弹性地基梁原理VIP

■概述柱下条形基础、筏板基础的简化计算方法都假定基础

是无限刚性，且不考虑上部结构刚性的影响。如条形基础简化计算方法的适用条件：地基均匀、上

部结构刚度好、基础梁h≥l/6可以假定地基反力按直线分

布。若不满足上述条件应考虑地基梁和地基变形协调条

件，

以确定地基梁的实际反力分布，使之尽量符合实际

情

况

。下面介绍常用的弹性地基模型和常用的分析方法。

注意：本节介绍的方法，仅考虑基础本身刚度作用，而

忽略上部结构刚度的影响。淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)弹性地基梁计算原理(补充内容一)■

一、

弹

性地基模

型地基模型：

用以描述地基σ~e的数学模型。下面介绍的地基模型应注意其适用条件。1.

文克

尔地

基

模

型适用条件：抗剪强度很低的半液态土(如淤泥、软粘土等)

地基或塑性区相对

较

大

土

层

上的柔性

基

础，

采用该方法比较合适。厚度度不超过梁或板的短边宽度之半的薄压缩层地基(如薄的破碎岩层)上的柔性基础也适于该方法。基本假定：

地基上任一点所受的压力强度与该点的地基沉陷s成正比，

关系式如下：P=ks淮海工学院土木工程系

(http://www.hjiangong/index.htm)P=ksk—地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度(kN/m³);p—

地基上任—点所受的压力强度(kPa);s—

p作用位置上的地基变形(m)。■

基床系数k可根据不同地基分别采用现场荷载试验、室

内三轴试验或室内固结试验成果获得。见下表。淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.ed/jiangong/index.htm)地

基

土

种

类

与

特

征淤泥质上，有机质土或新填士软

弱

粘

性

土粘

上

及

粉

质

粘

土软塑可塑硬塑松砂中

密

砂

或

松

散

砾

石密

砂

或

中

密

砾

石k(×10³kN/m³)0.1～0.50.5~·1.()1.0~2.02.0~-4.04,0~101.6~1.51.5～2.52.5～4.0地

基

土

种

类

与

特

征k(×10³kN;m3)黄士及黄土类粉质粘七紧

密

碌

石硬粘士或人工夯实粉质粘土软质岩石和中、强风化的坚硬岩石完好的坚硬岩石砖块

石

砌

体混凝土与钢筋混凝土1.0--5.04.0～1010~~2020~100100--1500100～5Wi5G0～600800～1500淮海工学院土木工程系

(/jiangong/index.htm)地基

基

床系

数

表Huaihai

InstituteofTechnology■

这个假定是文克勒于1867年捉出的.故称文克勒地基模型。该模型计算简便，

只要k

值选择得

当

，可获得较为满意

的

结果。地基土越软弱，上的抗的强度越低，

该模型就越接近实

际

情

况

。■

缺点：文克勒地基模型忽略了地基中的剪应力，按这一模

型

.

地基变形只发生在基底范围内，而基底范

围外没有地

基金形，这与实际情况是不符的，使用不当会造成不良

后

果

。复t〕多

残

珍a)

弹簧模型；

b)绝对刚性基础2

文

克勒地

基

模

型nguiiynex.淮海工学院土木工程系

(http://www.mm.图

1

·uu.Cvab)T适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性

基

础

。■原

理

：弹性

半

空

间

地

基

模

型

是

将

地

基

视

作

均

匀

的

、

各

向

同性的弹性半空间体。当Q作用在弹性半空间体表面上时，根据布氏的解：

淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)2.弹性半空间地基模型Huaihai

Institute

of

Technology.

P矩形均布荷载作用下矩形面积中点的竖向位移计算淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.edu.cnjjiangong/index.htm)Huaihai

Institute

of

Technology.面积中点D

的竖向位移■

一般矩形受荷面积上各点变形和压力的关系的确定方

法

：■

首先把受荷面积划分成n个矩形网格，各网格的合力为

P₁=p₁A₁作用于网格的形心。柔度系数δ为j网格中点作

用单位力(即P;=1)

作用下引起i网格中点的沉降。此

刻j网格上均布荷载P₁=1/Aj,按叠加原理，

n个网格的

基底压力引起i网格中点的总沉降为：地基柔度系数求解的网格划分淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)jin简写成{}=[s]{p}}=[k{s}]Pδ{[K]或写jinS₁

=δn~P₁~A₁+δz~P₂·A₂+··+δ

(i=1,2·…n,j=1,2…n)对

于

整

个

基

础

用

矩

阵

表

为

：Huaihai

InstituteofTechnologyin

Pn淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.edu.cnjjiangong/index.htm)[K]=[δ]半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点，

但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土

的弹性模量和伯松比值较为准确。淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm){s}=[δ]{P}[k]=[δ]¹柔度系数8可用布氏公式得到{P}=[k]{s}■

3.分层地基模型分层地基模型即是我国

地基基础规范中用以计

算基础最终沉降的分层

总和法(图)。按照分层

总

和

法

，

地

基

最

终

沉

降

量等于压缩层范围内各

计算分层在完全侧限条

件

下

的

压

缩

量

之

和

。整个地基的压力和变形可

以写成下式：淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.ed/jiangong/index.htm)Huaihai

