间存在一一对应关系。研究之四：实无穷概念情

境题次集合A集合B算

术1正整数集平方数集2正整数集偶数集几何3线段CD线段AB4线段CD线段AB算术＋几何5区间

[0,2]区间[0,1]研究之四：实无穷概念研究发现：学生比较无穷集合所用的策略类型1集合A与集合B中的元素个数均为无穷，所以元素一样多。类型2集合A与集合B的元素都是无穷多，无法比较。类型3集合B是集合A的真子集，集合A中的元素比集合B中的元素多。类型4集合A与B之间存在一一对应关系，两个集合中的元素一样多。研究之四：实无穷概念历史相似性古希腊G.Galilei(1638)：Dialoguesconcerningtwonewsciences：两条不相等的线段AB和CD上的点可以构成一一对应；正整数集和正整数平方所构成的集合之间可以建立一一对应关系。伽利略没能解决局部与整体“相等〞的矛盾。他认为无穷大量都是一样的，不能比较大小，即不能将“大于〞、“小于〞和“等于〞这样的词用于无穷大量。研究之四：实无穷概念19世纪，高斯〔C.F.Gauss,1777-1855〕、柯西〔A.L.Cauchy,1789-1857〕、魏尔斯特拉斯〔K.Wierestrass,1815-1897〕等都无法接受无穷集合，因为它们和伽利略一样，无法解决“局部等于整体〞这个矛盾。波尔察诺〔B.Bolzano,1781-1848〕ParadoxesoftheInfinite：包含关系准那么－－“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。〞研究之四：实无穷概念康托尔〔G.Cantor,1845-1918〕创立集合论，将实无穷作为一个概念引入数学。他定义了“势〞这个概念〔或称“基数〞〕，并提出比较两个无穷集合的一一对应准那么：“两个集合A和B具有相同的势〔基数〕，当且仅当在A和B之间存在一一对应。〞研究之四：实无穷概念研究结论

高中生对实无穷的理解、困惑以及所用的策略与历史上的数学家，如亚里士多德、伽利略、波尔察诺等的理解、困惑以及所用策略是相似的，因而对实无穷概念而言，历史发生原理是成立的。研究之五：虚数与发散级数研究问题：中学生对虚数和发散级数的理解是否具有历史相似性？研究方法：测试被试：江苏扬州某中学高一3个班级共155名学生，他们在学校里都没有学过复数和无穷级数概念。研究之五：虚数与发散级数(1)瑞士大数学家欧拉〔L.Euler,1707～1783〕曾经遇到这样的题目：求。欧拉的结果是：。丹麦著名数学家邹腾〔H.G.Zeuthen,1839～1920〕在大学考试中也遇到类似题目：求。邹腾的答案是。你认为欧拉和邹腾的答案对吗？请发表任何评论。研究之五：虚数与发散级数(2)1703年，意大利数学家格兰第〔G.Grandi,1671～1742〕研究了的和〔有无穷多个加数，1和-1交替出現〕。你能求出这个和吗？研究之五：虚数与发散级数第1题结果答

案欧拉和邹腾都不对欧拉和邹腾都对欧拉错，邹腾对欧拉对，邹腾錯对錯不明确人数7461956百分比47.7%39.4%5.8%3.2%3.9%研究之五：虚数与发散级数第2题结果答案0或101/2-1或0

n,n-1,2n不能求解未給答案人數901510763195百分比58.1%9.7%6.5%4.5%3.8%1.9%12.3%3.2%研究之五：虚数与发散级数研究结论就虚数和无穷级数概念而言，学生的认知过程重蹈历史开展过程。本研究支持了F·克莱因、庞加莱、波利亚、弗赖登塔尔、M·克莱因这些论断。研究之六：函数概念研究问题：高中生是如何理解函数概念的？是否具有历史相似性？研究方法：测试与访谈。用自己的语言描述什么是函数。被试：洛阳某中学高一和高三两个年级的局部学生，其中高一122人，高三116人。研究之六：函数概念类別定

