《概率论与数理统计》课件 孟祥波 第五章 大数定律与中心极限定理

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第五章大数定律和中心极限定理第一节切比雪夫不等式与大数定律二、大数定律一、切比雪夫不等式三、小结一、切比雪夫（Chebyshev）不等式成立.定理1或则对于任意正数，不等式设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,证明：下面分别在离散型随机变量和连续型随机变量两种情形。情形一：设离散型随机变量X的概率函数为p(x),则有情形二：设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则有已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，标准差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5900~8700

之间的概率．设X表示每毫升血液中含白细胞个数，由题意知例1则所求概率解：二、大数定律定理2（切比雪夫大数定律）设独立随机变量序列X1,X2,

…,Xn,…

的数学期望和方差都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数C

，使得则对于任意的正数，有定理3（伯努利大数定律）在独立试验序列中，设事件A的概率P(A)=p，fn(A)表示事件A在n次试验中发生的频率，则对于任意的正数，有定理4（辛钦大数定律）设随机变量序列X1,X2,

…,Xn,…

独立同分布，并且有则对于任意的正数，有小结1.切比雪夫不等式2.大数定律：切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律.概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第五章大数定律和中心极限定理第二节中心极限定理二、棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理一、林德伯格—勒维中心极限定理三、小结一、林德伯格—勒维中心极限定理设相互独立的随机变量序列X1,X2,

…,Xn,…服从定理1（林德伯格—勒维中心极限定理）相同的分布，且则对于任意实数x，有用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，100袋味精装成一箱.求一箱味精净重大于10250克的概率.设一箱味精净重为X克，箱中第k袋味精的净重为Xk克，k=1,2,…,100

，则X1,X2,

…,X100

是相互独立的随机变量，且E(Xk)=100，D(Xk)=100.故例1：解：因而，二、棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理设在独立试验序列中，事件A发生的概率为p(0<p<1),随机变量Yn表示事件A在n次试验中发生的次数，则对于任意实数x，有定理2（棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理）

设随机变量X服从B(100,0.8),求由棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理可知例2：解：一个复杂系统由100个相互独立的电子元件构成，在系统运行期间，每个电子元件损坏的概率为0.1，用X表示系统运行时正常工作的元件数．（1）写出X的概率函数；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理，求系统运行时正常工作的电子元件数不少于88个的概率的近似值．（1）X~B(100,0.1),则概率函数为例3：解：（2）由棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理得小结1.林德伯格—勒维中心极限定理2.棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第五章大数定律和中心极限定理第三节综合例题设随机变量，且相关系数，根据切比雪夫不等式估算例1：因为因而由切比雪夫不等式得到解：而因此所以一加法器同时收到300个噪声电压Vk(k=1,2,…,300)，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,6)上服从均匀分布，记，求的近似值．例2：解：由林德柏格—勒维中心极限定理，随机变量易知近似服从标准正态分布N(0,1)．于是例3：电站供应当地10000户居民用电，在用电高峰时每户用电的概率为0.9，且各户用电量多少是相互独立的．求：（1）用电高峰时刻有9060户以上用电的概率；（2）若每户用电功率为100W，则在用电高峰时刻电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？解：（1）设Yn表示在10000户中同时用电的用户，则于是因此，所求概率为