《概率论与数理统计》课件 孟祥波 第三章 多维随机变量及其分布

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第三章多维随机变量及其分布第一节多维随机变量及其分布二、二维离散随机变量四、小结一、多维随机变量及分布函数的概念三、二维连续随机变量也称为二维随机向量．一、多维随机变量及分布函数的概念定义3.1.1设和是定义在同一样本空间上的两个随机变量，称由它们组成的向量为二维随机变量，其中称和是二维随机变量的分量．一、多维随机变量及分布函数的概念定义3.1.2设为二维随机变量，对任意的一组实数对

，称以下的二元函数为二维随机变量的联合分布函数，亦简称为

的分布函数．性质3.1.1（单调非减性）对于分布函数，如果固定变量，则当

时，有同样，如果固定变量，则当时，有性质3.1.2（有界性）对于任意的实数和，有且有性质3.1.3（右连续性）如果固定变量，则分布函数是关于变量右连续的函数，即如果固定变量，则分布函数是关于变量右连续的函数，即性质3.1.4（矩形区域概率非负性）对任意的和，其中，，则有定义3.1.3设是定义在同一样本空间上的个随机变量，称由它们组成的向量为

维随机变量，也称为维随机向量，其中称是维随机向量的第个分量．定义3.1.4设是维随机变量，对任意的实数组，称以下的元函数为维随机变量的联合分布函数，亦简称为的分布函数．二、二维离散随机变量定义3.1.5若二维随机变量的取值只有有限多对或可列无穷多对，则称为二维离散随机变量．二、二维离散随机变量定义3.1.6若二维离散随机变量所有可能取到的不同值为，称为的联合概率函数或联合分布律，简称概率函数或分布律．性质：(1)非负性：

(2)

规范性：的联合分布律例3.1.1设一抽屉中放有标号为1、2、3、3的四只小球，现从中不放回随机抽出，用随机变量表示第一次抽出的小球号码，用随机变量表示第二次抽出的号码，求的联合分布律，并计算

．解的可能取值是1、2、3，的可能取值是1、2、3，则的可能取值有9对，易知其中所以的联合分布律为所以例3.1.2设二维随机变量的联合分布律如下表所示．求（1）的值；（2）的联合分布函数．解（1）由联合分布律的规范性，有则（2）由当或时，当或时，当或时，当或时，当或时，所以的联合分布函数为三、二维连续随机变量定义3.1.7设是二维随机变量，是其联合分布函数，若存在非负二元函数，使得对于任意的实数，，有则称为二维连续随机变量，称为联合概率密度函数，简称为概率密度．性质：(1)非负性：

(2)

规范性：三、二维连续随机变量(3)当在点处连续时，(4)对于面上的区域，随机点落在区域内的概率为例3.1.3设二维随机变量的密度函数为求（1）常数；（2）．解（1）由密度函数的性质，可知即得（2）记，则下面介绍几种常用的二维连续随机变量．1.二维均匀分布定义3.1.8设是平面上的一个有界区域，其面积为，若二维随机变量的密度函数为则称随机变量服从区域上的二维均匀分布．设随机变量服从单位圆域上的均匀分布，求随机变量落入环形区域（见下图）内的概率．例3.1.4解

由于单位圆域的面积为，所以

的密度函数为因此，落入环形区域内的概率为2.二维指数分布定义3.1.9若二维随机变量的密度函数为其中为常数，则称随机变量服从参数为

的二维指数分布．设随机变量服从二维指数分布，且概率密度函数为例3.1.5求：（1）分布函数；（2）；（3）．解（1）由当或时，当或时，所以（2）由（1）中所求的分布函数，可得（3）将看作坐标面上的随机点坐标，则

可看作坐标平面内的直线以上的部分

(如图)，记，则3.二维正态分布定义3.1.10若二维随机变量的密度函数为其中均为常数，则称随机变量服从参数为的二维正态分布，记作二维正态分布的密度函数也是呈“钟”形的曲面：

