积分变换与场论1 2 1

1.2傅里叶变换1.傅里叶变换的概念若函数f(t)满足Fourier积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有记为 F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]傅里叶变换式傅里叶逆变换式可以说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个Fourier变换对，它们有相同的奇偶性。还可以将f(t)放在左端,F(w)放在右端,中间用双向箭头连接:f(t)

F(w)F(w)称作f(t)的象函数，f(t)称作F(w)的象原函数。由f(t)的Fourier正弦积分公式可得,傅里叶正弦变换傅里叶正弦逆变换由f(t)的Fourier余弦积分公式可得,傅里叶余弦变换傅里叶余弦逆变换tf(t)1解

Fourier变换0指数衰减函数的积分表达式：1.柯西-古萨基本定理。解

Fourier变换因此有如果令b=1/2，就有可见钟形函数的Fourier变换也是钟形函数。0求钟形脉冲函数的积分表达式例求门函数(单矩形脉冲)

的傅里叶变换。解

Fourier变换注意:在半无限区间上的同一函数，其正弦变换和余弦变换结果是不同的。解

Fourier正弦变换Fourier余弦变换2.单位脉冲函数及其Fourier变换单位阶跃函数u(t)Otu(t)当t0时,当t=0时,q(t)在这一点不连续,0是q(t)的第一类间断点.从而在普通导数意义下,q(t)在这一点不存在导数.i(t)=0.例如问题:

在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.解决办法:引进狄拉克(Dirac)函数,简单记成弱收敛:若对任何一个无穷次可微的函数f(t),

如果函数序列{Sn}满足出发点:

想办法把无法表示的函数用某个可以表出的函数序列求弱极限来得到.称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t)。de(t)1/eeO即:d-函数可以看成一个普通函数序列的弱极限。d-函数的定义:tOd(t)1d(t)(单位脉冲函数)d-函数的性质1:证明:因为对任何一个无穷次可微的函数f(t),性质2：证明:d-函数的筛选性质推论：证明:d-函数的其他性质（习题13）d-函数的Fourier变换根据d-函数的筛选性质可得可见,d-函数和1构成了一个Fourier变换对。tOd(t)1wOF(w)1

在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义Fourier变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换。引入单位脉冲函数的意义:pwO|F(w)|Otu(t)分析:当没有办法直接验证F(w)是一个函数的Fourier变换时,验证逆变换。证:=+++若F(w)=2pd(w)时,由Fourier逆变换可得所以常数1和2pd(w)也构成了一个Fourier变换对。推论:tO2

F(w)f(t)wO1

同理,如果F(w)=2pd(w-w0)由上面两个函数的变换可得意义:

d-函数的引入使得在普通意义下不存在的积分有了确定的数值。例5求正弦函数f(t)=sinw0t的Fourier变换。由Fourier变换公式可得解:tsinω0tpp-w0w0Ow|F(w)|3.非周期函数的频谱在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).与周期函数频谱的区别:连续频谱结论:

对一个时间函数作Fourier变换,就是求这个时间函数的频谱。注:振幅频谱|F(w)|是角频率w的偶函数,即我们定义相角频谱:显然,相角频谱j(w)是w的奇函数,即j(w)=-j(-w)。作业:1.2-10、16常用函数傅氏变换对：δ(t)u(t)e-

t

u(t)gτ(t)112πδ(ω)1.3傅里叶变换的性质1.线性性质[α

f1(t)+

f2(t)]←→[α

F1(ω)+

F2(ω)]若f1(t)←→F1(ω)，f2(t)←→F2(ω)则证明:

2.位移性质时移：若f(t)←→F(ω)则证明:F[f(t–t0)]

时移性质表明，信号在时间轴上的移位，其频谱函数的幅度谱不变，而相位谱产生附加相移。例求F1(ω)=?解:

f1(t)=g6(t-5)g6(t-5)←→gτ(t)←→

频移：若f(t)←→F(ω)则证明:F[ejω0t

f(t)]=F[(ω-ω0)]

频移性质表明，若要使一个信号的频谱在频率轴上右移单位，在时域就对应于其时间信号乘以例1f(t)=ej3t←→F(ω)=?解:1←→2πδ(ω)ej3t×1←→2πδ(ω-3)例2f(t)=cosω0t

←→F(ω)=?解:F(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]例3已知

f(t)←→F(ω)调制信号

f(t)cosω0t←→?

解:3.微分性质时域微分：若f(t)←→F(ω)则这一性质可将时域微分运算转变为频域的代数运算。证明:f(t)=sgnt1-1tf(t)O2tf'(t)O例求符号函数的频谱。解:例求矩形脉冲函数的频谱。t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E解:例求三角脉冲函数的频谱。解:t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)-at/2-t/2aOtf''(t)a-2a频域微分：若f(t)←→F(ω)则(–jt)n

f(t)←→F(n)(ω)(–jt)f(t)←→F′(ω)例求

f(t)=tu(t)←→F

(ω)=?解:4.积分性质时域积分：若f(t)←→F(ω)则频域积分：例求阶跃函数的频谱。例求微分积分方程的解,其中

<t<+,a,b,c均为常数。解根据傅氏变换的微分性质和积分性质，且记

F[x(t)]=X(ω)，F[h(t)]=H(ω)在方程两边取傅氏变换,可得傅里叶变换性质小结5.乘积定理若f1(t)←→F1(ω)，f2(t)←→F2(ω)则6.能量积分（帕斯瓦尔等式）若f(t)←→F(ω)则证明:将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间(–∞,∞)的能量和平均功率定义为（1）信号的能量E（2）信号的功率P

若信号f(