相似三角形复习好

相似三角形复习课(1)彭阳县第四中学王文荣1.比例的性质：bcaddcba=Û=;知识要点一.比例线段1.比例的性质：bcaddcba=Û=;mnm=n56已知,求的值.1.2.(2)若，求。=-2x3y+yx12yx知识要点一.比例线段练习：2.比例中项：练习：当两个比例内项相等时，即abbc

=，(或a：b=b：c)，那么线段

b

叫做线段a和c的比例中项.2acb=即：知识要点知识要点3.黄金分割：ACB练习：41.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。练习：二.相似三角形知识要点

△ABC∽△A/B/C/,如果BC=3,B/C/=1.5,那么△A/B/C/与

△ABC的相似比为_________.3.相似三角形的判定方法平行线:相似三角形的传递性.ABCDEDEABC判定定理1,2,3.△1∽△2△2∽△3或△2

≌

△3△1∽△3∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.4、性质：

相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比相似三角形对应角相等，对应边成比例3、如图，已知在△ABC中，，D是AB上一点，F是BC的延长上一点，连结DF交AC于点E，且AD=CF，求证：BF∶BD=AE∶CEG相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方相似多边形的周长比等于相似比相似多边形面积的比等于相似比的平方4.性质：给你一个锐角三角形ABC和一条直线MN；

问题你能用直线MN去截三角形ABC，使截得的三角形与原三角形相似吗？

练一练基本图形DEMNH过D作DH∥EC交BC延长线于点H1.试找出图中的相似三角形?2.若AE:AC=1:2,则AC:DH=_______;(1)若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_____.(2)若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为_____.⊿ADE∽⊿ABC∽⊿DBH2：369DEMNMN

相似三角形若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。DEHGFEGFMN12

相似三角形若G为BC中点,EG交AB于点F,且EF:FG=2:3,试求AF:FB的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。EGFEGFMN

相似三角形EGF当∠ACF＝∠B时，⊿ACF∽⊿ABC.

相似三角形BCFA(1)

若BC=6,AF=5,你能求出BF的长吗?FBCA若∠ACB＝90°，CF⊥AB，则⊿ACF∽⊿ABC∽⊿CBF⊿BCF∽⊿BAC当∠BCF＝∠A时，⊿BCF∽⊿BAC.做一做如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（）CABD（1）AC︰CD=AB︰BC（2）CD︰AD=BC︰AC（3）AC=AD·AB2（4）CD=AD·AB2解：已知∠A是两个三角形的公共角，要使△ACD与△ABC相似，就要使△ACD中∠A的两边与△ABC中的∠A的两边对应成比例——即ADACACAB=AC=AD·AB2∴应该选：CCEABC.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,

在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________F1F28/5或5/2

用一用如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P点作直线截△ABC，截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）条。A．1 B．2 C．3 D．4C试一试:ACPB如图，P是Rt△ABC内任一点，过P点作直线截△ABC，截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）条。A．2B．3 C．4 D．5C试一试:ACPBACPBACPB如图，已知：AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。4614ADCB

用一用解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP设PD=x，则PB=14―x，∴6：4=（14―x）:x则有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P6x14―x4ADCBP（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则则有AB:PD=PB:CD设PD=x，则PB=14―x，∴6：x=（14―x）:4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp2.画一画:如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=700,∠B=500,∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线b,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据)300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200FBCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似（不包含全等），并求出点D的坐标；（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m，问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

用一用OD（1）∵⊿BDA∽⊿BAC∴∠CAD＝∠ABC∴tan∠CAD＝∠ABC=∵BC=4∴AC=BC·tan∠ABC=3∴CD=AC·tan∠CAD=3×=∴OD=OC+CD=1+=∴D(,0)