设随机变量服从二维正态分布，且概率密度函数为例3.1.6求：．解将看作坐标面上的随机点坐标，则看作坐标平面内的直线以下的部分(如右图)，记，则利用极坐标变换，令可得小结1.主要概念：二维随机变量、分布函数、二维离散随机变量及其概率函数、二维连续随机变量及其密度函数.2.常见二维连续随机变量：二维均匀分布、二维指数分布、二维正态分布.概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第三章多维随机变量及其分布第二节边缘分布二、二维离散随机变量的边缘分布律四、小结一、边缘分布函数三、二维连续随机变量的边缘概率密度函数一、边缘分布函数定义3.2.1设二维随机变量的联合分布函数为，称随机变量的分布函数为关于的边缘分布函数，且称随机变量的分布函数为关于的边缘分布函数，且二、二维离散随机变量的边缘分布律定理3.2.1如果二维离散随机变量的联合概率函数（分布律）为则关于的边缘分布函数为则关于的边缘分布函数为的联合分布律及两个边缘分布律表例3.2.1设一抽屉中放有标号为1、2、3、3的四只小球，现从中不放回随机抽出，用随机变量表示第一次抽出的小球号码，用随机变量表示第二次抽出的号码，求的边缘分布．（续例3.1.1）解

根据例3.1.1的结果，联合分布律为由边缘分布的定义，知

取可能值1、2、3时，所以，关于的边缘分布律为同理，关于的边缘分布律为一纸箱中装有3只红球和4只黑球，现从中随机抽取小球两次，分别采取放回和不放回两种方式，每次取出一只．以记第一次取出的红球数，以记第二次取出的红球数，求的联合分布律和相应的边缘分布律．例3.2.2解

（1）放回随机取球情形，和的所有可能取值均为0或1，则由事件的条件概率可得同样计算法可得因此，可得的联合分布律和相应的边缘分布律如下：（2）不放回随机取球情形，和的所有可能取值均为0或1，则由事件的条件概率可得因此，可得联合分布律和相应的边缘分布律如下：对比放回与和不放回情形的结论，可以看到，两种情形下的联合分布律区别很大，但是两个边缘分布律是一样的．这说明：虽然联合分布可以唯一确定边缘分布，但是由边缘分布无法确定联合分布．三、二维连续随机变量的边缘概率密度函数定义3.2.2如果二维连续随机变量的联合概率密度为，则关于的边缘概率密度为关于的边缘概率密度为例3.2.3的二维均匀分布，求的边缘概率密度函数．设二维随机变量服从区域解

由二维均匀分布定义，知的联合密度函数为因为区域的面积为故则关于的边缘概率密度为：当或时，，有当时，有因此同理，计算关于的边缘概率密度为：求二维正态随机变量的边缘概率密度函数．例3.2.4解为了便于处理，令则关于的边缘概率密度为：上式中的被积函数恰好是服从正态分布的随机变量的密度函数，则关于的边缘概率密度为：同理，计算出关于的边缘概率密度为：这个例子表明：二维正态分布的两个边缘分布是（一维）正态分布，即由联合分布能够完全确定它的边缘分布；还可以看到，这两个边缘分布中都不包含参数，所以当时，这两个二维正态分布不同，但是它们的边缘分布完全相同，即由边缘分布一般无法完全确定它们的联合分布．设有维随机变量，其联合分布函数为，称随机变量的分布函数为关于的边缘分布函数，且有以上关于二维随机变量边缘分布的讨论可推广至

维随机变量．定义3.2.2小结主要概念：边缘分布函数、二维离散随机变量的边缘分布律、二维连续随机变量的边缘概率密度函数.概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第三章多维随机变量及其分布第三节随机变量的独立性二、多个随机变量之间的独立性三、小结一、两个随机变量之间的独立性一、两个随机变量之间的独立性定义3.3.1设二维随机变量的联合分布函数为，

和

分别是关于和的边缘分布函数，若对于任意的实数对，都有则称随机变量与相互独立，简称与独立．注3.3.1即随机变量与相互独立，等价于对于任意的实数，事件与事件相互独立．也可化为（1）由分布函数的概念，定义式注3.3.1也可化为（2）当是二维离散随机变量时，定义式即其中是的联合分布律，、分别是关于和的边缘分布律．注3.3.1也可化为（3）当是二维连续随机变量时，定义式其中是的联合概率密度函数，、

分别是关于和的边缘概率密度函数．例3.3.1（续例3.2.2）一纸箱中装有3只红球和4只黑球，现从中随机抽取小球两次，分别采取放回和不放回两种方式，每次取出一只．以记第一次取出的红球数，以记第二次取出的红球数，分别讨论随机变量与在放回和不放回两种情形下的独立性．解（1）放回情形，根据例3.2.2的结果，联合分布律和边缘分布律如右表：则对任意的，都有所以，此种情形下随机变量与相互独立．所以，此种情形下随机变量与不相互独立．（2）不放回情形，根据例3.2.2的结果，联合分布律和边缘分布律如右表：例3.3.2（续例3.2.3）设二维随机变量服从区域上的二维均匀分布，讨论随机变量与的独立性．解由例3.2.3的结论，的联合概率密度函数为而和的边缘概率密度为：显然，，随机变量与不相互独立．例3.3.3设随机变量服从二维正态分布证明：随机变量与相互独立的充分必要条件是．证明