义高一高三總計A变量的对应关系59（48.4%）19（16.4%）78（32.8%）B集合的对应关系6（4.9%）20（17.2%）26（10.9%）C映

射0（0）20（17.2%）20（8.4%）D解析式11（9.0%）7（6.0%）18（7.6%）E运算9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）F变量的依赖关系3（2.5%）10（8.6%）13（5.5%）G图像5（4.1%）7（6.0%）12（5.0%）H模糊或错误的定义14（11.4%）9（7.9%）23（9.7%）I其它6（4.9%）8（6.9%）14（5.9%）J未回答9（7.4%）8（6.9%）17（7.1%）研究之六：函数概念类別对函数的理解历史上的代表数学家1运算格雷戈里（1667）2解析式伯努利（1696、1718）；欧拉（1748）；拉格朗日（1797）；布尔（1854）3曲线（图像）欧拉（1748）4变量的依赖关系莱布尼茨（1714）；欧拉（1755）；拉克洛瓦（1797）；柯西（1821、1823）；罗巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；斯托克斯（1847）5变量的对应关系孔多塞（1778）；傅立叶（1822）；罗巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（1837）；黎曼（1851）；汉克尔（1870）；哈代（1908）；古尔萨（1923）6映

射戴德金（1887）7集合的对应关系坦纳里（1904）；卡拉泰奧多里（1917）；维布伦（20世紀）；布尔巴基（1939）8序偶集皮亚诺（1911）；豪斯多夫（1914）；布尔巴基（1939）研究之六：函数概念研究结论

尽管中学生已经学过函数概念，但他们对函数的理解却是多种多样的，与17世纪以后到20世纪上叶不同时空数学家的理解有着高度的相似性。研究之七：数的大小关系Thomaidis,Y.Tzanakis,C.研究问题：中学生对负数的大小关系的理解是否具有历史相似性？研究方法：测试。被试：16岁初中生〔第一组30人，测试安排在即将开始学不等式解法之时；第二组28人，测试安排在刚学完同一内容之时，两组被试均已学过实数大小关系、不等式根本性质、绝对值和平方根〕。研究之七：数的大小关系测试题：(1)不等式x2>9〔或x2<9〕的解是什么？(2)假设x2<y2〔或x2>y2〕，那么x和y的关系如何？(3)设a、b和c为三个负整数，那么要使三者变成正数，所需加上的最小整数是多少？研究之七：数的大小关系x2>9x2<y2最小整数正确8(27%)2(7%)7(23%)不完整--6(20%)6(20%)错误22(73%)19(63%)9(30%)空白--3(10%)8(27%)第1组测试结果统计(N=30)研究之七：数的大小关系x2<9x2>y2最小整数正确9(32%)3(11%)3(11%)不完整--2(7%)6(21%)错误19(68%)20(71%)9(32%)空白--3(11%)10(36%)第2组测试结果统计(N=28)研究之七：数的大小关系类别解法人数正误A平方根与绝对值511112

不等式x2>9的解法〔第1组〕研究之七：数的大小关系类别解法人数正误B因式分解4F直接给出答案33111不等式x2>9的解法〔第1组〕研究之七：数的大小关系类别解法人数正误G文字表达1.小于-3且大于3的数12.不能取-3和3之间的数，故11

4.除去-3,-2,-1,0,1,2,3,15.大于3的数及其相反数1

1

不等式x2>9的解法〔第1组〕研究之七：数的大小关系类别解法人数正误A平方根1111B因式分解5不等式x2<9的解法〔第2组〕研究之七：数的大小关系类别解法人数正误C因式分解与符号表2