用一用PQPQ(1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽⊿BAD则即：解得：(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽⊿BDA则即：解得：BCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=ODBCAxy(-3,0)(1,0)tan∠ABC=OD.如图,△ABC中,AB=6,BC=4,AC=3,点P在BC上运动,过P点作∠DPB=∠A,PD交AB于D,设PB=x,AD=y.(1)求y关于x的函数关系式和x的取值范围.(2)当x取何值时,y最小,最小值是多少?6.思考题:PABCD一.填空、选择题:1、如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿.2:552cm2、已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.ABCDE4.如图，△ADE∽△ACB,则DE:BC=_____。5.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是（）.A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC6.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。1:3D4ABEDCACBDE2733DACB7、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）A∠B=∠CB∠ADC=∠AEBCBE=CD，AB=ACDAD∶AC=AE∶AB二、证明题：1.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.求证：AC2=AD·AB.ABCDEABCDM2.△ABC中,∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证：①△MAD∽△MEA②AM2=MD·MEABCDE3.如图，DE∥BC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。求GABCDEF4.如图：DE∥BC，EF∥AB,AE：EC=2：3，S△ABC=25，求S四边形BDEFEFBGDCA1、如图，ABCD中，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有______对。（全等除外）5二.学以致用AEDCBO3、如图，锐角的高CD和BE相交于点O，图中与相似的三角形有（）A、4个B、3个C、2个D、1个2.如图,∠B=∠C,则图中的相似三角形有()对.ABCDFE4.如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)图中有全等三角形吗?找出来并证明.(2)图中有相似三角形吗?找出来并证明.(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后△PBQ与原三角形相似？ABCQP二.学以致用一块直角三角形木板的一条直角边AB长1.5m，面积为1.5m2。要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图1和图2所示，你能用所学过的知识说明谁的加工方法符合要求吗？（加工损耗忽略不计，计算结果保留分数）BACDEFABCDEFG图1图2二.学以致用3、存在探索型1、如图,DE是△ABC的中位线,AF∥BC,∠B=90°，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.ADBCEFM1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一一写出来.C2、结论探索型ABDEGF１2解：有相似三角形，它们是：△ADE∽△BAE,△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA（△ADE∽△BAE∽△CDA）1、在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且BF∶CF=3∶1，（1）求证：AE⊥EF（2）求证△AEF∽△ADE例1.如图，点D是△ABC的外接圆上弧BC的中点，且AD＝9，DE＝4.求：BD的长.ABDCE3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）(A)ΔADE∽ΔAEF(B)ΔECF∽ΔAEF(C)ΔADE∽ΔECF(D)ΔAEF∽ΔABFDEFABC13.在△ABC中,∠ACB=90。过AB上任意一点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F,若BC=3,AC=4,设DE=x,矩形面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;(2)求DE多长时,矩形DECF的面积最大?最大面积是多少?，(二)新课：1、填空：(口答，并说明用的是哪一条判定定理)(1)已知：DE∥BC，则________∽______。(2)已知：∠A=∠D,则______=______=_______。(3)已知：∠DAB=∠CAE，AB·AD=AE·AC，则∠ADE=______。ABCDE（1）CBADE(2)ABCDE(3)△ADE△ABC∠C4、如图，已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4，点E是BC上一点。

(1)若CE=3，则DE=____.

(2)若CE=，则DE=____.

1、如图,AB与CD相交于点P,∠A=∠D,若PA＝3,PB=4,PC=2,则PD=____2、如图，在⊿ABC中，D为AC边上一点∠DBC=∠A，BC=，AC=3，则CD的长为____

ADCB题组一：热身训练2.5DABCP63、如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD=3，BC=9，则GO:BG=________GABDCO21：2CABDECABDE2、判定定理1:两个角对应相等,两三角形相似。3、判定定理2:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。4、判定定理3:三边对应成比例，两三角形相似。5、相似三角形的传递性。

反思回顾一：判定两个三角形相似的主要方法：ABCDE1、预备定理：

∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC。

反思回顾二

：相似三角形的性质：1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。2、相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。3、相似三角形对应边上的高线、中线、对应角平分线之比都等于相似比。DE△ADE绕点A旋转ABCDE点E移到与C点重合提炼总结

：相似三角形中常用基本图形：A字型ABC斜截型ACBD公共边角型ABCDEDE△ADE绕点A旋转ABCDE点E移到与C点重合提炼总结

：相似三角形中常用基本图形：A字型ABC斜截型ACBD公共边角型ABCDEABCDEX型DE△ADE绕点A旋转ABCDE点E移到与C点重合∠ACB=Rt∠CD⊥ABABCD提炼总结

：相似三角形中常用基本图形：A字型ABC斜截型ACBD公共边角型ABCDEABCDE双垂直型X型三垂直型连结CD，BE，

△ABE与△ACD相似吗？蝴蝶型

2.如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，且CD⊥AB于D,AD=3,BD=12，则CD=____.

6OCDBA1.如图，已知⊙O的两条弦AB、CD交于E，AE=BE=6,ED=4，则CE=____.