充分性设，则的密度函数可化为所以随机变量与相互独立，充分性得证．必要性设随机变量与相互独立，则对任意的实数

，有即化简可得上式仅当时恒成立，必要性得证．在前一节中，我们曾指出，仅由与的边缘分布一般无法完全确定的联合分布．然而，当随机变量与相互独立时，边缘概率密度函数的乘积就是二维随机变量的联合概率密度函数，即此时由边缘分布可以完全确定联合分布．二、多个随机变量之间的独立性定义3.3.2则称随机变量相互独立．设是维随机变量，是其联合分布函数，是关于的边缘分布函数．若对于任意的实数组，都有定义3.3.3设是维随机变量，是其联合分布函数；是维随机变量，

是其联合分布函数；可看作是维随机变量，

是其联合分布函数．任意的实数组，都有若对于则称随机变量与相互独立．定理3.3.1设是维连续随机变量，是其联合概率密度函数，是关于的边缘概率密度函数，则随机变量相互独立等价于其中为任意的实数组．定理3.3.2若随机变量相互独立，对任意的和多元连续函数，分别记则随机变量与也是相互独立的．定理3.3.3若随机变量与相互独立，对多元连续函数，分别记则随机变量与也是相互独立的．特别地，随机变量与也是相互独立的．小结主要概念：两个随机变量之间的独立性、多个随机变量之间的独立性.概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第三章多维随机变量及其分布第四节条件分布二、连续随机变量的条件分布一、离散随机变量的条件分布三、小结一、离散随机变量的条件分布设二维离散随机变量（X,Y）的联合分布律为定义1：关于X和Y的边缘分布律分别为对固定的j，若则称为随机变量X在Y=yj下的条件分布律，记为同样，对固定的i，若则称为随机变量Y在X=xi下的条件分布律，记为一纸箱里装有3只红球和4只黑球，现从中随机抽取小球两次，采取不放回方式，每次取出一只．以X记第一次取出的红球数，以Y记第二次取出的红球数，求随机变量Y在X=1条件下的条件分布律．不放回时(X,Y)的联合分布律和边缘分布律为例1：解：由前表可知则根据条件分布律的概念，有因此，随机变量Y在X=1条件下的条件分布律为二、连续随机变量的条件分布对于二维连续随机变量（X,Y），事件（X=x）和（X=y）的概率均为0，所以无法直接利用条件概率公式给出相应的条件分布．为此，从一个随机变量落在某一点的邻域内作为条件出发，研究另一个随机变量的条件概率．由事件的条件概率公式，可得若（X,Y）的联合概率密度函数为f(x,y)

，关于Y的边缘概率密度函数为fY(y)，则前面的条件概率可改写为在上式中，令

，并利用积分中值定理，得记称之为X在Y=y下的条件分布函数．对关于x求导，可得X在Y=y条件下的条件概率密度函数为可得Y在给定X=x条件下的条件分布函数为Y在给定X=x条件下的条件概率密度函数为类似地，注：连续随机变量中的“积事件的概率乘法公式”由题意，(X,Y)的联合概率密度函数为例2：解：设(X,Y)服从

内的均匀分布，求条件概率密度函数和．容易得到，(X,Y)关于X的边缘概率密度函数为(X,Y)关于Y的边缘概率密度函数为所以，条件概率密度函数分别为设(X,Y)服从二维正态分布

，求条件概率密度函数和．由题意，(X,Y)的联合概率密度函数为例3：解：容易得到，(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度函数为所以，条件概率密度函数分别为注：二维正态分布的条件分布是一维正态分布小结1.主要概念：条件分布律，条件概率密度函数；2.条件分布=联合分布/边缘分布.概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第三章多维随机变量及其分布第五节多维随机变量函数的分布二、多维连续随机变量函数的分布一、多维离散随机变量函数的分布三、小结一、多维离散随机变量函数的分布设(X,Y)是二维离散随机变量，其联合分布律为定理1：则Z=g(X,Y)也是离散随机变量，且Z的分布律为其中

g(x,y)是二元初等函数.注：以上定理的结论可以推广至多维随机变量的情形，同学们可尝试给出相应的形式．设X和Y是两个相互独立的、取值为非负整数值的离散随机变量，其中X的概率分布律为由题意，Z=X+Y也是取值非负的离散随机变量，利用独立性可得例1：Y的概率分布律为求Z=X+Y

