《高等数学 上册》 课件 王娜 102 数列的极限

第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、小结、作业1/28“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、数列极限的定义2/28正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积3/28例如4/28

例1（1）a,aq,aq2,aq3,…,aqn-1,….

其中a,q为常数且q0。一般项公式为xn

=aq

n-1。此数列简记为{aqn-1}或{aqn-1}。（2）（3）5/28在几何上一个数列可看成实数轴上的一个点列，也可看成实数轴上的一个动点注：2.数列可看成是以自然数为自变量的函数：xn

=f(n).6/287/28数列极限的直观定义

对{xn}:x1,x2,x3,…,xn

,…

若随着n的无限增大(记作

n

)，有xn无限接近某个定数

a，(允许某些xn甚至全部xn等于a)，则称{xn}有极限(为a)或收敛(于a)，记作:

xn=a

或

xna(n)8/28例2

讨论{

}的极限解

因为xn==1+所以xn1(n)，即xn=1。问题:

怎样用数学语言来精确地刻划数列极限的概念，即表达：随着项数n的无限增大，有项xn无限接近(或等于)a？9/28随着n

，有xn无限接近(或等于)常数a，也就是|xn-a|无限接近(或等于)0

任给定|xn-a|的上界，不论它有多么小，只要n足够大（n>某个N），总可以使|xn-a|<

。

于是有下面数列极限的定义（用“

—N”语言表达）10/28如果数列没有极限,就说数列是发散的.11/28注意：1）

（>0）必须可以任意小。

2）N与

有关。

3）若N(

)存在，则必不唯一。

4）几何解释：12/28

5)收敛性和极限值都与数列中有限个项无关。可以任意改动、增删数列中有限个项，不影响其收敛性和极限值。

数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：13/28例3证所以,14/28特别注意:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定

说明相应的N存在,但不必求出最小的N.15/28例4

对xn=，证明。证

任给定

>0，因为|xn-0|=而所以可取N()=max{[],1}。证毕。若由可取N()=max{[-1],1}。证毕。16/28例5证所以,说明:

常数列的极限等于同一常数.17/28例6证18/28例7证19/28二、收敛数列的性质1、有界性例如,有界；无界。20/28定理1

收敛的数列必定有界.证由定义,推论

无界数列必定发散.21/28例8

{n+(-1)nn}:0,4,0,8,0,12,…是无界的,注意收敛有界;发散

无界.收敛有界;发散

无界.

{n+(-1)nn}发散.

22/28例9证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.{xn}发散.证毕。23/282、唯一性定理2

每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.证毕。24/283、子数列的收敛性注意：例如，25/28定理3数列{xn}收敛于a

{xn}的任一子数列都收敛于a．证“”“”易证(略)。证毕。26/28推论

若{xn}有发散子列或有两个收敛于不同极限的子列

{xn}发散.例10(1){xn}={(-1)n}有子列{x2n}={1}1，{x2n-1}={-1}-1

，

{xn}={n+(-1)nn}有子列{x2n}={4n}无界,

{x2n}发散.

{xn}发散.

{(-1)n}发散.27/28三、小结1.数列:定义，几何表示，主要研究其变化规律。2.数列极限：直观描述，精确定义，几何意义。3.收敛数列的性质:

有界性，唯一性，数列与子数列的收敛性的关系。28/28作业习题1-22;3(3);4;5;6练习题1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、数列极限的定义“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体