CDBAE9相似基本图形的构造题组二：探究发现蝴蝶型双垂直型ABCDEO·如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.求证:AB2=AE·AD证明：连接BD∵AB=AC∴∠ADB=∠ABE又∵∠BAD=∠EAB∴△ABD∽△AEB∴∴AB2=AE·AD=∴相似基本图形的构造探究发现练习：ABCDEO·构造所需的相似基本图形，是我们常用的一种解决几何问题的方法。

公共边角型ABCDMEFN题组三：探究发现复杂图形基本图形分解ACDMEACMFN3、如图,AC是ABCD的对角线,且AE=EF=FC,求（1）S△AMF:S△CNF（2）S△DMN:S△ACD。X型EABC.2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________F2F1练一练BCAQP8162cm/秒4cm/秒3.在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？（2011杭州中考题）梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F。若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求的值。中考链接探究发现复杂图形基本图形分解从复杂图形中分解出相似基本图形，可以使我们较快找到解题思路。A字型X型如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC如图放置，OA=8，AB=6，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形OA’B’C’，此时OA’，B’C’分别与直线BC相交于点P，Q，当矩形OA’B’C’的顶点B’落在y轴正半轴上时，求（1）点P坐标（2）的值。复杂图形基本图形分解背景---坐标系yQCBAOxPA’B’C’探究发现题组四：Q

如图，已知抛物线的对称轴为直线X=4.且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点,A(2,0),C(0,3)（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点P，满足∠PBC=90°，求点P的坐标；ABPCOxyX=423背景---抛物线复杂图形基本图形分解（3）在（2）的条件下，问在y轴上是否存在点E，使得以A、O、E为顶点的三角形与⊿OBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.探究发现题组四：构造基本相似图形转化问题学会从复杂图形中分解出基本图形2、相似基本图形的运用分类思想课堂要点：转化思想1、相似三角形的判定和性质。课后练习相似基本图形的构造探究发现如图，已知，D是BC的中点，E是AD的中点，求AF：FC的值。DEFABCG如图,在△ABC中,∠ACB=900，四边形BEDC为正方形,AE交BC于F,FG∥AC交AB于G.求证:FC=FG.证明:∵四边形BEDC为正方形∴CF∥DE，DE=BE∴△ACF∽△ADE∴①又∵FG∥AC∥BE∴△AGF∽△ABE∴②由①②可得：又∵DE=BE∴FC=FGABCD△ABC中，AD平分∠BAC，求证：考考你相似基本图形的构造探究发现已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：CP=PQ（2）求证（FP+PQ）2=PF·FG背景---圆复杂图形基本图形分解探究发现A字型蝴蝶型公共边角型双垂直型三垂直型斜截型X型CBADE连结AD、CB，

⊿APD∽⊿CPB吗？

一、复习：1、相似三角形的定义是什么？答：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.2、判定两个三角形相似有哪些方法？答：A、用定义；B、用预备定理；C、用判定定理1、2、3.D、直角三角形相似的判定定理3、相似三角形有哪些性质1、对应角相等，对应边成比例2、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。一.填空选择题:1.(1)△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=∠B，那么△AED∽△ABC，从而(2)△ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED，则△AED与△ABC的相似比为______.2.如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿.3.

已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.AC2:552cm1:25.如图，△ADE∽△ACB,则DE:BC=_____。6.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是（）.A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC7.

D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。1:3D4二、证明题：1.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.求证：AC2=AD·AB.2.△ABC中,∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证：①△MAD～△MEA②AM2=MD·ME3.如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO·EC.4.过

ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G.

求证：EA2=EF·EG.5.

△ABC为锐角三角形，BD、CE为高.

求证：△ADE∽△ABC（用两种方法证明）.6.

已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.

求证:AB:AC=DF:AF.解:∵∠AED=∠B,∠A=∠A

∴△AED∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）

∴

1.(1)△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=∠B，那么△AED∽△ABC，从而

解:∵D、E分别为AB、AC的中点

∴DE∥BC，且

∴△ADE∽△ABC即△ADE与△ABC的相似比为1:2

(2)△ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE，则△ADE与△ABC的相似比为______2.解:∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵AD:DB=2:3∴DB:AD=3:2∴(DB+AD):AD=(2+3):3即AB:AD=5:2∴AD:AB=2:5即△ADE与△ABC的相似比为2:5如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿.3.已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.解:

设三角形甲为△ABC，三角形乙为△DEF，且△DEF的最大边为DE，最短边为EF∵△DEF∽△ABC∴DE:EF=6:3即10:EF=6:3∴EF=5cm4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.解:∵△ABC∽△BDC