Institute

of

Technology.,压缩层下限分层地基模型淮海工学院土木工程系

(/jiangong/index.htm){s}=[s]{P₀}{P₀}-

基底附加压力列向量；[δ]-地基柔度矩阵，系数；按下式计算jinEsk—i网格中点下第k土层的压缩模量，

Kpa;ct—i

网格中点作用单位集中附加压力引起i网格中点下第k

土层中点的附加应力，

Kpa。该模型的计算结果比较符合实际情况，缺点：

没有考虑低级

图

的

塑

性

变

形

。淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm){s}=[s]{p₀}{P₀}-基底附加压力列向量；[δ]-地基柔度矩阵，系数；按下式计算式中：

m—

压缩层厚度内的分层数；hk—i网格中点下第k土层的厚度，

m;■地基计算的模型选用是地基上梁板分析的关键问题。

分析前应根据何在的大小和地基的实际情况选用合适

的

地

基

模

型

。二、

静力平衡和变形协调条件在地基梁板分析中，首先要选择合适的地基计算模型，

同时基础还应满足两个基本条件：静力平衡和变形协

调

条

件

。1.静

力

平

衡

条

件

：作

用

在

基

础

上

的

荷

载

和

地

基

反

力

向

平

衡

：≥F=0ZM=02.变形协调条件：

o₁=s;表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无

脱

开

现

象

。

依

据

这

来

那

个

个

条

件

求

解

基

础

梁

的

内

力

和

变

形

。淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)HuaihaiInstituteof文克勒地基上梁的计算一、文克勒地基上梁的解析式：2—(Q+dQ)+bpdx-gdx淮海工学院土木工程系

(/jiangong/index.htm)Technology=0引人文克勒地基模型及地基沉降s

与基础梁的挠曲变形协调条件s=w,

可得：p=ks

=ke得文克勒地基上梁的挠曲微分方程为

EI

d十

bkw

=q淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)根据截面剪力与弯矩的相互关系，即4=2

,则梁

的

挠

曲

微

分

方

程

为Institute

of

Technology.

PHuaihai、微

分

方

程

的

通

解

为o=e√(Cicosλx+Czsinλx)+e-H(Cgcosλx+Csin

ax)式中

C₁,C₂,C₃,C——待定参数，根据荷载及边界条件确定；,λ称为基础梁的柔度指标，其单位为(长度)

…。EI

H

+bkw

=q梁

的

挠

曲

微

分

方

程

变

为

齐

次

方

程

：淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)EI

+hkw=0内

力

分

布

的

影

响。弹性地基梁可按λL

值的大小分为下列三种类型：

短梁(刚性梁);

有限长梁(有限刚度梁);

AL

>≥π

长梁(柔性梁)。下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到

集中力或集中力矩作用时的解答。短粱(即刚性梁)。对于λ≤π/4的条形基础，可按一般的独立

基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力

按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)Huaihai

InstituteofTechnology.为基础长度),λL

称为柔性指数，它反映了相对刚度对λx

-

无量纲量，当x=L(I.Huaihai

InstituteofTechnology.1

)

长

梁

解梁的挠度随加荷点的距离增加而减小.当梁端离加荷点距离

为无限远时，梁端挠度为零。在实际应用时，

只要λL>π,可将

其当作长梁处理，视梁端挠度为零。(1)无限长梁受集中力P₀的作用(向下为正)设集中力作用点为坐标原点0,当x→o

时o→0,从通解式可得：C₁=C₂=0

。

于是梁的挠度方程为w

=e-x(Cacos

λx

+C₄sin

λx)

.当x-0

时，

由

此

可

得

：

—(C₃—C)—0即

C₃=C₄w=CE^*(cosàx+sin

λx)淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)少儿(cosAx

+sin

Ar)

面

的

转

角

d

弯矩

M

=-EI

d淮海工学院土木工程系

(/jiangong/index.htm)力截剪梁得到：这样，得到受集中力

P。作用时无限长梁的挠度公式(x≥0Huaihai

Institute

of

Technology.

中在

O

点

右

侧2

EI):无限长梁的挠度o

、

转角0、弯矩

M

、剪力分布见下图淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.ed/jiangong/index.htm)公

式

归

纳

如

下

：式

中

：无

限

长

梁

的

挠

度o

、

转

角

0

、

弯

矩M

、

剪

力

分

布

图淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.edu.cnjiangong/index.htm)Huaihai

Institute

of

TechnologyT

甲

上(2)无限长梁受集中力偶M。的作用(顺时针方向为正)以集中偶力偶M₀作用点为坐标原点o,

当x→o

时o→0,

从通解式可得：

C₁=C₂=0。

地基反力对原点时反对称，所以x=0,o=0,

得到C₃=0,于是梁的挠度方程写成：由此得到：这样0=C₄e-

sin

ax乍用时长粱的挠度公式

(x

≥0):淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit./jiangong/index.htm)弯矩

M

=-梁截面的转角剪力Q=—EI淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.ed/jiangong/index.htm)Huaihai

Institute

of

Technology.

d

若有多

个

荷

载

作

用于

长

梁

时

.

