专题02与三角形有关的角（解析版）

专题02与三角形有关的角考向考向一：与平行线有关的三角形内角和问题考向二：与角平分线有关的三角形内角和问题考向三：三角形折叠中的角度问题考向四：三角形内角和定理的应用考向五：三角形外角的性质一、与平行线有关的三角形内角和问题1．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，BC∥DE，若∠A=35°，∠C=24°，则∠E等于（）A．24° B．59° C．60° D．69°【详解】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠CBE=∠A+∠C=59°，∵BC∥DE，∴∠E=∠CBE=59°；故选B．2．（2022·福建三明·八年级期末）如图，AB∥CD，AD⊥CE于点A，，则的度数是（

）A．30° B．40° C．45° D．60°【详解】解：∵∠DAC是直角，∠1=60°，∠ACD+∠DAC+∠1=180°∴∠DAC=90°∴∠ACD=180°-∠DAC-∠1=30°又∵AB∥CD∴∠ACD=∠2=30°故选A.3．（2022·山东济南·八年级期末）已知直线，一个含角的直角三角尺如图叠放在直线上，斜边交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．【详解】∵含角的直角三角尺∴∠A=30°，∠ACB=60°∵∴∠1=∠ACB=60°故选：D.4．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于（）A．63° B．113° C．55° D．62°【详解】解：∵ABDE，∴∠DEC=∠A，∵∠A=180°-∠B-∠C=180°-55°-63°=62°，∴∠DEC=62°故选：D．二、与角平分线有关的三角形内角和问题1．（2022·辽宁盘锦·八年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（

）A．45° B．60° C．50° D．55°【详解】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=∠EAD+∠CAD，∴∠EAD=∠BAE-∠CAD=30°-20°=10°，∴∠BAD=∠BAE＋∠EAD=40°∴Rt△ABD中，∠B=90°-∠BAD=90°-40°=50°故选C．2．（2022·重庆·八年级期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（

）A．31° B．59° C．62° D．69°【详解】解：∵BE为△ABC的高，∴∠AEB=90°，∵∠C=70°，∠ABC=48°，∴∠CAB=62°，∵AF是角平分线，∴∠1=∠CAB=31°，在△AEF中，∠EFA=180°-31°-90°=59°．∴∠3=∠EFA=59°，故选：B．3．（2022·山东聊城·八年级期末）如图，在△ABC中，，点D是和角平分线的交点，则（）A． B． C． D．【详解】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，，，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠DBC+∠DCB=70°，∴∠BDC=180°-70°=110°，故选：C．三、三角形折叠中的角度问题1．（2022·天津市第七八年级期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（

）A．25° B．30° C．35° D．40°【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°．∵△CDB′由△CDB折叠而成，∴∠CB′D=∠B=65°．∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选D．2．（2022·四川达州·八年级期末）如图，将沿着平行于的直线折叠，点落在点处，若，则的度数是（

）A．108° B．104° C．96° D．92°【详解】解：∵，∴∠ADE＝∠B＝44°，∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，∴∠A′DE＝∠ADE＝44°，∴∠A′DB＝180°﹣44°﹣44°＝92°．故选：D．3．（2022·河南周口·八年级期末）如图，将△ABC的BC边对折，使点B与点C重合，DE为折痕，若，，则（

）．A．45° B．60° C．35° D．40°【详解】解：由折叠得∠B=∠BCD，∵∠A+∠B+∠ACB=180°，，，∴65°+2∠B+25°=180°，∴∠B=45°，故选：A．4．（2021·新疆·乌鲁木齐市第六十八八年级期末）如图，把△ABC的一角折叠，若，则（

）A． B． C． D．【详解】由折叠得故选：C．四、三角形内角和定理的应用1．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里【详解】∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．∴NP＝NM＝80（海里）．故选D．2．（2022·广东潮州·八年级期末）如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．钝角或直角三角形【详解】设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选：A．3．（2022·福建·厦门五缘实验八年级期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（

）A．2：3：4 B．1：2：3 C．4：3：5 D．1：2：2【详解】A、设三个角分别为2x，3x，4x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：40°，60°，80°，所以不是直角三角形；B、设三个角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：30°，60°，90°，所以是直角三角形；C、设三个角分别为4x，3x，5x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：60°，45°，75°，所以不是直角三角形；D、设三个角分别为x，2x，2x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：36°，72°，72°，所以不是直角三角形．故选：B．4．（2022·陕西渭南·八年级期末）一个缺角的三角形残片如图所示，量得，则这个三角形残缺前的的度数为（

）A． B． C． D．【详解】解：∵，，∴，故选：B5．（2022·安徽合肥·八年级期末）在△ABC中，若，则是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．斜三角形【详解】解：在中，，，，即，，即是直角三角形，故选B．五、三角形外角的性质117．（2022·广西百色·八年级期末）如图，图中∠1的大小等于（）A．40° B．50° C．60° D．70°【详解】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：130°=60°+∠1，∴∠1=70°．故选D．2．（2022·山西·右玉县第八年级期末）如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于A． B． C． D．【详解】解：如图，，由三角形的外角性质得，，，．故选：B．3．（2022·河北邯郸·八年级期末）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的邻补角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．4．（2022·湖南永州·八年级期末）如图，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，则∠B的度数是（

