北京市海淀区2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套（含解析）

北京市海淀区2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．复数的虚部是（

）A． B． C．1 D．i【正确答案】C【分析】求出复数的代数形式，进而可得其虚部.【详解】，其虚部为.故选：C.2．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．6【正确答案】A【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式列方程得答案.【详解】，，，，解得.故选：A.3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】利用余弦定理求出，再求.【详解】在中，对于，利用余弦定理得.因为为三角形内角，所以.故选：C4．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】分别求出四个选项对应函数的最小正周期，判断对称性，即可判断.【详解】对于A.最小正周期为π，但是为对称轴，所以不是关于原点对称.故A错误；对于B.最小正周期为π，并且关于原点对称.故B正确；对于C：的最小正周期为.故C错误；对于D.最小正周期为π，不关于原点对称.故D错误.故选：B5．设，是两个不共线的非零向量，则“与共线”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】利用向量共线定理即可判断.【详解】“与共线”等价于.因为，是两个不共线的非零向量，所以，解得.所以“与共线”是“”的必要不充分条件.故选：B6．函数的部分图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】根据函数图象可得，即可求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得解.【详解】依题意可得，解得，又，所以，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，，所以，，又，所以，所以.故选：A7．在中，，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【正确答案】B【分析】利用三角公式得到，求出，即可判断.【详解】在中，因为，所以，即,展开，整理化简得.因为为三角形内角，所以，所以.因为为三角形内角，所以，所以为直角三角形.故选：B8．在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（

）A． B．4 C． D．6【正确答案】D【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.则，所以，.所以，所以（当且仅当时等号成立）.所以的最小值是6.故选：D二、多选题9．对于任意的两个向量，，，下列命题一定正确的是（

）A． B． C． D．【正确答案】ACD【分析】对四个选项一一验证：对于A：由交换律直接判断；对于B：由，而，直接判断；对于C：由向量加法的几何意义以及三角形法则即可判断；对于D：由数量积的定义和三角函数的有界性可以以判断.【详解】对于A：由交换律可知.故A正确；对于B：因为，而，所以不一定成立.故B错误；对于C：由向量加法的几何意义以及三角形法则可知：当向量，反向时，；当向量，不共线时，；当向量，同向时，.综上所述：恒成立.故C正确；对于D：由数量积的定义可得：，所以恒成立.故D正确.故选：ACD10．已知非零复数，则下列运算结果一定为实数的是（

）A． B． C． D．【正确答案】AD【分析】由复数的乘法和加、减运算对选项一一化简，即可得出答案.【详解】设复数（a，，），，，，对于A，，虚部为0，则一定为实数，故A正确；对于B，，虚部不为0，故一定不为实数，故B不正确；对于C，，若，则不一定为实数，故C不正确；对于D，，，故D正确.故选：AD.11．在中，，，E为AC上一点，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【正确答案】ABC【分析】先利用正弦定理和余弦定理求出，.不妨设，.对四个选项一一验证：对于A：直接判断；对于B：利用模长公式求出，即可判断；对于C：利用正弦定理分别表示出，.即可证明；对于D：利用余弦定理分别求出，.即可判断.【详解】在中，因为，所以，即.因为，所以由余弦定理得.不妨设，则.对于A.故A正确；对于B：因为，所以所以.故B正确；对于C：在中，由正弦定理得：，所以.同理可求.因为，所以.所以.因为，所以，即.而，所以.故C正确；对于D：因为，，所以在中，，，，由余弦定理得：.同理可求.所以不成立.故D错误.故选：ABC12．如图，单位圆O与x轴非负半轴交于点A，锐角的终边与单位圆交于点B，轴.设的面积为，与弦AB围成的弓形面积为，图中阴影部分面积为，则下列结论正确的是（

）A．任意锐角，都有 B．存在锐角，使得C．任意锐角，都有 D．存在锐角，使得【正确答案】AC【分析】先求出关于的表达式，作差，根据函数的单调性求解.【详解】由图可知：单位元的半径，，