的概率分布律.解：设有二项随机变量，且X与Y

相互独立，则称此公式为“离散卷积公式”.其中

n=0,1,2,...即练习：二项随机变量的“再生性”---由相互独立的二项随机变量求和可得新的二项随机变量.若Z1,Z2,…,Zm是相互独立的0-1随机变量，即Zi

~B(1,p)，i=1,2,…,n，则有注：若Xi

~B(ni,p)，i=1,2,…,m，且X1,X2,…,Xm相互独立，则有特别地，二、多维连续随机变量函数的分布设(X,Y)是二维连续随机变量，其联合概率密定理2：分布函数为其中

g(x,y)是二元初等函数.注：当Z=g(X,Y)为连续随机变量时，Z的密度函数为度函数为f(x,y)，则Z=g(X,Y)也是随机变量，且Z的利用分布函数法，可以计算两个连续随机变量之和、差、积、商的密度函数．设(X,Y)是二维连续随机变量，其联合概率密定理3：度函数为f(x,y)，则Z=X+Y

的概率密度函数fZ(z)为U=X-Y

的概率密度函数fU(u)为V=XY

的概率密度函数fV(v)为当X与Y相互独立时，其联合概率密度函数为f(x,y)=

fX(x)fY(y).此时，Z=X+Y的密度函数为W=X/Y

的概率密度函数fW(w)为称此公式为“连续卷积公式”，记为注：由题意，X与Y的概率密度函数分别为例2：证明：设

且X与Y相互独立，证明：令Z=X+Y，则当X与Y相互独立时，由卷积公式得经计算，上式中被积函数的指数部分可化为其中，则有，再令u=Ax-B，并利用，则上式可化为即注：由上例可见，两个相互独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量，其参数是有关的参数相加．这说明正态分布也具有“再生性”，此结论可推广至多个正态随机变量的情形．接下来，不作证明，给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质：说明：（1）若X1,X2,…,Xn都是正态随机变量，且相互独立，则(X1,X2,…,Xn)是n维正态随机变量；反之，n维正态随机变量(X1,X2,…,Xn)的每一个分量Xi

(i=1,2,…,n)都是正态随机变量.（2）n维随机变量(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,…,Xn的任意线性组合服从一维正态分布.接下来，不作证明，给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质：说明：（3）若(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布，设Y1,Y2,…,Ym都是Xi

(i=1,2,…,n)的线性组合，则(Y1,Y2,…,Ym)服从m维正态分布（正态分布的线性变换不变性）.（4）

设(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分布，则“X1,X2,…,Xn相互独立”与“X1,X2,…,Xn两两不相关”是等价的.在概率统计中，也经常需要求多个随机变量的最大值和最小值的分布．设X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量，其分定理4：则Xmax与Xmin也是随机变量，它们的分布函数分别为布函数分别为.令由分布函数定义及独立性，先求Xmax分布函数证明：再求Xmin的分布函数，

(1)如果X1,X2,…,Xn是独立同分布的随机变量，记它们的分布函数为F

(x)

，则有(2)如果X1,X2,…,Xn是独立同分布的连续随机变量，记它们的概率密度函数为f

(x)

，则有注：设X1,X2,…,Xn相互独立，且均服从指数分布，参数分别为

，证明：仍服从指数分布．例3：证明：由定理4，Xmin的分布函数为设X1,X2,…,Xn相互独立，且均服从指数分布，参数分别为

，证明：仍服从指数分布．例3：证明：则Xmin的概率密度函数为即Xmin服从参数为的指数分布.小结1.主要概念：卷积公式，再生性，Xmax，Xmim；2.随机变量函数的分布.概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第三章多维随机变量及其分布第六节综合例题例1：设二维随机变量的联合概率密度函数为求关于X和Y的边缘概率密度函数，并判断独立性．解：先求关于X的边缘概率密度函数即例1：设二维随机变量的联合概率密度函数为求关于X和Y的边缘概率密度函数，并判断独立性．解：再求关于Y的边缘概率密度函数即例1：设二维随机变量的联合概率密度函数为求关于X和Y的边缘概率密度函数，并判断独立性．解：综上，显然有对于任意的所以随机变量X与Y相互独立.例2：设的联合概率密度函数为求:(1)X和Y的边缘概率密度;(2)解：(1)求X的