）A．43° B．33° C．47° D．37°【详解】解：延长BD交AC于点E，∵∠BDC=∠C+∠BEC，∠BEC=∠A+∠B，∴∠BCD=∠A+∠B+∠C，∵∠BDC=100°，∠A=28°，∠C=35°，∴∠B=100°-28°-35°=37°，故选：D．1．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（A． B． C． D．【详解】解：在中，，∴，∵与关于直线AD对称，∴，∴；故选：A．2．（2022·四川绵阳·八年级期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DEAB，则∠ADE的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°【详解】解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，∴∠BAC＝110°，由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，∵DEAB，∴∠BAE＝∠E＝30°，∴∠CAD＝40°，∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，故选：B．3．（2022·湖北恩施·八年级期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【详解】解：∵，∴，∴，由折叠的性质可得：，∴，∵，∴，即．故选B．4．（2022·山东临沂·八年级期末）△ABC中，∠A=40°，高BD和CE交于O，则∠COD为（

）A．40°或140° B．50°或130° C．40° D．50°【详解】解：①如图1，①是锐角三角形时，、是高，，，；②如图2，是钝角三角形时，、是高，，，，又（对顶角相等），，综上所述，为，故选：C．5．（2022·福建·厦门八年级期末）如图，（）A．180° B．360° C．270° D．300°【详解】解：∵∠7=∠4+∠2，∠6=∠1+∠3，∴∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4，∵∠5+∠6+∠7=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°．故选：A．6．（2022·广西河池·八年级期末）如图，是△ABC的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点．设，则（

）A． B． C． D．【详解】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A1CD是△A1BC的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，∴∠A1=∠A，∵∠A=，∴∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1=∠A，∠A3=∠A2，∠A4=∠A3，……∴∠An．故选：D．7．（2022·山东·青岛大学附属八年级期末）如图，已知直线1交直线a，b于A，B两点，且a∥b，E是a上的点，F是b上的点，满足∠DAE=∠BAE，∠DBF=∠ABF，则∠ADB的度数是（

）A．45° B．50° C．60° D．无法确定【详解】解：∵a∥b，∴∠BAE+∠ABF=180°，∵∠DAE=∠BAE，∠DBF=∠ABF，∴∠DAB=∠BAE，∠DBA=∠ABF，∴∠DAB+∠DBA=(∠BAE+∠ABF)=×180°=135°，∴∠ADB=180°－（∠DAB+∠DBA）=45°．故选：A．8．（2022·重庆云阳·八年级期末）如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（

）A． B．C． D．【详解】解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）．∵AD为BC边上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．又∵∠ABD=180°-∠2，∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．故选：B9．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，将一副三角板如图放置，则下列结论：①；②如果，则有BC∥AE；③如果，则有DE∥AB；④如果，必有．其中正确的有（

）A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④【详解】解：由题意得∠DAE=∠BAC=90°，∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，故①正确；若∠2=45°，则∠3=45°，∴∠3=∠C，∴BC∥AE，故②正确；若∠2=30°，则∠1=60°，∵∠1≠∠D，∴DE与AB不平行，故③错误；若∠2=45°，则∠3=45°，∴∠3=∠C∵∠4+∠C=∠E+∠3，∴∠4=∠E，故④正确，故选：C．二、填空题10．（2022·河北保定师范附属八年级期末）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．11．（2022·北京通州·八年级期末）如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为__________.【详解】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，∴∠GCF+∠DBE=90°，∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°，∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°，故答案为：270°．12．（2022·云南·红河县教育科学研究室八年级期末）如图，在中，，，，则x＝______．【详解】解：∵，，∴∵，∴，∴∴故答案为：130．13．（2022·辽宁·朝阳市第七八年级期末）如图所示，AB∥CD，∠1＝115°，∠3＝140°，则∠2＝__________．【详解】如图，∵AB∥CD，∠3=140°，∴∠4=180°-140°=40°，∵∠1=115°，∴∠2=∠1-∠4=115°-40°=75°．故答案为75°.14．（2022·陕西西安·八年级期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E，记，，则以下结论①，②，③，④，正确的是________．（把所有正确的结论的序号写在横线上）【详解】∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE−∠DBE＝（∠ACD−∠ABC）＝∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°−（∠OBC＋∠OCB）＝180°−（∠ABC＋∠ACB）＝180°−（180°−∠1）＝90°＋∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠OCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答案为：①④．三、解答题15．（2022·江西萍乡·八年级期末）如图，在中，点D为上一点，将沿翻折得到，与相交于点F，若平分，，．(1)求证：；(2)求的度数．（1）证明：∵，，∴,∵AE平分，∴，∵，∴，∴，∴，（2）解：，∴，∵，且，∴．16．（2022·广东河源·八年级期末）如图，已知，且与，分别交于A，B两点，点P在直线AB上.（1）当点P在A，B两点之间运动时，求，，之间的数量关系，并说明理由.（2）如果点P在A，B两点外侧运动，试探究，，之间的数量关系（点P与A，B不重合），并说明理由.【详解】（1）.理由如下：如图所示，过点P作．，，，．，．（2）或．理由如下：当点P在下侧时，过点