，令，，当时，，当时，，是单调递增的，当时，是单调递减的，并且

，所以，当为锐角时，；A正确，B错误；令，，令，则，令，得，当时，单调递增，当时，单调递减，并且，，即是增函数，又，，C正确，D错误；故选：AC.三、填空题13．若向量，满足，，且与的夹角为，则_______.【正确答案】【分析】先通过条件求出，然后根据展开计算即可.【详解】由已知得，则.故答案为.14．函数在的零点个数为_______.【正确答案】4【分析】直接求出零点，即可判断.【详解】令，解得：，所以.因为，所以当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意.当或时，，不符合题意.综上所述：函数在的零点个数为4.故415．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为_______.【正确答案】【分析】利用正弦定理直接判断.【详解】要使三角形有两解，由正弦定理，只需，即，解得.故实数m的取值范围为.故16．在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则_______.【正确答案】【分析】先求出.设则.由，利用二倍角公式求出，根据数量积的定义直接求解.【详解】如图示，作出的外接圆O，设半径为R.由正弦定理得：,即，解得：，所以.设则.所以.因为O为的外心，所以,所以.同理：,.因为，所以，所以.由二倍角的余弦公式可得.所以.故答案为.向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．四、解答题17．已知复数，其中i是虚数单位，.(1)若z是纯虚数，求；(2)当时，求.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据纯虚数的实部为零，虚部不为零列方程可求出复数，再利用可得答案；（2）代入，然后通过复数的运算得到的代数形式，进而可得的模.【详解】（1）是纯虚数,，解得，，，；（2）当时，，，.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求角A的大小；(2)若，的面积为，求的周长.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）先将条件整理，然后利用正弦定理角化边，最后利用余弦定理求解；（2）先根据的面积得到的值，再结合（1）中得到的关系可得的值，则周长可求.【详解】（1），，，由正弦定理角化边得，，又，；（2）由已知得，，又，，，，的周长为.19．如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别在边BC和CD上，且，.(1)当时，用向量，表示；(2)求的取值范围.【正确答案】(1);(2).【分析】（1）利用向量的线性运算直接求得；（2）利用向量的运算得到，利用单调性求出取值范围.【详解】（1）根据题意，由向量的线性运算可知，当时，.（2）因为，，由向量的线性运算，可得.因为，所以，因为，所以20．已知函数，.(1)求函数的单调递增区间；(2)先将函数图像的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，得到函数.关于x的不等式对恒成立，求实数m的取值范围.【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）求出解析式，结合正弦函数的单调性即可求出；（2）利用换元法和分离参数法得到恒成立.研究的单调性，求出最小值，即可求解.【详解】（1）.要求函数的单调递增区间，只需,解得.所以函数的单调递增区间为.（2）先将函数图像的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到；再向右平移个单位，得到函数.令，当时，，所以.所以关于t的不等式对恒成立，所以恒成立.令.因为在均单增，所以在单增，所以当在最小，所以.所以实数m的取值范围为.21．沙坪坝区政府为了给市民打造宜居环境，现启动了“诗意田园，乡村旅游”项目的建设，其中一项目是计划对区内的水库和湖泊进行改造，发展乡村旅游.青木湖是位于沙坪坝区青木关镇的一个圆形湖泊，湖区山清水秀，负氧离子高，湖中还有一个小岛，为了让市民更好的欣赏湖泊景色，沙区政府决定在小岛上修一个观赏亭，并在湖中修两条步行栈道连接观赏亭和湖岸，如图所示，过观赏亭P修AC和BD两条步行栈道，其中BD为直径，且，，.(1)求AP，BP；(2)与此同时，沙区政府还规划了湖区游船项目，为尽量减少对生态环境的破环，沙区政府在A点、P点、D点以及劣弧上的M点处设立了游船停靠点，并规划游船路线为，求游船路线长度（即四边形APDM周长）的最大值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意在中，利用正弦定理解三角形；（2）根据题意在中，利用余弦定理结合基本不等式求的最大值.【详解】（1）在Rt中，，可得，由题意可得：，在中，，可得，由正弦定理，可得，故.（2）由（1）可得：，在中，由余弦定理，即，整理得，∵，当且仅当时，等号成立，则，整理得，即，可得故游船路线长度（即四边形APDM周长）的最大值为.22．如图，在等边中，，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且，，.(1)用k，表示DE，DF；(2)若为等腰直角三角形，求k的取值范围；(3)若，求面积的最小值.【正确答案】(1),.(2)(3)【分析】（1）分别利用正弦定理表示出DE，DF；（2）由得到，利用三角函数求出k的取值范围；（3）建立三角形面积的函数关系式，利用三角函数求出最小值.【详解】（1）由，，不妨设，则.在等边中，，所以.因为，所以，所以,所以.在中，，，，，由正弦定理得：，所以.同理可求：（2）要使为等腰直角三角形，只需.所以，整理得.因为，所以，所以.（3）由可得：，则.所以令，则，其中.所以，解得.所以当时，存在，使得，所以解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.北京市海淀区2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【正确答案】D【分析】A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；B，C，，不能作为平面内的所有向量的基底；D，与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.【详解】A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；B：因为，则，不能作为平面内的所有向量的基底；C：因为，则，不能作为平面内的所有向量的基底；D：因为，即与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.故选：D2．复数在复平面内对应的点不可能在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【正确答案】A【分析】先求出复数的代数形式，进而可得其在复平面内对应的点，观察可得点的位置.【详解】，复数在复平面内对应的点为，又，不可能成立，即复数在复平面内对应的点不可能在第四象限.故选：A.3．已知平面向量，满足，，，则（

）A．2 B．5 C．10 D．【正确答案】B【分析】先求出，再通过计算可得的值.【详解】，，，.故选：B.4．若函数满足，且当时，，则（

）A． B． C．1 D．【正确答案】D【分析】先利用求出函数的周期，利用周期性转化代入即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以函数的周期为，所以.又因为，所以，当时，，所以，所以，即.故选：D.5．在中，，，，为边上的高，若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】利用三角形面积结合余弦定理可求得，可得，再利用向量的线性运算表示出和比较，即可求得答案.【详解】由题意可知,为边上的高，故,由余弦定理得，故，所以,则，结合，可得，故选：C6．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（