∴

即∴DC=2cm5.解:∵△ADE∽△ACB且∴如图，△ADE∽△ACB,则DE:BC=_____。7.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。解:∵DE∥BC∴∠ADE=∠B,∠EDC=∠DCB=∠A①∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC②∵∠A=∠DCB,∠ADE=∠B∴△ADE∽△CBD③∵△ADE∽△ABC△ADE∽△CBD∴△ABC∽△CBD④∵∠DCA=∠DCE,∠A=∠EDC∴△ADC∽△DEC1.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.求证：AC2=AD·AB分析:要证明AC2=AD·AB，需要先将乘积式改写为比例式，再证明AC、AD、AB所在的两个三角形相似。由已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三角形相似，本题可证。证明:∵∠ACD=∠ABC∠A=∠A∴△ABC△ACD

∴∴AC2=AD·AB2.△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证：①△MAD～△MEA②AM2=MD·ME分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是△MAD与△MEA的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。证明：①∵∠BAC=90°M为斜边BC中点∴AM=BM=BC/2∴∠B=∠MAD又∵∠B+∠BDM=90°∠E+∠ADE=90°∠BDM=∠ADE∴∠B=∠E∴∠MAD=∠E又∵∠DMA=∠AME∴△MAD∽△MEA②∵△MAD∽△MEA

∴即AM2=MD·ME3.如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO·EC.分析：欲证ED2=EO·EC，即证：

，只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。证明：∵AB∥CD∴∠C=∠A∵AO=OB，DF=FB∴∠A=∠B，∠B=∠FDB∴∠C=∠FDB又∵∠DEO=∠DEC∴△EDC∽△EOD∴，即ED2=EO·EC4.过

ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G.

求证：EA2=EF·EG.分析：要证明EA2=EF·EG，即证明成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB，△AEB∽△GED.证明：∵AD∥BFAB∥BC∴△AED∽△FEB△AEB∽△GED∴∴5.

△ABC为锐角三角形，BD、CE为高.

求证：△ADE∽△ABC（用两种方法证明）.证明一：

∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°∴∠ABD=∠ACE又∵∠A=∠A∴△ABD∽△ACE∴∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC

证明二：∵∠BEO=∠CDO∠BOE=∠COD∴△BOE∽△COD∴

即又∵∠BOC=∠EOD∴△BOC∽△EOD∴∠1=∠2∵∠1+∠BCD=90°，∠2+∠3=∠90°∴∠BCD=∠3又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC6.

已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证:AB:AC=DF:AF.分析：因△ABC∽△ABD，所以，要证

即证，需证△BDF∽△DAF.证明：∵∠BAC=90°AD⊥BC∴∠ABC+∠C=90°∠ABC+∠BAD=90°∴∠BAD=∠C∵∠ADC=90°E是AC的中点，∴ED=EC∴∠EDC=∠C∵∠EDC=∠BDF

∴∠BDF=∠C=∠BAD又∵∠F=∠F∴△BDF∽△DAF.∴∵∠BAC=90°，AD⊥BC∴△ABC∽△ABD∴∴1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ACP∽△ABC．

解:⑴∵∠A=∠A，∴当∠1=∠ACB（或∠2=∠B）时，△ACP∽△ABC⑵∵∠A=∠A，∴当AC:AP＝AB:AC时，△ACP∽△ABC⑶∵∠A=∠A，当∠4＋∠ACB＝180°时，△ACP∽△ABC答：当∠1=∠ACB或∠2=∠B或AC:AP＝AB:AC或∠4＋∠ACB＝180°时,△ACP∽△ABC.APBC1241、条件探索型三、探索题2.如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似DABCab解:⑴∵∠1＝∠D＝90°∴当时，即当时，△ABC∽△CDB,∴⑵∵∠1＝∠D＝90°∴当时，即当时，△ABC∽△BDC，∴答：略.１

