画法几何课件

线直线：线上的诸点都位于同一直线上曲线：线上的诸点都不位于同一直线上面平面：面上诸点都位于同一平面上曲面：面上诸点都不位于同一平面上立体：由面围成的有限空间立体平面立体：全部表面都是由平面围成的立体曲面立体：由曲面或曲面和平面围成的立体第一页第二页，共75页。2.6.1平面立体及其表面上的线和点

平面立体是全部由平面表面围成的立体，也称为多面体。

平面立体的每个表面都是平面多边形。第二页第三页，共75页。在平面立体表面上作点和线，也就是在它的各个平面多边形表面上作点和线。

线的投影为可见时，画粗实线；不可见时，画中虚线；当粗实线和中虚线重合时，应画粗实线。

绘制平面立体的投影，归结为绘制它的所有多边形表面的投影，也就是绘制这些多边形的边和顶点的投影。第三页第四页，共75页。2.6.1.1棱柱及其表面上的线和点棱柱：一个平面立体若有两个平行的表面，而其余所有的表面的每两个相邻表面的交线都互相平行。棱柱体的组成：端面棱面棱线顶边底边顶面底面第四页第五页，共75页。棱柱体直棱柱：棱线垂直于端面的棱柱正棱柱：端面是正多边形的直棱柱斜棱柱：棱线倾斜于端面的棱柱第五页第六页，共75页。正六棱柱的投影正六棱柱的顶面及底面平行于水平投影面，其水平投影反映实形；前后棱面与正面平行，其正面投影反映实形。第六页第七页，共75页。判断立体表面上点和线可见与否的原则是：如果点、线所在的表面投影可见，那么点、线的同面投影一定可见，否则不可见。

求解方法有：

（1）从属性法当点位于立体表面的某条棱线上时，那么点的投影必定在棱线的投影上，既可利用线上点的“从属性”求解。

（2）积聚性法当点所在的立体表面对某投影面的投影具有积聚性时，那么点投影必定在该表面对这个投影面的积聚投影上。

（3）辅助线法

平面立体表面上的点和直线第七页第八页，共75页。表面上取点：可由棱面的积聚投影和正面投影，通过45°辅助线求出侧面投影。a'(a')aaa"a"第八页第九页，共75页。正五棱柱如图所示，正五棱柱的三面投影图，补全这些点A、B、C、D和折线EFGHI的三面投影。

a(b)e'f'g'h'i'c"(d")c(c')a"a'b'b"d(d')ee"f"g"h"fghii"第九页第十页，共75页。2.6.1.2棱椎及其表面上的线和点棱椎：平面立体若有一个表面是多边形，其余的各个表面都是具有同一个顶点的三角形。棱面棱线锥顶正棱锥正多边形底面第十页第十一页，共75页。正五棱锥投影图的作图过程：第十一页第十二页，共75页。sds'sds'sds'已知正三棱锥的两面投影和正三棱锥表面上的点D的水平投影d，求作它的正面投影d'。棱面上取点，只能按在一般位置平面上取点的方法，用辅助线来作图。d'sds'aa'd'bb'cec'e'd'第十二页第十三页，共75页。s'sk(l)abcdb'c'a'd'e's"c"d"b"e"a"eg'h'(f")[例2.46]如图所示，已知正五棱锥表面上的点F、K、L和直线GH的一个投影，补全这些点和直线的三面投影。k"k'l"l'3"3ff'g"h"gh1'2'12s'sk(l)abcdb'c'a'd'e's"c"d"b"e"a"eg'h'(f")第十三页第十四页，共75页。2.6.1.3一些平面立体的投影图示例正三棱柱左端切割成正垂面的L形柱斜三棱柱正四棱台第十四页第十五页，共75页。楔形块叠加组合体第十五页第十六页，共75页。2.6.2平面曲线和空间曲线曲线可以看作是不断改变方向的点的连续运动的轨迹。曲线的投影是曲线上诸点的投影的集合曲线平面曲线：所有的点都位于同一平面上的曲线，如圆空间曲线：连续四点不在同一平面上的曲线，如圆柱螺旋线第十六页第十七页，共75页。2.6.2.1平面曲线及其投影特性①曲线所在的平面平行于投影面时，在该投影面上的投影反映真形；平面曲线投影特性：第十七页第十八页，共75页。②曲线所在的平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影成为一直线段；③曲线所在的平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影成为形状缩小的类似形。第十八页第十九页，共75页。[例2.47]如图所示，已知△PQR及平面内的平面曲线AE的水平投影，求作这条平面曲线的正面投影。b1cd2345f1'2'3'4'5'f'b'c'd'a'e'第十九页第二十页，共75页。2.6.2.2圆及其投影特性正平圆的投影特性：①V面上的投影反映真形；②H面、W面上的投影为直线，并分别平行于OX轴和OZ轴，长度等于直径，中点是圆心C的投影c、c"