D解相应方程511

1不等式x2<9的解法〔第2组〕研究之七：数的大小关系类别解法人数正误E利用三项式符号法则3

F直接回答211

1

不等式x2<9的解法〔第2组〕研究之七：数的大小关系类别解法人数正误F直接回答11不等式x2<9的解法〔第2组〕研究之七：数的大小关系研究结论学生对负数大小关系的理解、存在的困难和所犯的错误与历史上数学家的理解、错误与困难是相似的。但这种相似性受到今天教学因素的影响，故不能说是“严格的相似〞。历史相似性及其教学启示Furinghetti:将数学史用于数学教学的过程案例1三角形内角和定理案例2相似三角形的应用时间作者或著作工作相似三角形性质前2000年？巴比伦祭司分割直角三角形面积之比等于对于边平方比前6世纪泰勒斯测量金字高度及轮船与海岸距离对应边成比例前6世纪欧帕里诺斯开掘直线穿山隧道对应角相等前2世纪周髀算经测量太阳直径对应边成比例1世纪九章算术远距离测量对应边成比例案例2相似三角形的应用案例2相似三角形的应用案例2相似三角形的应用案例2相似三角形的应用案例2相似三角形的应用隧道全长1036米，宽1.8米，高1.8米案例2相似三角形的应用萨莫斯岛上的穿山隧道(前530年)案例2相似三角形的应用泰勒斯是如何测量金字塔高度的？Thales(about624BC-about547BC)案例2相似三角形的应用泰勒斯是如何测量轮船离海岸距离的？案例3一元二次方程的概念案例3一元二次方程的概念例1矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、宽各为多少？〔埃及纸草书〕例2矩形面积为60，长比宽多7。问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。例3矩形面积为60，长比宽多7。长宽之和为17，问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。〔巴比伦泥版〕案例3一元二次方程的概念例4长为30英尺的梯子竖直靠在墙上，当梯子的顶端沿墙向下滑动6英尺时，底端离墙滑动多远？例5在例3中，如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列出底端再一次滑动的距离所满足的方程。案例3一元二次方程的概念例6如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方20米处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南方走14米，然后转向西走1775米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是多少？试列出方程。案例3一元二次方程的概念案例4解一元二次方程的因式分解法哈里奧特〔T.Harriot,1560-1621〕：案例4解一元二次方程的因式分解法笛卡儿〔R.Descartes,1596-1690〕?几何学?〔1637〕：將一元一次方程x-2=0和x-3=0相乘，得一元二次方程，它的两个根为2和3。借鉴历史，教師可以先給出下面的例子。例1解以下方程：〔1〕(x-4)(x+4)=0；〔2〕(x-3)(x-4)=0；〔3〕(2x+3)(x-1)=0。案例4解一元二次方程的因式分解法在得到诸方程的根之后，教师进一步问：上面三个方程是否一元二次方程？让学生將方程左边展开，得到一般形式的一元二次方程之后，让学生思考：对于一般的一元二次方程，我们能否反过来把左边分解成两个一次因式的乘积，从而得出两个根呢？例2解以下方程：〔1〕；〔2〕。案例5二元一次方程组的概念例1、列一元一次方程，解以下各文字题：〔1〕长方形的长和宽的1/4倍之和等于7，长、宽之和等于10。求长和宽。〔古巴比伦泥版〕〔2〕两块地共1亩，第一块地亩产4担粮食，第二块地亩产3担粮食。第一块地的产量比第二块的产量多担。问：两块地的面积各为多少？〔古巴比伦泥版〕案例5二元一次方程组的概念〔3〕每立方寸玉重7两；每立方寸石重6两。现有一块边长为3寸的立方石块，其中含有玉，总重11斤。问：这块立方石块所含玉、石的重量各为多少？〔中国?九章算术?〕〔4〕两数之和为100，差为40，求这两个数。〔丢番图?算术?〕案例5二元一次方程组的概念〔5〕某人工作1月〔30天〕，得7比赞〔古罗马货币〕；怠工一月，付给工头4比赞。月末，他从工头处得到1比赞。问：此人工作几天？怠工几天？〔斐波纳契?计算之书?〕〔6〕为了鼓励儿子学好算术，儿子每做对一道题，父亲给他8分钱；做错一道题，罚5分钱。做完26道题后，谁也不用给谁钱。问：儿子做对了几道题？〔克拉维斯?代数?〕案例5二元一次方程组的概念教师先让学生解上述诸题，然后让学生答复：所选择的未知量是什么？另一个量是什么？如何表示？根据题意得到怎样的一元一次方程？最后，教师作出总结，如下表所示。案例5二元一次方程组的概念题次未知量另一个量一元一次方程（1）长方形的长（x）（2）第一块地的面积（x）（3）玉的体积（x）（4）较小的数（x）（5）工作天数（x）（6）做对题数（x）案例5二元一次方程组的概念接着，教师让学生思考：上面六个问题各涉及两个量，我们在求解的时候，只设其中一个为x，而另一个量那么根据题设的其中一个数量关系，用x来表示，最后利用另一个数量关系，得到关于x的一元一次方程。如果我们把另一个量也看作未知量，并设为y，情形又如何呢？在学生讨论之后，让他们答复：两个未知量分别是什么？根据题意可得怎样的等式？有几个等式？案例5二元一次方程组的概念题次未知量之一未知量之二方程一方程二（1）长方形长（x）长方形的宽（y）（2）第一块地面积（x）第二块地面积（y）（3）玉的体积（x）石的体积（y）（4）较小的数（x）较大的数（y）（5）工作天数（x）怠工天数（y）（6）做对题数（x）做错题数（y）案例5二元一次方程组的概念例2、阅读以下问题，设未知数，分别列出一元一次方程和二元一次方程组：〔1〕有一位行人黄昏经过一个树林，忽听得林间有人在说话，细听方知是一群窃贼在讨论分赃之事。只听得窃贼说：“每人6匹，那么多出5匹；每人7匹，那么又少了8匹。〞问：共有几个窃贼，几匹赃物？〔高彦休?唐阙史?〕〔2〕假设干人共同出钱购物，假设每人出8元，那么多了3元；假设每人出7元，那么又少了4元。问：共有几个人？物价是多少？〔?九章算术?〕案例6三角公式众所周知，今天的数学课本是用比来定义三角函数的。但在漫长的历史长河中，数学家和天文学家所用的三角函数都不过是于一条线段而已。六种三函数的起源如下表所示。案例6三角公式三角函数起源符号或译名数学/天文学家地区时代正弦半弦jyāAryabhata印度6世纪余弦余角半弦kotijyāAryabhata印度6世纪正切转影umbra

