高二数学函数的极值与导数(共25张)

第一章导数及其应用人教A版选修2-2国光中学侯墩煌1.3.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<01.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f/（x）>0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数.知识回顾:如果在某个区间内恒有,则为常数.2.求函数单调性的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数

f/（x）

;③解不等式

f/（x）>0得f(x)的单调递增区间;

解不等式f/（x）<0得f(x)的单调递减区间.关注用导数本质及其几何意义解决问题

3.思考：

观察下图，当t=t0时距水面的高度最大,那么函数h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？观察图象中，点a和点b处的函数值与

它们附近点的函数值有什么的大小关系？(图一)极大值f(b)点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.极小值f(a)思考1：极大值一定大于极小值吗？探究极值点两侧导数符号有何规律?f

(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0x2观察函数y=f(x)的图像探究

1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？

2、极大值一定比极小值大么？C

函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。结论:极值点处导数值为0C探究函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?思考2：导数值为0的点一定是极值点吗？探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

当f

(x)=0时，x

=0，而x

=0不是该函数的极值点.f

(x0)

=0x0

是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号

x0

是函数f(x)的极值点f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件思考2：导数值为0的点一定是极值点吗？结论若x0满足f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,如果f/(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f/(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.

从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.图表判别：①极大值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)＋0－y＝f(x)增加减少②极小值的判定：x(a，x0)x0(x0，b)f′(x)－0＋y＝f(x)减少增加极大值极小值oaX00bxyoaX0bxy

如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0).因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即;x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即

同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即;在x0的右侧附近只能是增函数,即.图像判别：练习：

下图是导函数的图象,试找出函数

的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6例1、求函数的极值.解:令,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,,y的变化情况如下表:因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.

求函数的极值点和极值角度1不含参数的函数求极值练习:求函数的极值.解:令=0,解得x1=-1,x2=1.当x变化时,,y的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y’-0+0-y

↘极小值-3↗极大值3↘因此,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3;而,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3.x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+∞)f’(x)+0--0+f(x)

↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例2、求函数的极值.解:函数的定义域为令

,解得x1=-a,x2=a(a>0).当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:角度2含参数的函数求极值当a=4,b=-11时,-3/11<x<1时,;x>1时,,此时x=1是极值点.从而所求的解为a=4,b=-11.练习:已知f(x)=ax5-bx3+c在x=1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:由题意,应有根,故5a=3b,于是:(1)设a>0,列表如下:x-1(-1,1)1+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗由表可得,即.又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a<0,列表如下:x-1(-1,1)1-0

≥00-f(x)↘极小值↗