对数函数的概念 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第4章

指数函数与对数函数4.4对数函数

4.4.1对数函数的概念

人教A版（2019)教学目标学习目标数学素养1.理解对数函数的概念.1.数学类比、数学抽象素养.2.会求与对数函数有关的定义域问题.2.数学运算素养3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.3.数学建模素养.温故知新1.对数的定义

一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作

其中a叫做对数的底数,N叫做真数.x

=logaN,注意：0和负数没有对数;2.对数与指数之间的关系ax=N

logaN=x

温故知新3.

指数函数y=ax分的图象和性质图象定义域值域性质y=ax0<a<1a>1R(0,+∞)过定点(0,1)在R上单调递增在R上单调递减x>0,0<y<1;

x<0,y>1.x>0,y>1;x<0,0<y<1.新知导入在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律.反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？根据指数与对数的关系，

新知探究

同样地，根据指数与对数的关系，由y=ax(a>0,且a≠1)可以得到

x=logay

(a>0,且a≠1),x也是y的函数.通常我们用x表示自变量，y表示函数.

为此将x=logay(a>0,且a≠1)中的字母x和y对调，写成y=logax(a>0,且a≠1).对数函数定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数（logarithmicfunction），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．新知探究想一想(1)对数函数的定义域为什么是(0，＋∞)?(2)对数函数的解析式有何特征？(1)ax＝N⇔logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0.(2)①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1.注意:在对数函数y＝logax中，①a>0，且a≠1；②x∈(0,＋∞)；③必须符合对数函数的三个特征.新知讲授概念辨析：下列函数表达式中，是对数函数的有(

)①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1；⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)；⑥中log4x系数为2；只有③、④符合对数函数的定义．故选B.B新知讲解【例1】求下列函数的定义域:(1)y=log3x2;(2)y=loga(4-x)(a>0,且a≠1);解：

新知讲解求对数型函数定义域的原则：(1)分母不能为0；(2)根指数为偶数时，被开方数非负；(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1；(4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形.初试身手1.求下列函数的定义域:解：

(1)y=ln(1-x);

(1)∵1-x>0,即x<1,

新知讲解【例2】假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．(1)该地的物价经过几年后会翻一番？(2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律．解：物价x12345678910年数y0(1)由题意可知，经过y年后物价x为x=(1+5%)y,即x＝1.05y(y∈[0,+∞))由对数与指数间的关系，可得y=log1.05x(x∈[1,+∞)).由计算工具可得，当x=2时，y≈14．所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．新知讲解【例2】假设某地初始物价为1,每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x．(1)该地的物价经过几年后会翻一番？(2)填写下表,并根据表中的数据,说明该地物价的变化规律．解：物价x12345678910年数y0(2)根据函数y=log1.05x(x∈[1,+∞)),利用计算工具,可得数据表明该地区的物价随时间增长而增长,但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小.142328333740434547初试身手

C拓展延申

解：解得x>0且x≠1,所以此函数的定义域为{x|x>0且x≠1}.

⑵要使函数有意义，必有(3-x)(3+x)>0,解得-3<x<3,所以此函数的定义域为(-3,3).

解得0<x≤2,所以此函数的定义域为(0,2].课堂小结2.求与对数函数有关的函数的定义域.3.对数函数模型问题的求解.1.对数