6d-9习题课教学课件

第六章线性空间习题课6d_9习题课主要内容一、线性空间1．定义代数运算，数量乘法满足8条规则2．性质：零元素是唯一的；②负元素是唯一③0a＝0，k0＝0；④ka＝0k＝0或a＝06d_9习题课3．线性空间的维数（有限维，无限维）

有限维线性空间的基

基变换与坐标变换、过渡矩阵，基变换公式与坐标变换个数

二、线性子空间(linearsubspace)1．子空间的定义与判定条件

线性空间V的子集W称为线性子空间，如果W对于V的两种运算封闭。由r个向量生成的子空间

6d_9习题课生成元

零子空间、平凡子空间、非平凡子空间。

两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价。

有限维向量空间中的任意线性无关的向量组都可以扩充成原向量空间的一组基。

6d_9习题课2．子空间的和与交

①

设V1，V2是线性空间V的子空间，则V1＋V2

，和则V1∩V2都是V的子空间。

②

如果V1，V2是有限维线性空间V的子空间，那么dim（V1)+dim(V2)=dim(V1＋V2)+dim(V1∩V2)③向量组生成的子空间的维数等于向量组的秩。6d_9习题课3．子空间的直和

①

如果子空间V1，V2的和中每个向量的分解式都唯一，则称为直和。

②

设V1，V2是线性空间V的子空间，则以下命题等价：

6d_9习题课③

线性子空间的概念可推广到多个子空间的情形

4．线性空间的同构

同构的定义：1－1映射满足

同构的性质:（2）同构映射保持向量间的线性关系.

6d_9习题课

(3)V中的向量组线性相关充分必要条件是它们的象线性相关.(4)子空间的象构成子空间,且维数相同.

(5)同构映射的逆映射及两个同构映射的乘积还是同构映射.

(6)有限维向量空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.习题举例6d_9习题课Ex.1；证明，复数域C作为实数域R上的向量空间，与V2同构。Ex.2；设是线性空间V到W的一个同构映射，U是V的一个子空间，证明：是W的一个子空间。Ex.3;证明：线性空间F[x]可以与它的一个真子空间同构。

V=F[x]，W=

6d_9习题课Ex.4

Pn的任意一个子空间都是某一含n个末知量的齐次线性方程组的解空间。证明：设V是Pn的任意一个子空间，维（V）=r,令V=L()其中，，…

，6d_9习题课构造线性方程组：其解向量构成n-r维线性空间，设由下面n-r个向量组成显然V是线性方程组的解空间。

6d_9习题课Ex.5;求线性空间的维数1）数域P上所有反对称矩阵组成的线性空间。2）数域P上所有上三角形矩阵组成的线性空间。

6d_9习题课Ex.6;证明：Pn的任意一个真子空间都是若干个n-1维子空间的交。证明：设V是Pn的任意一个真子空间，不仿设V=L()，它是线性方程组

的解空间，记为线性方程组k=1,2…n-r的解空间,是Pn的n-1维子空间,V恰是这n-r个n-1维子空间的交6d_9习题课Ex.7;设是n维线性空间V中的n个向量，V中的每个向量都可以由它们线性给出，求证：是V的一组基。证明：只须证明线性无关，事实上，如果是的一个极大线性无关组，则是V的一组基，所以，向量组就是向量组是线性无关。6d_9习题课Ex.8;在中求齐次线性方程组

的解空间的维数与一组基。6d_9习题课解空间的维数是3，一组基是

解：由于6d_9习题课EX.9;已知，求向量生成的的子空间与向量生成的的子空间的交与和空间的维数与一个基。

6d_9习题课Ex.10;设证明：实数域上矩阵A的全体实系数多项式组成的空间与复数域C作为实数域R上的线性空间同构。

6d_9习题课证明：注意到，则，建立V到的映射：是同构映射；所以V与同构6d_9习题课作成实数域R上的线性空间.

把实数域R看成是自身上的线性空间.例全体正实数R+

关于加法⊕与数量乘法：

证明：并写出一个同构映射.证