。XOZYHYWcc'c"第二十页第二十一页，共75页。铅垂圆的投影长轴：铅垂直径CD的投影c'd'=D短轴：水平直径AB的投影a'b'=Dcosβ第二十一页第二十二页，共75页。铅垂圆的投影特性：①水平面上的投影成直线，该直线反映圆平面对V面的夹角β，长度等于直径，中点是圆心C的投影c。②正面上的投影为一椭圆，长轴是这个铅垂圆的唯一一条铅垂直径的正面投影，且反映真长，短轴是这个圆平面上与铅垂直径相垂直的直径，长短轴的交点是椭圆的中心，也是圆心的投影。第二十二页第二十三页，共75页。铅垂圆的两面投影及其作图过程b'a'OXdacbeβe'c'd'第二十三页第二十四页，共75页。从上述可归纳出圆的投影特性：①在与圆平面平行的投影面上的投影反映真形。②在与圆平面垂直的投影面上的投影成直线，长度等于圆的直径，中点是圆心的投影。③在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆：椭圆的中心是圆心的投影；长轴是平行于这个投影面的直径的投影，且反映真长；短轴是平行于投影面的直径相垂直的直径的投影。第二十四页第二十五页，共75页。推知：铅垂圆的侧面投影也是椭圆，长轴是圆平面上平行于侧面W的直径的投影，短轴是圆平面上与上述直径相垂直的直径的投影。第二十五页第二十六页，共75页。[例2.48]如图所示，已知直径为24mm的铅垂圆的圆心C的两面投影，圆平面与V面的倾角β=30°，水平直径的方向是从左后往右前，作出这个铅垂圆的水平投影，并用换面法和连点法作出这个圆的正面投影。XOVHcc'OXVHcc'30°abO1X1HV1c1'a1'b1'd1'e1'dcea'b'd'e'11'21'31'41'51'61'71'81'785612341'2'3'5'7'8'6'4'第二十六页第二十七页，共75页。进一步推知：①当圆平面处于一般位置时，圆的三面投影都是椭圆。②椭圆的长短轴也分别都是平行于该投影面的直径以及与这条直径相垂直的直径的投影。第二十七页第二十八页，共75页。③这三个椭圆的长短轴是圆的三对不同位置的互相垂直的直径的投影，可按圆的投影特性、平面上的直线的几何条件、一边平行于投影面的直角的投影特性、已知直线的真长反求直线的投影的作图方法，或者用换面法，分别直接作出。第二十八页第二十九页，共75页。2.6.2.3空间曲线的投影空间曲线的投影是一条平面曲线空间曲线的投影图除了标注出端点的投影符号外，有时还需要标注出曲线上的一些能够确定曲线的形状和走向的点的投影符号。空间曲线立体图空间曲线投影图第二十九页第三十页，共75页。2.6.3曲面、曲面立体及其表面上的线和点2.6.3.1曲面的形成和分类曲面不规则曲面：不按几何规律形成的曲面，如地面规则曲面：按几何规律形成的曲面，如圆柱规则曲面可以看作为一条线按一定的规律运动的轨迹第三十页第三十一页，共75页。母线：可以是直线或曲线素线：母线的任意位置导点、导线、导面：控制母线运动而本身不动的点、线、面第三十一页第三十二页，共75页。曲面回转面：由母线旋转而形成的曲面，如圆柱非回转面：如双曲抛物面等回转面直纹面：由直线作为母线旋转而形成的曲面，如柱面、锥面等曲线面：由曲线作为母线旋转而形成的曲面，如球面、圆环面等第三十二页第三十三页，共75页。直线面单曲面：连续两素线（指无限接近的相邻两素线）彼此平行或相交的曲面，如图柱面和圆锥面等扭曲面：连续两素线彼此交叉的曲面，如单叶双曲回转面和锥状面等第三十三页第三十四页，共75页。曲面可展曲面：曲面能展开成平面，如直纹面中的柱面、锥面和切线面等单曲面的连续素线彼此平行或相交，故为可展曲面不可展曲面：曲面不能展开成平面，如扭曲面的连续两素线彼此交叉，故为不可展曲面，另外还有曲线面第三十四页第三十五页，共75页。从几何观点来看，画出形成曲面的各个几何元素的投影，该曲面即可确定。但为了使图形更加形象易懂，通常还需画出以下几何元素的投影：曲面的表示法第三十五页第三十六页，共75页。①曲面边界线的投影除球面、环面等封闭曲面外，多数曲面都是可以无限扩大的。为了表示曲面的有限范围，一般利用曲面上起始和终止位置的素线及其母线端点的轨迹曲线等对曲面的范围加以限制。第三十六页第三十七页，共75页。将曲面向某投影面投影时，曲面与投影面有一系列切点，这些切点的连线（直线或曲线）称为曲面对该投影面的轮廓线。画图时，对某一投影面的轮廓线，只需画出它在该投影面上的投影，其余投影不必画出。此外，曲面对某投影面的轮廓线也是曲面对该投影面的可见性分界线。②曲面轮廓线的投影

