《概率论与数理统计》课件 孟祥波 第二章 一维随机变量及其分布

第二章一维随机变量及其分布第一节随机变量与分布函数二、随机变量分布函数的概念三、小结一、随机变量一、随机变量1.为什么引入随机变量？利用语言描述的方法表示随机事件，但表述比较烦琐，为了更简明表示随机事件，本章引入随机变量的概念，将随机试验的结果与实数之间建立一种映射关系，从而利用高等数学的方法来研究随机试验，进而更充分地认识随机现象的统计规律．2.问题引入

(1)姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？（1）投进零个球（2）投进一个球（3）投进两个球（4）投进三个球0分1分2分3分

(2)在一块地上种10棵树苗，成活的颗数X.2.问题引入硬币正面1硬币反面0

(3)投掷硬币的试验.2.问题引入设随机试验E的样本空间为每一个样本点定义1：变量X都有确定的实数值与之若对于对应，则X是定义在Ω上的实值函数，即称变量X为随机变量，通常用表示.样本空间R实数轴随机变量注随机变量是上的映射；

定义域是样本空间这个函数的自变量（样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量一定是实数；这个函数可以是不同样本点对应不同实数，也可以多个样本点对应同一个实数；随机变量的可能取值不止一个，试验前只能预知它的可能取值，不能预知具体取哪个值，但它取每个可能值都有一定的概率．二、随机变量分布函数的概念设X是随机变量，“X≤x”的概率P(X≤x)称为随机变量X的分布函数，定义2：记作F(x)，注将事件x是任意实数，即二、随机变量分布函数的概念注分布函数是一个函数，因此可以用数学分析的方法来研究随机变量.分布函数F(x)在x处的函数值等于随机变量X落在区间上的概率.设X是随机变量，“X≤x”的概率P(X≤x)称为随机变量X的分布函数，定义2：记作F(x)，将事件x是任意实数，即分布函数的性质：(1)单调性：F(x)是一个关于x的单调非减函数，(3)右连续性：

F(x)右连续，(2)有界性：即即解例1

设一个随机变量X的分布函数为求：解例2

设一个随机变量X的分布函数为求：参数A和B;根据分布函数F(x)的基本性质，可得因此小结1.随机变量函数的定义2.

分布函数的定义.3.分布函数的性质.(1)单调性；(2)有界性；(3)有连续性.第二节离散型随机变量二、常见的离散型随机变量三、小结一、离散型随机变量的概念一、离散型随机变量的概念或可列无穷多个数值定义1：随机变量.若随机变量X只能取有限个数值X

P

则称X为离散离散型随机变量X取得任一个可能值的称为离散型随机变量X的概率函数或分布律.列表如下：概率记作性质

——非负性——正则性设X是离散型随机变量，概率函数为分布函数为解例1

设离散型随机变量X的概率分布为求：X的分布函数为F(x)，并绘制F(x)的图像;和解例1

设离散型随机变量X的概率分布为求：X的分布函数为F(x)，并绘制F(x)的图像;和解例1

设离散型随机变量X的概率分布为求：X的分布函数为F(x)，并绘制F(x)的图像;和离散型随机变量的分布函数F(x)是分段阶梯函数，在X的每一个可能取值

处发生间断，间断点为跳跃间断点，跳跃高度为随机变量X取

的概率值

二、常见的离散型随机变量1.0-1分布0<p<

1凡试验只有两个结果，常用0-1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.注如果随机变量X只可能取0和1两个值，其概率分布为定义2：则称随机变量X服从0-1分布或两点分布.

列表为

X

0

1

P随机变量X的概率分布为例2100件产品中，有95件正品，5件次品，现从中随机地抽取一件.如抽取每一件的机会相等，如注

设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中不放回地依次抽取n件样品，则样品中的次品数设随机变量X的概率函数为定义3随机变量X服从超几何分布，其中n,M,N都是正整数，且记作2.超几何分布则称其中n,M,N是分布参数.任取三只，例3盒子中共有15只球，其中黑球2只，剩下的为白球，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出黑球的只数，

求X的分布律．解X

包含黑球的只数X可能为0,1,2.设随机变量X的概率函数为定义4随机变量X服从二项分布，其中n为正整数，且记作注

设一批产品共N件，其中有M件次品，即次品率从这批产品中有放回地依次取n件产品，则样品中的次品数3.二项分布则称其中n,p是分布参数.