versaHabashal-Hâsib阿拉伯9世纪余切直影umbra

rectaHabashal-Hâsib阿拉伯9世纪正割直角三角形斜边hypotenusaAbu’l-Wefa阿拉伯10世纪余割直角三角形斜边hypotenusaAbu’l-Wefa阿拉伯10世纪案例6三角公式阿布·韦发〔Abu’l-Wefa,940～998〕：案例6三角公式雷提库斯〔G.J.Rheticus,1514-1576〕抛弃了传统的把三角函数定义，转而将三角函数看作是角的函数，并利用直角三角形中三边来定义六种函数。他将正弦、余弦、余割分别称为perpendiculum、basis和hypotenusa。他知道下面的关系：案例6三角公式韦达〔F.Viète,1540～1603〕他给出了同角三角函数更多的关系式：案例6三角公式案例6三角公式帕普斯〔Pappus,3世纪末〕?数学汇编?案例6三角公式案例7

等比数列求和莱因得纸草书〔约公元前1650年〕案例7

等比数列求和莱因得纸草上的等比数列问题

案例7

等比数列求和

案例7

等比数列求和欧几里得?几何原本?〔公元前3世纪〕第9卷命题35

案例7

等比数列求和

案例7

等比数列求和等比数列求和公式的几何探求

案例8

二次幂和阿尔·海赛姆〔Al-Haitham,965～1039〕：10-11世纪波斯数学家案例8

二次幂和

案例8

二次幂和吉尔森〔R.LeviBenGershon,1288-1344〕?计算者之书?(MaasehHoshev)案例8

二次幂和边长分别为1、2、3、…n的n个正方形面积之和即为二次幂和案例8

二次幂和吉尔森公式的几何图示：扩缩法案例8

二次幂和案例8

二次幂和三角形法案例8

二次幂和案例8

二次幂和案例8

二次幂和案例8

二次幂和体积法案例8

二次幂和案例9三次幂和阿尔·卡克西〔Al-Karkhi,953～1029〕案例9三次幂和阶梯法案例10复数之引入课本的引入x2+1=0〔〕(在初中，老师告诉我们，负数沒有平方根；現在，老师又说了，到底怎么回事？难道方程非要有根不可吗？郁闷啊！)案例10复数之引入x3＋px＝q邦贝利〔4，〕

