辽宁省辽阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题【含答案解析】

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页辽宁省辽阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，若，则集合B可能为（

）A． B． C． D．2．命题“每一个四边形的对角线都互相垂直”的否定是（

）A．每一个四边形的对角线都不互相垂直B．存在一个四边形，它的对角线不垂直C．所有对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．存在一个四边形，它的对角线互相垂直3．函数的零点所在的区间为A． B． C． D．4．高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远两项比赛．已知参加100米短跑比赛的有15人，参加立定跳远比赛的有21人，则同时参加这两项比赛的有（

）A．3人 B．2人 C．6人 D．4人5．函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

6．设等腰三角形的腰长为x，底边长为y，且，则“的周长为16”是“其中一条边长为6”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（

）A． B． C． D．8．定义域为的函数满足，且当时，恒成立，设，，，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，10．若函数恰有三个零点，则a的值可能为（

）A．－1 B．6 C．1 D．211．“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．12．某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（

）A．5 B．6 C．7 D．8三、填空题13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为．四、双空题14．已知是定义在上的奇函数，则，．五、填空题15．设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是．16．已知是定义在上的单调函数，且，，则．六、问答题17．已知全集，集合，．(1)求，．(2)设，若，求t的取值范围．七、证明题18．（1）已知______，试比较M，N的大小．从下列两个条件中选择其中一个填入横线中，并解答问题．①，，②，．（2）若，证明：．19．已知函数．(1)求的解析式；(2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．八、应用题20．已知某污水处理厂的月处理成本y（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？(2)请写出该厂每月获利（万元）与月处理量x（万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，九、问答题21．已知．(1)求的最小值．(2)试问是否有最值？若有，求出对应的最值；若没有，请说明理由．十、证明题22．已知定义在上的函数满足，，．(1)试判断的奇偶性，并说明理由．(2)证明：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．B【分析】根据确定正确答案.【详解】A选项，，A选项错误.B选项，，B选项正确.C选项，，C选项错误.D选项，，D选项错误.故选：B2．B【分析】根据全称命题的否定分析判断即可.【详解】因为“每一个四边形的对角线都互相垂直”是全称命题，所以其否定为：存在一个四边形，它的对角线不垂直，故B正确，ACD错误.故选：B.3．C【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.【详解】，易知函数单调递增，，，,故函数在上有唯一零点.故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．C【分析】设同时参加这两项比赛的人数为，作出venn图，列出关系式，求解即可得出答案.【详解】设同时参加这两项比赛的人数为，由题意可作出venn图，

根据venn图可知，，解得.故选：C.5．B【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案.【详解】由已知，，则，故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；当时，，则，故AD项错误，应选B.又设，且，则，故，则有，即，故在上单调递减.综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致.故选：B.6．A【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案.【详解】若“的周长为16”，则，解得，所以“其中一条边长为6”.若“其中一条边长为6”，如，则，此时三角形的周长为，即无法得出“的周长为16”，所以“的周长为16”是“其中一条边长为6”充分不必要条件.故选：A7．D【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合.【详解】当时，不等式化为对恒成立；当，要使得不等式对恒成立，则，解得综上，a的取值集合为.故选：D.8．C【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】依题意，定义域为的函数满足，所以的图象关于直线对称，而时，恒成立，所以在区间上单调递增，，，，，所以，所以.故选：C9．AC【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.【详解】选项A，因为，且两函数定义域都是，故两函数是同一个函数，所以A正确；选项B，因为的定义域为，而的定义域为，故两函数不是同一个函数，所以B错误；选项C，，且定义域都为，故两函数是同一个函数，所以C正确；选项D，的定义域为，的定义域为，故两函数不是同一个函数，所以D错误.故选：AC.10．BCD【分析】根据函数解析式，在上有两个零点，在上有一个零点，则有，可得a可能的值.【详解】函数恰有三个零点，时，，函数有两个零点0和6，则时，有一个零点，所以，即，BCD选项都符合.故选：BCD11．ABD【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素，因为，则有：当时，；当时，；当时，；则的取值范围为，由，，，可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件；又因为与之间没有包含关系，可知是的既不充分也不必要条件；故选：ABD.12．BC【分析】根据题意列出不等式组得到且在上恒成立，结合对勾函数性质求出n的取值范围．【详解】依题意，则，由知：，且，由知：在上恒成立，因为在上递增，所以，即，综上，，.故选：BC13．【分析】根据的定义域即可求出的定义域.【详解】由题意，在函数中，定义域为，∴在中，，解得：，故答案为：.14．【分析】由定义区间的对称性可解得，再由奇函数定义求解参数即可.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，又因为是奇函数，则恒成立，即恒成立，化简得，因为该等式对恒成立，所以.故答案为：；.15．【分析】利用韦达定理化简可得，再解分式不等式可得答案.【详解】因为一元二次方程的两个实根为，（），则，而，解得，故答案为：16．14【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.【详解】，，是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，，解得，得，所以.故答案为：14.17．(1)，(2)【分析】（1）化简集合，由并集与补集运算可得；（2）化简集合，由包含关系建立不等关系即可解得t的取值范围.【详解】（1）因为，，所以，.（2）由题意得，又，因为，则，所以，解得，即的取值范围为.18．（1）选①：；选②：.（2）证明见解析.【分析】（1）利用作差法和求倒数的方法比较大小；（2）作差法证明不等式.【详解】（1）选①：，所以；选②：，，由，得，所以.（2）证明：，由，得，所以.19．(1)(2)单调递增，证明详见解析【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.【详解】（1），所以.（2），在上单调递增，证明如下：设，，其中，所以，所以，所以在上单调递增.20．(1)当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低(2)，最大值为万元【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正确答案.（2）先求得的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】（1）依题意，，解得，所以，，当且仅当时等号成立，所以当每月污水处理量为万吨时，每万吨的处理成本最低.（2）依题意，，当万吨时，取得最大值为万元.21．(1)(2)有最小值，无最大值，最小值为【分析】（1）利用乘“1”法，将原式变形为，再将括号内的式子相乘展开，结合基本不等式即可求得最小值.（2）先将原式变形，再结合乘“1”法求最值即可.【详解】（1）因为