伯努利概型中，设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在n次独立试验中发生的次数当

时，二项分布0-1分布3.二项分布算出具体数值列表如下：例4设种子发芽率是80%，种下5粒，用X表示发芽的粒数，求X的概率分布.解X

例5某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率.解将一次射击看成是一次试验，注：小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成了大概率事件，这说明决不能轻视小概率事件．设击中的次数为X，定理1注

当一批产品的总量N很大，而抽取样品的数量n相对于N较小（）时，则不放回抽样（样品中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品中的次品数服从二项分布）没有多大差异.则有当时，（超几何分布的极限分布是二项分布）则称随机变量X服从泊松分布，设随机变量X的概率函数为定义5其中记作其中是分布参数.4.泊松分布(Poission)在某个时段内：①大卖场的顾客数；③某地区拨错号的电话呼唤次数；②市级医院急诊病人数；④某地区发生的交通事故的次数；⑦一个容器中的细菌数；⑧一本书一页中的印刷错误数；⑥一匹布上的疵点个数；应用场合⑤放射性物质发出的粒子数；注1812年当选为巴黎科学院院士.西莫恩·德尼·泊松Simeon-DenisPoisson、1781～1840法国数学家

几何学家

物理学家.

泊松是19世纪概率统计领域里的卓越人物.他建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布.他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分.

1798年入巴黎综合工科学校深造.受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识.1800年毕业后留校任教.1808年任法国经度局天文学家.解例6某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数的泊松分布．求：(1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率；(2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率．定理2（泊松定理）在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验次数n有关），如果当时，

（且为常数），则有二项分布的极限分布是泊松分布注小结离散型随机变量的分布律常用分布

1、0-1分布B(1,p)2、超几何分布H(n,M,N)

3、二项分布B(n,p)4、Poission分布P(

)第三节连续型随机变量二、常见的连续型随机变量三、小结一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念（有界或无界），定义1：使得对于若随机变量X的取值范围是某个实数区间I任意区间有则称X为连续型随机变量，如果存在非负实数f(x),函数f(x)称为连续型随机变量X的概率密度函数或概率密度.概率密度函数的性质()非负性

f(x)0；

()正则性

随机变量X落在(a,b]内的概率等于(a,b]上曲线y=f(x)下的曲边梯形面积.概率密度函数的几何意义

(4)

(2)P(X=X0)=0——概率为0的事件未必不发生.注：(1)满足性质（）和（）的函数

f(x)必为某一连续型随机变量的概率密度函数.

(3)解例1

设连续型随机变量X的概率密度为求：系数；(1)确定k；(2)求(3)X的分布函数F(x).例2

设连续型随机变量X的概率密度为解解(1)确定k；(2)求(3)X的分布函数F(x).例2

设连续型随机变量X的概率密度为二、常用的连续型随机变量的分布1.均匀分布设随机变量X的概率密度为定义2则称随机变量X在区间服从均匀分布，记作其中a,b是分布参数.注

服从均匀分布的随机变量X

落在(a,b)内任何长为d-c的小区间内的概率与小区间的位置无关，(2)在数值计算中，由于“四舍五入”最后一位数字所引起的随机误差，在刻度器上读数时，把零头数化为最近整分度时所发生的随机误差等都可以认为服从均匀分布.(1)只与其长度成正比.例3用某刻度器测量机械零件长度，刻度器能准确至十分之一厘米，即若以厘米为长度的计量单位，则小数点后第一位数字是按“四舍五入”原则得到的．求由此刻度器产生的测量误差的概率密度．解例4设电阻值R是一个随机变量，R在

上服从均匀分布，求R的概率密度及R在上取值的概率.解设随机变量X的概率密度为定义3则称随机变量X在区间服从均匀分布，记作其中

是分布参数.注：电话问题中的通话时间；随机服务系统的服务时间；电子元件的使用寿命及动物的寿命等可看作服从指数分布.2.指数分布例5已知某电子元件厂生产的电子元件的寿命X(h)服从指数分布e(0.001).该厂规定寿命低于200（h）的元件为不合格产品，问该厂生产不合格电子元件的数量大约占总产量的百分之几？解设随机变量X的概率密度为定义4则称随机变量X在区间服从正态分布，记作也称高斯分布，

是分布参数.其中3.正态分布约翰·卡尔·弗里德里希·高斯1777～1855天文学家、几何学家，大地测量学家.

高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.