、案例10复数之引入萊布尼茨：x2+y2=2,xy=2莱布尼茨惊叹：“在一切分析中，我從來沒有见过比这更奇异、更矛盾的事实了。我觉得自己是第一个不通过开方而將虛数形式的根化为实数值的人。〞案例10复数之引入惠更斯〔C.Huygens,1629～1695〕的惊讶：“含有虚数的不可开根相加结果竟就是一个实数，你的這一结果令人惊讶，前所未有。人们決不相信会等於，这里面隐藏着我们无法理解的东西。〞案例10复数之引入迄今为止，同学们一直都在实数的海洋里遨游。那么，有沒有实数之外的数呢？请大家探索以下问题：，，(1)求x+y；(2)分别求x和y。案例11曲线的切线为什么需要求曲线的切线？讲解17世纪数学家遇到的三类问题光的反射；曲线运动；曲线交角笛卡儿：“切线问题是我所知道的、甚至也是我一直想要知道的最有用的、最一般的问题。〞案例11曲线的切线如何求曲线的切线？

让学生回忆或思考：圆的切线是如何定义的？

案例11曲线的切线给出三次曲线和正弦曲线的切线；

案例11曲线的切线案例11曲线的切线引入17世纪数学家的作图法：案例11曲线的切线案例11曲线的切线最后，给出现代求法。历史相似性及其教学启示结论

数学历史为数学教学提供了新视角。为了将数学史融入数学教学，数学教师在进行教学设计时有必要研究历史专题、了解历史脉络、借鉴历史顺序、运用历史资料。历史相似性及其教学启示教师首先需要了解所教概念的历史开展过程，并确定历史开展过程中的假设干关键环节，一个环节开展到下一个环节的动因是什么？数学家遇到何种困难和障碍？在此根底上，重构这些环节，设计出一系列由易至难、环环相扣的问题情境〔可以是历史上的问题或改编的问题〕，实施于课堂。历史相似性及其教学启示设想将师范课程?数学史?改为?数学史与数学教育?，或?数学史与数学教学设计?历史相似性及其教学启示值得研究的假设干案例〔高中局部〕1、对数概念的开展与引入2、极限概念的开展与引入3、函数概念的开展与引入4、算法概念的开展与引入5、数列单元的HPM教学设计〔以古代数学文本中的数列问题为根本材料〕历史相似性及其教学启示6、数列单元的HPM教学设计7、等可能事件的概率HPM教学设计8、圆锥曲线单元的HPM教学设计9、数学期望的HPM教学设计10、和角公式单元的教学设计11、空间向量的坐标运算单元的教学设计12、欧拉定理的教学设计历史相似性及其教学启示References[1]Fauvel,J.1991.UsinghistoryinMathematicsEducation.FortheLearningofMathematics.11(2):3-6.[2]Harper,E.1987.GhostsofDiophantus.EducationalStudiesinMathematics,18:75-90历史相似性及其教学启示[3]Bagni,G.T.2000.Difficultieswithseriesinhistoryandintheclassroom.In:Fauvel,J.&vanMaanen,J.(eds.).Historyinmathematicseducation.Dordrecht:KluwerAcademicPublishers,82-85[4]Keiser,J.M.2004.Struggleswithdevelopingtheconceptofangle:comparingsixth-gradestudents’discoursetothehistoryofangleconcept.Mathema-ticalThinkingandLearning,6(3):285-306历史相似性及其教学启示[5]Zormbal