第一课时函数的单调性

课标要求1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解函数单调性的作用和实际意义.3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用.素养要求1.结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程.体会用符号形式表达单调性定义的必要性.2.在函数单调性的应用过程中，发展逻辑推理和数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成内容索引WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究1.问题观察下列两个图象，从图形上看，它们有什么共同特征？提示从图形上看，它们的图象从左向右都是上升的.通过对应值表你发现了什么？提示7，8，9；36，49，64.当自变量x的值增大时，对应的函数值y随着增大.2.问题上述特征能否用数量间的关系来体现吗？试着补充下面表格：x12345678f(x)＝x＋123456______f(x)＝x2(x≥0)1491625______3.问题观察下列两个函数图象，类比问题1和问题2的认知，探究过程，你能得到什么结论？提示图象从左向右呈下降趋势，当自变量x的值增大时，对应的函数值y逐渐减小.提示任意取x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2).5.填空(1)①补充完整下面表格：条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时都有________________都有________________结论f(x)在区间D上单调递增f(x)在区间D上单调递减图示f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)②当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是________；当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是________.温馨提醒(1)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D⊆I.(2)定义中x1，x2有三个特征：①x1，x2属于同一个区间；②任意性，x1与x2不能用D上的特殊值代替；③有序性，通常规定x1<x2.增函数减函数(2)函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________.温馨提醒(1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域.(2)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接.单调区间AD6.做一做(1)(多选)下列函数中，在区间(－∞，0)上为减函数的是(

)(2)已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.根据图象写出y＝f(x)的单调区间，增区间为_________________，减区间为________.[－2，－1]和[2，6][－1，2]解析由图象可知f(x)在[－2，6]上的递增区间为[－2，－1]和[2，6]，减区间为[－1，2].×7.思考辨析正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.(1)如果f(－1)<f(2)，那么函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增.()提示函数单调性中x1，x2应具有任意性.×(3)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).()(4)f(x)在区间D上为增函数，且x1，x2∈D，若f(x1)<f(x2)，则x1<x2.(

)√√HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2(1)求f(x)的定义域；解由x2－1≠0，得x≠±1，题型一判断或证明函数的单调性(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上单调性，并用定义加以证明.由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1，利用定义证明函数单调性的步骤：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.思维升华证明

∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2<0，由题设可得，x1－x2<0，x1·x2>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，例2已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.(1)将函数写成分段函数的形式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象写出它的单调区间.题型二求函数的单调区间角度1利用图象求函数的单调区间(2)如图.(3)由图象可知单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2).解任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则角度2利用定义求函数的单调区间∴当x1，x2∈(0，1)时，x1x2－1<0，则f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(0，1)上单调递增.当x1，x2∈[1，＋∞)时，x1x2－1>0，则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)是在[1，＋∞)上单调递减.综上所述，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为[1，＋∞).1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.2.利用函数单调性的定义求单调区间，一定要注意所给函数的定义域，若题目没有给出，要先求出函数的定义域.3.一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接.思维升华(－∞，1)解析当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1).(2)画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间.函数的图象如图实线部分所示.由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).A题型三函数单调性的简单应用角度1已知函数的单调性求参数解析要使f(x)在R上是减函数，需满足：例5已知f(x)是定义在区间[－2，2]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围.角度2利用单调性解不等式解得0≤x≤3，①∵f(x)是[－2，2]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x).1.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.2.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.思维升华解析因为f(x)是R上的增函数，[4，8)解得4≤a<8.(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)<f(2)，求实数m的取值范围.解∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，∵f(m＋2)<f(2)，f(0)＝f(2)，∴0<m＋2<2，∴－2<m<0，则实数m的取值范围为(－2，0).课堂小结1.2.若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.3.函数f(x)在区间(m，n)上单调递增，若x1，x2∈(m，n)，则x1<x2⇔f(x1)<f(x2)，因此利用单调性可以比较函数值的大小，反过来，也可用来解函数不等式.01.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成1.函数y＝f(x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是(

) A.[－4，4]

B.[－4，－3]∪[1，4] C.[－3，1]

D.[－3，4]

解析由图象知单调递增区间为[－3，1].C2.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是(

)B解析选项A，C，D中的函数在(0，2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0，2)上是增函数.3.(多选)下列说法正确的是(

) A.已知区间I，若对任意的x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数 B.函数y＝x2在R上是增函数AD解析由增函数的定义，知A正确；y＝x2在x∈[0，＋∞)时是增函数，在x∈(－∞，0)时是减函数，从而y＝x2在定义域R上不具有单调性，故B错误；4.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(

)ABD解析因为f(x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确.而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).5.若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(

)B又∵函数在区间(－∞，2]上是减函数，6.若函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______________.解析∀x1，x2∈R且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，∴f(x)在R上是增函数，故f(－3)>f(－π).f(－3)>f(－π)7.函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是________________________.解析y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出该函数的图象，如图.由图象可知，其单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞).

[－1，1]和[3，＋∞)8.已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a

的取值范围为____________.9.画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出该函数的单调区间.解x≥0时，y＝－x2＋2x＋3；x<0时，y＝－x2－2x＋3.画出该函数的图象如图所示，由图象知，该函数的单调递增区间是(－