鲁科版物理选修3-4配套学案第1章第3节单摆Word版含答案

第3节单摆1.理解单摆做简谐运动的条件和振动特点．2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式，并能用来进行有关计算．(重点＋难点)3.学会用单摆测重力加速度．(重点)一、单摆的运动1．单摆：把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫做单摆．2．单摆的运动特点(1)摆球以悬点为圆心，在竖直平面内做变速圆周运动．(2)摆球同时以最低点O为平衡位置做往复运动．3．单摆的回复力：如图所示，摆球受重力mg和绳子拉力F′两个力作用，将重力按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F提供了摆球振动所需的回复力F＝mgsinθ，它总是指向平衡位置．在最大摆角小于5°时，sinθ≈θ≈eq\f(x,l)，F的方向可认为与位移x平行，但方向与位移方向相反，所以回复力可表示为F＝－eq\f(mg,l)x.令k＝eq\f(mg,l)，则F＝－kx.1．(1)制作单摆的细线弹性越大越好．()(2)制作单摆的摆球越大越好．()(3)单摆的回复力等于摆球所受合力．()提示：(1)×(2)×(3)×二、单摆的周期1．影响单摆周期因素的实验探究(1)探究方法：控制变量法．(2)实验结论①单摆周期与摆球质量无关．②单摆周期与振幅无关．③单摆的摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短．2．周期公式及应用(1)周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的．(2)单摆的等时性：单摆做简谐运动时，其周期与振幅无关．(3)公式：T＝2πeq\r(\f(l,g))．即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比．(4)应用①计时器(摆钟)a．原理：单摆的等时性．b．校准：调节摆长可调节钟表的快慢．②测重力加速度由T＝2πeq\r(\f(l,g))得，g＝eq\f(4π2l,T2)，即只要测出单摆的摆长和周期，就可以求出当地的重力加速度．2．(1)摆球的质量越大，周期越大．()(2)单摆的振幅越小，周期越小．()(3)单摆的摆长越长，周期越大．()提示：(1)×(2)×(3)√单摆的简谐运动1．单摆做简谐运动的条件判断单摆是否做简谐运动，可分析摆球的受力情况，看回复力是否符合F＝－kx的特点，如图．(1)在任意位置P，有向线段eq\o(OP,\s\up6(→))为此时的位移x，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝Gsinθ提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力．(2)在摆角很小时，sinθ≈θ＝eq\f(x,l)，G1＝Gsinθ＝eq\f(mg,l)x，G1方向与摆球位移方向相反，所以回复力表示为F回＝－G1＝－eq\f(mgx,l).令k＝eq\f(mg,l)，则F回＝－kx.因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．(摆角一般不超过5°)2．单摆做简谐运动的规律：单摆做简谐运动的位移随时间变化的图象是一条正弦(或余弦)曲线．回复力、加速度、速度、动能、势能都随时间做周期性变化，其变化规律与弹簧振子相同．例如当摆球到达最低点(平衡位置)时，位移、回复力、水平加速度都等于零，而速度、动能都最大，而到达最高点(最大位移处)时，位移、回复力都最大，速度、动能都等于零．(1)单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力．(2)摆球经过平衡位置时，回复力为零，沿圆弧切线方向的加速度为零，但合外力和向心加速度都不等于零．(3)单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是()A．t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大[解析]t1、t3时刻，摆球位移最大，速度为零，由F＝－eq\f(mg,l)x知，回复力最大，故A、C错误；t2、t4时刻，摆球通过平衡位置，速度最大，线的拉力最大，故B错误，D正确．[答案]D关于单摆的回复力的三点提醒(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力也就是回复力．(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合力不为零.1.关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是()A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B.摆球受重力和绳的拉力两个力作用，A错误；回复力最大时速度为零，所以向心力为零，回复力为零时速度最大，向心力最大，B正确；回复力最大时，张力等于重力沿半径方向的分力，比重力小，C错误；向心力最大时速度最大，摆球在最低点，此时加速度等于向心加速度，与运动方向垂直，D错误．对单摆周期公式的理解由公式T＝2πeq\r(\f(l,g))知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期与其摆长l和当地重力加速度g有关，而与振幅和摆球的质量无关，故又叫单摆的固有周期．1．摆长(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应为从悬点到摆球球心的长度，即l＝l线＋eq\f(d,2)，l线为摆线长，d为摆球的直径．(2)等效摆长在实际问题中，有些摆的构造与单摆不完全相同，我们可以将其等效为单摆，其等效摆长为摆球圆弧运动的圆心到摆球重心的距离．①如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l，甲、乙图中摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O′为垂直纸面的钉子，而且OO′＝eq\f(l,3)，求各摆的周期．甲：等效摆长l′＝lsinα，T甲＝2πeq\r(\f(lsinα,g)).乙：等效摆长l′＝lsinα＋l，T乙＝2πeq\r(\f(l（sinα＋1）,g)).丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O变O′，摆球振动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l－\f(l,3)))，即为eq\f(2,3)l，则单摆丙的周期为T丙＝πeq\r(\f(l,g))＋πeq\r(\f(2l/3,g)).②如图丁所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2πeq\r(\f(R,g)).2．重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝eq\f(GM,R2)，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值．(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．例如：此场景中的等效重力加速度g′＝gsinα.球静止在O时，F＝mgsinα，等效加速度g′＝eq\f(F,m)＝gsinα.(1)单摆周期公式是在单摆做简谐运动的前提下成立的．(2)在各种变形摆中，要认真分析“等效摆长”和“等效重力加速度”，灵活运用周期公式，切忌生搬硬套．有一单摆，其摆长l＝1.02m，摆球的质量m＝0.10kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8s，试求：(1)当地的重力加速度；(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变，改变多少？[思路点拨]本题主要考查对单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))的理解与变形式的应用．首先要清楚，单摆的周期与摆球的质量无关，同时要明白，秒摆的周期是2s而不是1s.