这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件．解题思路是：从给定结论出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件．1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一一写出来.C解：有相似三角形，它们是：△ADE∽△BAE,△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA（△ADE∽△BAE∽△CDA）2、结论探索型ABDEGF１22.△在ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论．解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明.3、存在探索型如图,DE是△ABC的中位线，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.ADBCEF证明：连结MC，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，AE＝EC，又∵ME⊥AC,∴AM＝CM，∴∠1=∠2，∵∠B=90°，∴∠4＝∠B=90°，∵AF∥BC，AM∥DE,∴∠1=∠2，∴∠3=∠2,∵∠ADE＝∠MEC=90°，∴△ADE∽△MEC．ADBCEF123M解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点(或作∠MCA=∠AED).4所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题．解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定的证明．小结相似三角形2．定义3．性质4．判定5．应用1.线段成比例1.比例的基本性质2.合比性质3.等比性质4.平行线分线段成比例定理及推论1.AA2.SAS3.SSS4.HL对应高,中线,角平分线的比等于相似比对应周长的比等于相似比面积比等于相似比的平方回顾与反思判定两个三角形相似的方法：5.两角对应相等的两个三角形相似。4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。3.三边对应成比例的两个三角形相似。1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似.回顾与反思相似三角形的性质：1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。2.相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线比等于相似比。3.相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似的基本图形ABCDE(1)DE∥BCABCDEDE∥BC(2)ABCDE(3)ABCD(4)∠BAD=∠CAB2=BD·BCABCD∠ACB=90°，CD⊥AB(5)ABCDE(6)∠D=∠C一.填空、选择题:1、如图，DE∥BC,AD:DB=2:3,则△AED和△ABC的相似比为＿＿＿.2:552cm2、已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D,使△ABC∽△BDC,则DC=______.ABCDE4.如图，△ADE∽△ACB,则DE:BC=_____。5.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是（）.A.AC:BC=AD:BDB.AC:BC=AB:ADC.AB2=CD·BCD.AB2=BD·BC6.D、E分别为△ABC的AB、AC上的点，且DE∥BC，∠DCB=∠A，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形_______组。1:3D4ABEDCACBDE2733DACB7、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）A∠B=∠CB∠ADC=∠AEBCBE=CD，AB=ACDAD∶AC=AE∶AB二、证明题：1.D为△ABC中AB边上一点，∠ACD=∠ABC.求证：AC2=AD·AB.ABCDEABCDM2.△ABC中,∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证：①△MAD∽△MEA②AM2=MD·MEABCDE3.如图，DE∥BC，D是AB的中点，DC、BE相交于点G。求GABCDEF4.如图：DE∥BC，EF∥AB,AE：EC=2：3，S△ABC=25，求S四边形BDEFEFBGDCA1、如图，ABCD中，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有______对。（全等除外）5二.学以致用AEDCBO3、如图，锐角的高CD和BE相交于点O，图中与相似的三角形有（）A、4个B、3个C、2个D、1个2.如图,∠B=∠C,则图中的相似三角形有()对.ABCDFE4.如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)图中有全等三角形吗?找出来并证明.(2)图中有相似三角形吗?找出来并证明.(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后△PBQ与原三角形相似？ABCQP二.学以致用一块直角三角形木板的一条直角边AB长1.5m，面积为1.5m2。要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图1和图2所示，你能用所学过的知识说明谁的加工方法符合要求吗？（加工损耗忽略不计，计算结果保留分数）BACDEFABCDEFG图1图2二.学以致用3、存在探索型1、如图,DE是△ABC的中位线,AF∥BC,∠B=90°，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.ADBCEFM证明：连结MC，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，AE＝EC，又∵ME⊥AC,∴AM＝CM，∴∠1=∠2，∵∠B=90°，∴∠4＝∠B=90°，∵AF∥BC，AM∥DE,∴∠1=∠3，∴∠3=∠2,∵∠ADE＝∠MEC=90°，∴△ADE∽△MEC．ADBCEF123M解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点41.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一一写出来.C2、结论探索型ABDEGF１2解：有相似三角形，它们是：△ADE∽△BAE,△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA（△ADE∽△BAE∽△CDA）2.△ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE1.