奇偶性(公开课)

XYoOXY函数的基本性质2—函数的奇偶性授课教师：张哲0xy123-1-2-31234560xy123-1-2-3123456观察下面两个函数图象，它们有什么共同特征？结论：这两个函数的图象都关于y轴对称。y=x2y=|x|yx20123-1-2-313456f(-3)=9y=x29410149-1x-3-20123……f(-x)f(x)表（1）填写表（1），你发现了什么？f(-1)=1f(-2)=4x-xy=x2=f(1)=f(2)=f(3)=特点：当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等.x0y123-1-31234563210123-1x-3-20123填写表（2），你发现了什么？-2f(-2)=2=f(2)f(-1)=1=f(1)……f(-x)=f(x)y=|x|f(-3)=3=f(3)表（2）y=|x|特点：当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等.

观察下面两个函数你能发现它们有什么共同特征吗？-30xy123-1-2-1123-2-30xy123-1-2-1123-2-3结论：两个函数图象都关于原点对称。f(x)=x3210-1-2-3-1x-3-20123f(-3)=-3=0xy123-1-2-1123-2-3……f(-x)-f(x)f(x)=x填写表（3），你发现了什么？f(-1)=-1f(-2)=-2=x-x表（3）-f(1)=-f(2)-f(3)=f(x)=x特点：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值也是相反数0xy123-1-2-1123-2-3填写表（4），你发现了什么？

f(-3)==-f(3)f(-1)=-1=-f(1)f(-2)==-f(2)……f(-x)=-f(x)13210-2-3x-1-1表（4）特点：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值也是相反数函数奇偶性的定义：如果对于函数y=f(x)的定义域内的任何一个ｘ，都有f(-x)=-f(x)则这个函数叫做奇函数如果对于函数y=f(x)的定义域内的任何一个ｘ，都有f(-x)=f(x)则这个函数叫做偶函数注意：如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性奇函数的图象(如y=x3)偶函数的图象(如y=x2)yxoaaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-ayxoaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-a偶函数的图象关于y轴对称..奇函数的图象关于原点对称..反之,若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数反之,若一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数图像特征定义域关于原点对称,是偶函数吗？问题：1.0x123-1-2-3123456y不是。解：前提条件问题：2

是奇函数吗？-30xy123-1-2-1123-2-3解：不是。xy例：y=x30单调性xoy=x2例：奇函数：对称定义域单调性相同偶函数：对称定义域单调性相反y慧眼识图将下面的函数图像分成两类Oxy0xy0xy0xy0xy0xy（3）。判断下列语句1、偶函数图像关于y轴对称。（）2、一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数就是偶函数。（）3、关于y轴对称的图像就是偶函数的图像。（）对对错(1)(2)(3)(4)偶函数非奇非偶函数奇函数非奇非偶函数ooooxxxxyyyy例1、判断下列函数的奇偶性：[例2]已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象.OyxOyx[例2]已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象.解:Oyx[例2]已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象.解:Oyx[例2]已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象.解:练习1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。00yxf(x)yxg(x)............①f(x)=x4_______②f(x)=x________③f(x)=x5_______练习2：说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数⑤f(x)=x2

2_______⑥f(x)=x

3_______[结论]

一般的，对于形如f(x)=xn的函数:若n为偶数，则它为偶函数.

若n为奇数，则它为奇函数.④f(x)=x

1_______非奇非偶函数偶函数非奇非偶函数=

(x3+2x)

=

f(x)解:∵f(

x)=(

x)3+2(

x)=

x3

2x∴f(x)为奇函数∵f(

x)=2(

x)4+3(

x)2=2x4+3x2

=f(x)∴f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R(1)f(x)=x3+2x(2)f(x)=2x4+3x2[例3]判断下列函数的奇偶性：判断奇偶性步骤：一看

定义域

二找关系f(

x)=

f(x)

或

f(

x)=f(x)三判断

奇或偶(3).f(x)=5(4)f(x)=0解:(3)f(x)的定义域为R∵f(-x)=f(x)=5∴f(x)为偶函数解:(4)定义域为R∵f(-x)=f(x)=0又f(-x)=-f(x)=0∴f(x)为既奇又偶函数yox5oyxf(x)=c(c≠0且为常数）

常见的偶函数既奇又偶的函数有且只有一类：即f(x)=0，x属于D，D关于原点对称

(5).f(x)=x+1(6).f(x)=x2

x∈[-1,3]解:(5)∵f(-x)=-x+1-f(x)=-x-1∴f(-x)≠f(x)

且f(-x)≠–f(x)∴f(x)为非奇非偶函数解:（6）∵定义域不关于原点对称

∴f(x)为非奇非偶函数yoxox