[解析](1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T＝eq\f(t,n)＝eq\f(60.8,30)s＝2.027s，所以g＝eq\f(4π2l,T2)＝eq\f(4×3.142×1.02,2.0272)m/s2＝9.79m/s2.(2)秒摆的周期是2s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的摆动规律有：eq\f(T,T0)＝eq\f(\r(l),\r(l0))，故有：l0＝eq\f(Teq\o\al(2,0)l,T2)＝eq\f(22×1.02,2.0272)m＝0.993m.其摆长要缩短Δl＝l－l0＝1.02m－0.993m＝0.027m.[答案](1)9.79m/s2(2)摆长缩短0.027m2.如图所示是两个单摆的振动图象．(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0时起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？解析：(1)由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的eq\f(1,2)，即T甲∶T乙＝1∶2，又由单摆的周期与摆长的关系可知，l甲∶l乙＝1∶4.(2)由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t＝2s，振动到eq\f(1,4)周期，甲振动到eq\f(1,2)周期，位移为0，位于平衡位置，此时甲向左运动．答案：(1)1∶4(2)甲振动到eq\f(1,2)周期，位于平衡位置，此时甲向左运动用单摆测重力加速度1．实验原理：单摆在摆角很小(不超过5°)时，其摆动可以看作简谐运动，其振动周期为T＝2πeq\r(\f(l,g))，其中l为摆长，g为当地重力加速度，由此可得g＝eq\f(4π2l,T2).据此，只要测出摆长l和周期T，就可计算出当地重力加速度g的数值．2．实验器材：铁架台及铁夹、金属小球(最好上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(1m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺．3．实验步骤(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．(2)将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．(3)用刻度尺和游标卡尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球心间的距离)．(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角不大于5°，再释放小球，当摆球摆动稳定以后，过最低位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．(5)改变摆长，反复测量三次，将算出对应的周期T及测得的摆长l代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)，然后求g的平均值．4．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝eq\f(4π2l,T2)中求出g值，最后求出g的平均值．设计如表所示实验表格实验次数摆长l(m)周期T(s)加速度g(m/s2)g的平均值1g＝eq\f(g1＋g2＋g3,3)23(2)图象法：由T＝2πeq\r(\f(l,g))得T2＝eq\f(4π2,g)l作出T2－l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴．其斜率k＝eq\f(4π2,g)，由图象的斜率即可求出重力加速度g.(1)实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球要选取密度大且质量分布均匀的钢球．(2)单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°.(3)测摆长l时，应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长加上小球半径．(4)应从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数．(5)适当增加全振动的测量次数，以减小测量周期的误差，一般30～50次即可．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________．若已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间为75.2s，单摆摆动周期是________．为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：(1)单摆做简谐运动应满足的条件是_____________________________________________．(2)试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2.(结果取两位有效数字)[解题探究](1)怎样确定摆长？摆长等于摆线的长度吗？(2)用图象法处理实验数据时应注意哪些问题？[解析]由T＝2πeq\r(\f(l,g))，可知g＝eq\f(4π2l,T2).由图可知：摆长l＝(88.50－1.00)cm＝87.50cm＝0.8750m．T＝eq\f(t,40)＝1.88s.(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°.(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k＝eq\f(ΔT2,Δl).由g＝eq\f(4π2Δl,ΔT2)＝eq\f(4π2,k)，可得g＝9.8m/s2(9.9m/s2也正确)．[答案]见解析图象法求重力加速度(1)图象法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响．(2)由于l－T的图象不是直线，不便于进行数据处理，所以采用l－T2的图象，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度.3.某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)．A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为eq\f(t,100)C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小解析：(1)游标卡尺读数＝主尺读数＋游标尺读数＝0.9cm＋7×0.01cm＝0.97cm.(2)要使摆球做简谐运动，摆角应小于5°，应选择密度较大的摆球，阻力的影响较小，测得重力加速度的误差较小，A、D错；摆球通过最低点100次，完成50次全振动，周期是eq\f(t,50)，B错；摆长应是l＋eq\f(D,2)，若用悬线的长度加直径，则测出的重力加速度值偏大，C对．答案：(1)0.97(2)C思想方法——等效法处理单摆问题1．等效摆长图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长，其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g)).图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．2．等效重力加速度(1)若单摆在光滑斜面上摆动，如图：则等效重力加速度g′＝g·sinα，其周期为T＝2πeq\r(\f(L,gsinα)).(2)若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时摆线所受的张力与摆球质量的比值．例如：图(c)场景中的等效重力加速度g′＝gsinα，球相对静止在O时，FT＝mgsinα，等效加速度g′＝eq\f(FT,m)＝gsinα.3．模型的等效：如图所示，光滑的半球壳半径为R，O点为最低点，小球在O点附近的来回运动等效于单摆的简谐运动．球壳对球的支持力与摆线的拉力等效，其等效摆长为半球壳的半径R，故其周期公式为：T＝2πeq\r(\f(R,g)).一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周