第三十七页第三十八页，共75页。曲面立体：由曲面或曲面和平面所围成的立体球面球体圆柱面底面顶面圆柱体第三十八页第三十九页，共75页。底面圆锥面圆锥体回转体：由回转面围成的立体或由回转面为主要表面与平面一起所围成的立体在曲面立体上作线和点，也就是在围成这个立体的曲面或曲面和平面上作线和点第三十九页第四十页，共75页。2.6.3.2回转面和回转体直纹面——圆柱面、圆锥面、单叶双曲回转面曲线面——球面、环面等。组合回转面：由各段不同的回转面连接而构成本节主要阐述：圆柱、圆锥和圆台、球、环、一般回转面和组合回转面、单叶双曲回转面、切割或叠加的回转体。简要说明：在回转体表面上作点或线的投影的原理和方法。回转面第四十页第四十一页，共75页。回转面的两个基本性质（1）回转面母线上任一点，随母线运动的轨迹均为圆，该圆称为纬圆。纬圆所在的平面垂直于轴线。因此，所有垂直于回转轴线的平面与回转面的交线均为圆，圆心即该平面与轴线的交点O，半径r等于该平面与任一素线的交点C到圆心O的距离。在与回转轴线垂直的投影面上，所有纬圆的投影均为圆。

第四十一页第四十二页，共75页。（2）回转面与包含轴线的平面相交得到两条素线。当该平面平行于某投影面时，这两条素线为回转面对该投影面的可见性边界线，即回转面对该投影面的轮廓线。它们在该投影面上的投影反映回转面母线的实形以及母线与轴线的相对位置。第四十二页第四十三页，共75页。（1）圆柱最前素线最左素线最后素线最右素线最左素线最前素线

圆柱轴线垂直于H面，上下端面的H面投影反映实形，V面和W面的投影积聚为直线。圆柱面的H投影积聚为圆周，V面和W面投影为矩形。注意圆柱面上最左、最右、最前、最后素线在V面和W面投影中的位置。后半圆柱面的V面投影不可见；右半圆柱面的W面投影不可见。最右素线最后素线第四十三页第四十四页，共75页。c'd'a(b)a'如图所示，已知圆柱表面上的点A、B的水平投影a(b)，以及曲线CD的正面投影c'd'，补全这些点和线的三面投影。