可

用

叠

加原

理

求

得

其内力

。淮海工学院土木工程系

(/jiangong/index.htm)公

式

归

纳

如

下

：Huaikei

Institute

of

Technology2

)

半

长

梁

解在实际工程中，基础梁还存在一端为有限梁端，另一端为无限长，此种基础梁称为半无限长梁，如条形基础的梁端作用有集中力P。和集中力偶M₀的情况。可将坐标原点取在受力端，当x→o

时o→0,从通解式可得：

C₁=C₂=0

。

当x=0时，M=M₀,Q=-P

。,

由

此

可

求

得

：梁截面的转角0

=、弯矩

M

=-Et

d剪

力

Q=—EI

d淮海工学院土木工程系

(http://www.hh.cnjiangong/index.htm)Huaihai

Institute

of

Technology公

式

归

纳

如

下

：淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.ed/jiangong/index.htm)变位及内力无

限

长

梁半

无

痕

长

架集中力作用集中力偶作用集中力作用集中力偶作用tW8MMoA₂V一FoCx—2MyλB无限长

梁

和

半

无限

长

梁的

解

答淮海工学院土木工程系

(/jiangong/index.htm)InstituteofTechnologyHuaihai重

UλA.B.C.D.E,F_2011o0.022.9996I0.019600.960400.98000382156-3821050.040.998440.038420.921600.9600248852.6一48776.60,G60.996540.056470.883600.9400714851.3—14738.D0.084.993930.073770.846390.920166354.30—6340.760.100.990650.090330.809980.9t0323321.05—3310.01D.120.986720.106180.774370.880541962.18—1952.780.140、98217D.121310.739540.860851261.70—1253.480.160.977020.135760.705540.84126863.174-855.8400.180。971310.149540.672240.82178619.176—618,5240.200.965070.162660.639750.80241461.078—454.9710.220、958310.175130.608040.78318353.904-348.2400.240.951060.186980.577100.75408278.526—273.2290.260.943360.198220.546910.74514223.862—218.874淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.ed/jiangong/index.htm)A₂

、B.、Cx

、D.、E

、F

函

数

表(3)有限长梁解用无限长梁的解，按两步骤叠加求解淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit./jiangong/index.htm)Q=P₀Qb-

基

础

梁

宽

；P₀-

有限长梁上集中荷载；aM、Q-

分别为长梁的挠度、爽、剪力系数淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)有限长梁的解可采用Heteyi集中力作用下有限长梁的计算公

式

：十字交叉梁基础的设计可(补充内容二)一

、

应

用

范

围

：■

当单柱的上部荷载大，

按条形基础设计无法满足地基

承

载

力

要

求

时

，

则

可

采

用

交

叉

条

形

基

础

，

即

十

字

交

叉

基

础

，

使

基

础

底

面

面

积

和

基

础

整

体

刚

度

相

应

增

大

，

同

时可以减小地基的附加应力和不均匀沉降。淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.ed/jiangong/index.htm)二

、

设

计

要

点

：十字交叉梁式的条形基础计算与上述条形基础一样，也根据

其λL

值，按无限长梁、有限长梁或短梁进行。所不同的就

在于两个方向条形基础在交叉节点上的荷载要考虑如何在纵

横两个条形基础上分配。十字交叉梁，为超静定空间结构，应用弹性理论精确计算

十分复杂，通常采用简化计算法。淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit.ed/jiangong/index.htm)Huaihai

Institute

of

Technology.在基础交叉节点上，将柱荷载在纵横两个方向条形基础上进

行分配，同时应满足变形协调关系，

即分配后的荷载分别作

用于纵向与横向基础梁上时，

纵、横双向条形基础在各交叉

节

点

处

的

变

形

相

等

。简

化

计

算

时

，

假

定

纵

、

横

梁

的

抗

扭

刚

度

均

为

零

。

每

个

交

叉

节点仅由下列两个方程组成。淮海工学院土木工程系

(http://www.hhit./jiangong/index.htm)N—节i点的柱荷载；Nx—

节点分配给x

向条基的荷载；

Ny—节点分配给y向条基的荷载；

Wx—i

节点处x向条基的挠度；W—i

节点处y

向条基的挠度.半无限长梁：

淮海工学院土木工程系

(http:///jiangong/index.htm)N=Niu+NW

对于无限长梁：Huaihai

InstituteofTechnology.甲

上v、对于无限长梁：半

无

限

长

梁

：K—

基

床

系

数

。KN/m³;E—

混

凝

土

弹

性

模

量

，KPa。S—

特征长度，

S=1/λ;λ为柔度指数。淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)Huaihai

Institute

of

Technology.t:

的■

三、三种节点荷载分配为：■

十字交叉基础的节点有三种：

十字节点、T

字节点7字

节点。由上面公式，可以求解任意节点i柱荷载分配给

纵、

横

方向

条

基的

荷

载

。角柱节点淮海工学院土木工程系

(jjiangong/index.htm)边柱节点中

柱

节

点HuaihaiInstitute

ofTechnology.F

■