如图,阳光通过窗户照到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区,已知亮区一边到窗口下的墙角距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC是多少呢?ABCED8.71.82.7一试身手4、如图，正方形ABCD中，AB＝4，G为DC中点，E在BC边上运动，（E点与点B、点C不重合）设BE＝x，过E作GA平行线交AB于F，设AFEG面积为y，写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。ABCDEFG例补2、如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q,设BP的长为xcm,CQ的长为ycm.(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值;(2)当y=cm时,求x的值.ABCDPQ1、在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且BF∶CF=3∶1，（1）求证：AE⊥EF（2）求证△AEF∽△ADE例1.如图，点D是△ABC的外接圆上弧BC的中点，且AD＝9，DE＝4.求：BD的长.ABDCE3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（）(A)ΔADE∽ΔAEF(B)ΔECF∽ΔAEF(C)ΔADE∽ΔECF(D)ΔAEF∽ΔABF8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？DEFABC13.在△ABC中,∠ACB=90。过AB上任意一点D作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F,若BC=3,AC=4,设DE=x,矩形面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;(2)求DE多长时,矩形DECF的面积最大?最大面积是多少?，14.如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M,(1)设HE=X,矩形EFGH的面积S,确定S与X的函数关系式;（2）当x取多少时，S有最大值？S最大值是多少？AGHCBDEMF例补1：某房地产公司要在一块（如图）矩形ABCD上规划建设一个小区公园巨型GHCK，为了文物保护区△AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内。已知：AB=200m,AD=160m,AE=60m,AF=40m.(1)当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时,求公园的面积.(2)当G在EF上什么位置时,公园面积最大?ABCDKHFEG2、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽Δ______.它们的相似比K=_______,ABCEDG相似三角形判定复习(二)新课：1、填空：(口答，并说明用的是哪一条判定定理)(1)已知：DE∥BC，则________∽______。(2)已知：∠A=∠D,则______=______=_______。(3)已知：∠DAB=∠CAE，AB·AD=AE·AC，则∠ADE=______。ABCDE（1）CBADE(2)ABCDE(3)△ADE△ABC∠C(4)已知：∠ABP=∠CDP，则PA·CD=_________。(5)已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，则__________∽___________∽___________。(6)已知：∠ABC=90°，∠ACB=30°，AD=2AC，CD=2BC，则∠D=______。ABCDP(4)ABCD(5)ABCD(6)AB·PC△ACD△CBD△ABC30°2、如图，已知AD是△ABC的中线，EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：AD平分EFG3、如图，已知在△ABC中，，D是AB上一点，F是BC的延长上一点，连结DF交AC于点E，且AD=CF，求证：BF∶BD=AE∶CEG1、已知：△ABC中，AC=9，BC=6，问：边AC上是否存在一点D，使△ABC∽△BDC？如果存在，请算出CD的长度？ABC(1)D3、D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似。问：这样的三角形可以画几个？画出DE，并且写出添线方法。ABC(3)DE1E2E3E43、讨论思考题(讨论后回答)(1)已知△ABC中，BC=8，AD是BC上的高，AD=12，E、F分别在AB、AC上滑动(不与点B、C重合)，且EF∥BC，以EF为一边作△ABC的内接矩形EFGH。求：①EF在什么位置时，此矩形的邻边之比是1∶2？②EF在什么位置时，矩形EFGH是正方形？（提供2个图形进行分析）ABCDEFGHABCDEFGH(2)性质两个三角形相似，则③它们的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方．①它们的对应边成比例，对应角相等；②它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；(3)基本图形(母子相似)ABCDEABCABCDDE(4)特殊图形ABCD∠BAC=90°36°72°ABCP黄金分割点黄金分割点AB=AC108°36°ABCP36°(4)应用举例例1判断①所有的等腰三角形都相似．②所有的直角三角形都相似．③所有的等边三角形都相似．④所有的等腰直角三角形都相似．(×)(√)(√)(×)例2ACPBOxyACPBOxyACPBOxyRT例3在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不能为1)，则C点坐标为____________．OxAByOxABy12C1(5，2)5C2(4，4)ＡBCEFP图a例4在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，(1)证明：因为∠B+∠BPE+∠BEP=180°所以∠BPE+∠BEP=150°因为∠EPF=30°，又因为∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°所以∠BPE+∠CPF=150°所以∠BEP=∠CPF(两角对应相等的两个三角形相似)所以∠B=∠C=30°所以△BPE∽△CFPＡBCEFP①△BPE∽△CFP同(1)可证△BPE∽△CFPＡBCEFPＡBCEFP图bＡBCEFP②△BPE与△PFE相似由△BPE∽△CFP得=又因为∠EBP=∠EPF所以△BPE∽△PFE而CP=BP=因此(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)所以∠BEP=∠PEF分别过点P作PM⊥BE，PN⊥EF，垂足分别为M、N，则PM=PN连AP，在Rt△ABP中，由∠B=30°，AB=8可得AP=4，所以PN=2所以PM=2③由②得△BPE∽△PFEPN×EF=所以s=mＡBCEFPMN2、（05武汉）已知：如图，ΔABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE．若BDE+∠BCE=180°．ABCDEF(1)写出图中三对相似三角形．(注意：不得添加字母和线)(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它