）cm．（精确到0.1cm）A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7【正确答案】B【分析】根据题意得到函数的最小正周期为，结合余弦型函数的性质，列出方程，即可求解.【详解】因为线长为lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，，且取，又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，所以函数的最小正周期为，即，解得，即线长约为cm.故选：B.7．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及当时，，判断函数单调性，作出其大致图像，数形结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意是定义在R上的奇函数，故，当时，，此时在上单调递增，且过点，则当时，在上单调递增，且过点，作出函数的大致图像如图：则由可得或，解得或，即的解集为，故选：D8．如图，在等腰梯形ABCD中，下底BC长为2，底角C为，腰AB长为，为线段上的动点，设的最小值为，若关于a的方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据向量加法的几何意义以及向量数量积的运算律，可得出，推出.代入整理可得题意可转化为，即方程在上有两个不相等的实根.设，根据根的分布情况得出不等式组，求解不等式组，即可得出答案.【详解】因为，由题意，，，，设，，则，，所以，.当时，有最小值，所以.由题意知，，即方程在上有两个不相等的实根，设，所以有，即，解得.故选：C.二、多选题9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．则（

）A． B． C． D．【正确答案】AD【分析】根据正弦定理得到，A正确，，，B错误，根据余弦定理得到，C错误，计算面积得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，则，即，，，，故，，故，正确；对选项B：根据正弦定理：，即，，，故，则，错误；对选项C：根据余弦定理：，即，解得，或（舍去），错误；对选项D：，正确.故选：AD10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．C．曲线的对称轴为，D．将图象向左平移个单位后得到的图象【正确答案】ABC【分析】根据题意得到A正确，根据周期得到，根据得到，根据得到，B正确，计算对称轴得到C正确，根据平移法则得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：，正确；对选项B：，故，，且在的单调递减区间上，，则，，故，又，故，，正确；对选项C：，由，解得，，正确；对选项D：图像向左平移个单位得到：，错误.故选：ABC11．设，为复数，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则的最大值为C． D．【正确答案】ACD【分析】设，根据复数代数形式的除法运算及复数的概念判断A，根据复数的几何意义判断B，根据复数代数形式的乘法运算及复数的模判断C，根据复数的向量表示及向量的不等式，即可判断D.【详解】对于A：设，，、不同时为零，则，因为，所以，则，所以，故A正确；对于B，设，，由，则，即，在复平面内点表示以为圆心，为半径的圆，则，故B错误；对于C：设，，，则，所以，，所以，所以，故C正确；对于D：由确定向量，确定向量，结合向量不等式可得，即恒成立，所以D正确．故选：ACD12．已知函数在上单调，且满足，．若在有且仅有7个零点，则下列说法正确的是（

）A．B．C．与在上有且仅有4个公共点D．在上单调递增【正确答案】AC【分析】确定的对称中心为，对称轴为，得到，根据零点个数得到，，A正确，B错误，确定得到C正确，计算单调区间得到D错误，得到答案.【详解】在区间上单调，，，，故的对称中心为，且，则，故，且，故的对称轴为.从而，且，故，，在上有且仅有7个零点，故，即，故，，又，所以，对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，则，，有4个解，正确；对选项D：由得，，即在，上单调递增，故在上单调递增，在单调递减，错误.故选：AC三、填空题13．已知的共轭复数为，则____________．【正确答案】/【分析】直接代入复数计算即可.【详解】由已知得.故答案为.14．在平面直角坐标系中，角α以为始边，角α的终边过点，且，则____________．【正确答案】【分析】根据三角函数定义求得，再根据两角差的正切公式即可求得答案.【详解】由题意得角α的终边过点，故，故，故15．已知，，，则的最大值为____________．【正确答案】/【分析】将化为，继而将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.【详解】由已知，，，则，而，当且仅当时等号成立，故的最大值为.故.16．已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案.【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则,设点，则,故，故当，即P点坐标为时，取到最小值为，故方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值.四、解答题17．已知函数(1)求的最小正周期；(2)若在区间上的最小值为2，求在该区间上的最大值．【正确答案】(1)(2)5【分析】（1）先将函数变形为的形式，进而可得周期；（2）先利用正弦函数的性质，通过函数的最小值可得，进而可求最大值.【详解】（1）由已知得，的最小正周期为；（2）当时，，的最小值为，在该区间上的最大值为,当，即时可以取到.18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．(1)求A；(2)若的面积，求．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据二倍角的正弦和余弦公式化简可得，进而求解；（2）结合题意和三角形面积公式得到，然后利用余弦定理得到，最后结合正弦定理即可求解.【详解】（1）因为，由二倍角公式可得，，又因为，所以，则，所以.（2）由，得，则①，又，所以，②由①②可得：，将其代入②式可得：，由正弦定理可得：，则.19．如图，平行四边形的两条对角线相交于点C，点满足，，设，，且．(1)用，表示；(2)若，求．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求得答案；（2）根据得，结合，可推出，利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）由题意得；（2）因为，所以，即，结合，可得，故，因为，故.20．如图，在平面四边形中，，，．(1)若，求的面积；(2)若，求．【正确答案】(1)6(