圆柱面上取点，可利用H面投影的积聚性来求其余投影。注意后半圆柱面的V面投影不可见；右半圆柱面的W面投影不可见。b'a"b"cc"dd"e'ee"f'ff"第四十四页第四十五页，共75页。（2）圆锥和圆台圆锥轴线垂直于H面，底面的H面投影反映实形，V面和W面的投影积聚为直线。圆锥面的H面投影无积聚性，V面和W面投影是等腰三角形。注意圆锥面上最左、最右、最前、最后素线在V面和W面投影中的位置。后半圆锥面的V面投影不可见；右半圆锥面的W面投影不可见。最前素线最左素线最右素线最后素线第四十五页第四十六页，共75页。圆锥面上取点，可用直素线法和纬圆法求。注意后半圆锥面的V面投影不可见；右半圆锥面的W面投影不可见。b'bb"aa"B第四十六页第四十七页，共75页。纬圆法aa"第四十七页第四十八页，共75页。圆锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的这段立体称为圆台，截出的断面称为圆台的顶面，圆台的顶面也是一个圆。最前素线最左素线最右素线最后素线第四十八页第四十九页，共75页。（3）球第四十九页第五十页，共75页。圆球的三个投影均为等径圆，并且是圆球上平行于相应投影面的最大轮廓圆。第五十页第五十一页，共75页。V面投影轮廓圆H面投影轮廓圆W面投影轮廓圆

H面投影的轮廓圆是上、下两半球的可见性分界线；

V面投影的轮廓圆是前、后两半球的可见性分界线；

W面投影的轮廓圆是左、右两半球的可见性分界线。第五十一页第五十二页，共75页。c'a'cc"已知球的水平投影和正面投影，以及球面上的点A的正面投影，需求作球的侧面投影，以及点A的水平投影a和侧面投影a'。作水平圆a'a"a第五十二页第五十三页，共75页。已知球的水平投影和正面投影，以及球面上的点A的正面投影，需求作球的侧面投影，以及点A的水平投影a和侧面投影a'。作正平圆a'c'a'cc"1'1a"a第五十三页第五十四页，共75页。已知球的水平投影和正面投影，以及球面上的点A的正面投影，需求作球的侧面投影，以及点A的水平投影a和侧面投影a'。作侧平圆a'c'a'cc"a"a第五十四页第五十五页，共75页。圆球面上的曲线第五十五页第五十六页，共75页。（4）环当母线圆绕圆平面上不通过圆心的直线旋转一周，所形成的回转面是环面，环面所围成的立体就是环体，简称环。第五十六页第五十七页，共75页。轴线为铅垂线的环的两面投影第五十七页第五十八页，共75页。如图所示，已知环面上顺次向后的四个点A、B、C、D的互相重合的正面投影a'(b')(c')(d')，作出这四个点的水平投影，并表明可见性。badc1'2'12第五十八页第五十九页，共75页。（5）一般回转面和组合回转面有一条平行于正面V的一般的曲线ABCD绕这条曲线所在的正平面内与ABCD不相交的铅垂线旋转一周所形成的曲面称为一般回转面。第五十九页第六十页，共75页。（5）一般回转面和组合回转面一般回转面上定点：这个回转面的投影没有积聚性，在这个回转面上不存在直线，所以用纬圆法作图。若加设顶圆平面和底圆平面，则围成一般回转体。第六十页第六十一页，共75页。（6）单叶双曲回转面有两条交叉直线：一般位置直线CD和铅垂线AB，以AB为轴线，CD绕AB旋转一周，则形成单叶双曲回转面。第六十一页第六十二页，共75页。因这个曲面的投影无积聚性，通常也用纬圆法作点的投影。第六十二页第六十三页，共75页。复线织面：有两组直素线形成的曲面，也称为复线织面第六十三页第六十四页，共75页。（7）切割或叠加的回转体四分之一圆管四分之一环半圆柱切割掉半个圆台第六十四页第六十五页，共75页。（7）切割或叠加的回转体注意：在两个回转体相切处，切线不是回转面上的轮廓线，所以在投影图中不画相切处的切线。在两个回转体相交处，交线是组合回转体表面上的轮廓线，所以在投影图中应画相交处的交线。圆柱切割掉半球半球与圆柱相切圆台与半球相交第六十五页第六十六页，共75页。如图所示，图中给出了三个同轴回转体叠加组成的组合回转体，并给出了在这个组合回转体表面上由