高斯生于不伦瑞克.17岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法.德国数学家、物理学家1796年，证明了可以尺规作正十七边形.1840年高斯与韦伯一同画出世界上第一张地球磁场图.高斯专注于曲面与曲线的计算，成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线).其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用.其它范围内是凹的，拐点：(6)渐近线：x轴为渐近线概率密度函数特点：(1)f(x)在处达到最大值(3)x轴为其水平渐近线；(4)越大，f(x)最大值越小；(5)f(x)图像关于直线对称.(2)f(x)在内是凸的，分布函数及其图像分布函数表达式令人心动的S曲线标准正态分布分布函数性质：

概率密度：分布函数：定理1

若则证明关于变量u求导，得解例6已知

求和解例6已知

求和例7已知求解看作则：X落在区间之外的概率为0.003.常把区间看作随机变量X实际可能的取值区间.小结连续型随机变量的概率密度函数常用分布

1、均匀分布

2、指数分布3、正态分布第四节随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布三、小结一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的分布律为X

P

Y

P

的概率分布？方法：先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值，即确定相应的概率值，从而求得的概率分布，若中有值相同的，应将相应的合并.然后对Y的每一个可能取值试求的分布律.例1设离散型随机变量X具有以下的分布律如下：解Y所以Y的分布律为Y的可能取值为试求的分布律.例1设离散型随机变量X具有以下的分布律如下：解YY的分布律为表中Y相同数值合并，相应概率相加，得Y(法二）二、连续型随机变量函数的分布1.分布函数法设连续型随机变量X的分布函数为方法：根据X的分布先求随机变量Y

的分布函数，的概率分布？利用不等式等价变形，然后通过分布函数求Y=g(X)的概率密度.将事件转化为X的不等式，解例2设随机变量X具有概率密度求随机变量的概率密度.第一步先求的分布函数解第二步由分布函数求概率密度.其他.所以Y的概率密度例2设随机变量X具有概率密度求随机变量的概率密度.解第二步由分布函数求概率密度.其他.其他.例2设随机变量X具有概率密度求随机变量的概率密度.解当时，求随机变量的概率密度函数.例3

已知第一步先求Y的分布函数.当时，解当时，求随机变量的概率密度函数.例3

已知第二步再由分布函数由概率密度.当时，所以Y的概率密度为称随机变量Y服从自由度为1的分布.2.公式法定理1

设随机变量X具有概率密度，又设函数g(x)处处可导且恒有（或恒有），则

是连续随机变量，其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数.解所以Y=aX+b的概率密度试证明X的线性函数例4设随机变量也服从正态分布．X的概率密度为小结Y=g(X)的分布.离散型连续型——分布函数法——公式法已知随机变量X的分布律或求随机变量第五节综合例题例1某栋大楼装有4个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻X每个设备使用的概率为0.1，求以下事件的概率：(1)在同一时刻下恰有2个设备被使用；(2)在同一时刻下至少有2个设备被使用；(3)在同一时刻下至多有2个设备被使用．解例1某栋大楼装有4个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻X每个设备使用的概率为0.1，求以下事件的概率：(1)在同一时刻下恰有2个设备被使用；(2)在同一时刻下至少有2个设备被使用；(3)在同一时刻下至多有2个设备被使用．解例1某栋大楼装有4个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻X每个设备使用的概率为0.1，求以下事件的概率：(1)在同一时刻下恰有2个设备被使用；(2)在同一时刻下至少有2个设备被使用；(3)在同一时刻下至多有2个设备被使用．解解例2

电话交换台每分钟收到呼唤的次数X服从参数为4的泊松分布．求：(1)每分钟恰有2次呼唤的概率；(2)某一分钟的呼唤次数大于1的概率．例3设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布，其概率密度为某顾客在窗口等待服务超过12分钟他就离开，他一个月要到银行4次．以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的概率分布，并求

解例4某地区18岁的男青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁男青年，用X表示他的血压．求：

(1)

(2)

(3)确定最小的x使解例4某地区18岁的男青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁男青年，用X表示他的血压．求：

(1)

(2)

(3)确定最小的x使解例4某地区18岁的男青年的血压（收缩压，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁男青年，用X表示他的血压．求：

(1)

(2)

(3)确定最小的x使解成立时，最小的例5设电流I是一个随机变量，它均匀分布在0.5安

1安之间．若此电流通过20欧的电阻，在其上消耗功率

求P的概率密度．解解例5设电流I是一个随机变量，它均匀分布在0.5安

1安之间．若此电流通过20欧的电阻，在其上消耗功率

求P的概率密度．解例6