2023~2024学年 3-1-2 课时1 椭圆的简单几何性质

第三章圆锥曲线的方程3.1.2课时1椭圆的简单几何性质1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2.根据几何条件求出椭圆方程.3.可以根据已知条件求椭圆离心率．(重点、难点)复习导入求椭圆标准方程的方法：待定系数法，先定位，后定量当椭圆焦点的位置不确定时，可采用椭圆方程：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹xyF1F2POxyF1F2PO

oyB2B1A1A2F1F2cab观察椭圆

的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性，椭圆上哪些点比较特殊？请结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆的这些范围、对称性、特殊点1.范围说明：椭圆落在x=±a,y=±b围成的矩形中

oyB2B1A1A2F1F2cabx2.对称性yxOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）(1)从图形上看：椭圆关于x轴、y轴的轴对称图形，又是中心对称图形；坐标原点为对称中心（椭圆的中心）（2）从方程上看：①P(x,y)

P1(x1,y1)2.对称性（2）从方程上看：①P(x,y)

P1(-x,y)②P(x,y)

P2(x,-y)③P(x,y)

P3(-x,-y)yxOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）椭圆关于x轴、y轴、原点对称3.椭圆的顶点椭圆与y轴的交点:令x=0,得y

=±b椭圆与x轴的交点:令y=0,得x

=±a

oyB2B1A1A2F1F2cab(1)四个顶点坐标为

A1(-a,0)A2(a,0)

B1(0,-b)B2(0,b)x(2)长轴长：A1A2=2a短轴长：B1B2=2b

焦距长：F1F2=2c

a长半轴长

b短半轴长

c半焦距。

123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

xyx4.离心率椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。刻画椭圆的扁圆程度：思考1.椭圆的离心率在什么范围内？2.椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变化？离心率的取值范围因为a>c>0，所以0<e<1e越大越扁

e越接近1，椭圆就越扁

e越接近0，椭圆就越圆③特例：e=0，椭圆变为圆，方程变为例4.求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

解：把原方程化为标准方程得

于是a=5,b=4,c=3

因此长轴长为10；短轴长为8；焦距为6；

离心率为

；

焦点坐标为(3,0)、(-3,0)，

顶点坐标为(5,0)、(-5,0)、(0,4)、(0,-4).1.已知椭圆方程为6x2+y2=6.它的长轴长是：

;短轴长是：

;焦距是：

.离心率等于：

。焦点坐标是：

，顶点坐标是：

，

外切矩形的面积等于：

。

2用标准方程研究几何性质的步骤：(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质．方法归纳2.求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)

焦点在y轴上，c

=3

,e=(2)经过P(-3,0),Q(0,-2)两点(3)长轴长等于20，离心率等于(4)长轴长是短轴长的2倍，且经过点P(3,0)(4)长轴长是短轴长的2倍，且经过点P(3,0)解：①当焦点在x轴上时，a=3,则6=2×2b所以b=所以椭圆的标准方程为②当焦点在y轴上时，b=3，则2a=12