专题05数列（重点）（解析版）

专题05数列（重点）一、单选题1．下列有关数列的说法正确的是（

）A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐项判定，即可求解.【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选：D.2．已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（

）A．13 B． C．3或 D．或13【答案】D【分析】根据等差中项得到，根据等比中项得到，计算得到答案.【解析】a是4与6的等差中项，故，b是与的等比中项，则，则，或.故选：D3．已知等比数列的前项和为，则实数的值是（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】先求出，由解得即可；【解析】等比数列的前项和为，当时，可得，可得，当时，，则所以因为为等比数列，所以，即解得，经检验符合题意.故选：C．4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【答案】C【分析】由题目条件及等差数列前n项和公式列出方程，可得答案.【解析】设{an}首项为，公差为d.因S3＝6，S4＝12，则.则.故选：C5．已知等比数列的前项和为，若，公比，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等比中项的性质可得，解方程即可得数列中的项，进而可得首项与公比，求得.【解析】由等比中项的性质得，又，解得或，当时，或（舍），当时，（舍），所以，，此时，所以，故选：D.6．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（

）A．1项 B．k项 C．项 D．项【答案】D【分析】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可【解析】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选：D7．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造等差数列，结合等差数列的通项公式，求得，再求结果即可.【解析】根据题意可得：，则，故数列是首项为，公差为的等差数列，则，，故.故选：B.8．若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【解析】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：D.9．已知数列的前n项和为，，且，则下列说法中错误的是（

）A． B．C．是等比数列 D．是等比数列【答案】C【分析】根据已知条件，令代入，求得，判断A；结合数列前n项和与的关系式，求出时，结合，判断C,求出，即可判断B;利用可得，构造出，即可判断D．【解析】由题意数列的前项和为，，且，则，即，所以即选项A正确；因为①，∴当时，②，①-②可得，，即，当时，，不满足，故数列不是等比数列，故C错误，由时，可得，则，故，故B正确；由得：所以令，则所以所以，即，故是首项为，公比为4的等比数列，D正确，故选：C.10．图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME­7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，由此数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由几何关系得，即可求出等差数列的通项，从而求得的通项.【解析】由题意知，，且都是直角三角形，所以，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，由.故选：B．11．已知数列和首项均为1，且，，数列的前n项和为，且满足，则（

）A．2019 B． C．4037 D．【答案】D【分析】先利用条件得到，进而得到，代入，利用与的关系推得是等差数列，进而求出，代入即可求得结果.【解析】解：，，，另外：，可得，.，，即，，又，数列是首项为1，公差为2的等差数列，，故，.故选：D.12．已知数列满足，，数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意累加法求得，再根据裂项相消求和解决即可.【解析】当，，所以，解得：，当n=1适合因为，所以，又因为是单调递增数列，所以有，对任意的正整数，都有，所以，故选：C二、多选题13．已知函数，设数列的通项公式为，则此数列（

）A．图象是二次函数的图象B．是递减数列C．从第3项往后各项均为负数D．有两项为1【答案】BC【分析】根据题意作出数列的图象，利用图象分析判断即可【解析】由题意得，由数列与函数的关系可知，数列的图象是分布在二次函数图象上的离散的点，如图所示，故A错，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，只有第2项为1，从第3项往后各项为负数项，所BC正确，D错误，故选：BC14．设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的有（

）A． B．C．数列单调递减 D．对任意，有【答案】BCD【分析】由可得，而，从而可判断ABCD.【解析】，，，B正确；而，故无法判断的正负，A错误；，数列单调递减，C正确；当时，有最大值，即，D正确.故选：BCD15．已知等比数列各项均为正数，满足，，记等比数列的前n项的积为，则当取得最大值时，（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】CD【分析】利用等比数列的性质求出，判断数列的单调性，进而即得.【解析】因为，由等比数列的性质可得，所以，因为，所以，因为，即，所以，∴，因为，所以等比数列为递减数列，所以当时，，∴当或时，取得最大值.故选：CD16．已知数列满足，，记数列的前n项和为，对恒成立，则下列说法正确的有（

）A．若，则数列为递减数列B．若，则数列为递增数列C．若a＝3，则的可能取值为D．若a＝3，则【答案】BCD【分析】对于A，取特殊情况，可得答案；对于B，构造函数，作图，利用数形结合思想，可得答案；对于C、D，同B，可得数列的取值方程，整理求得数列相邻两项的大小关系，利用放缩法，解得裂项相消和等比数列求和，可得答案.【解析】对于A，令，解得，即数列的不动点为2，所以当a＝2时，，此时为常数列，A错误；对于B，作出函数与函数y＝x的图像如图：由图可知B正确；对于C，作出函数与函数y＝x的图像如图：由图可知：，∴，∴，即，又∵，∴，一方面，由得，∴，，∴∵，且当n→＋∞，，∴，∵，∴另一方面，由，，得，，又∵，，，且，∴，所以CD正确.故选：BCD.三、填空题17．数列满足，，则______．【答案】【分析】利用累乘法求得正确答案.【解析】，也符合上式，所以.故答案为：18．已知为等差数列，，，则_______．【答案】【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可.【解析】根据题意，可设等差数列的公差为，又由，则，即，，则，即，则公差，则，所以．故答案为：19．在正项等比数列中，若，则_________.【答案】4【分析】利用等比数列的性质结合对数的运算性质可求得结果.【解析】因为正项等比数列中，，所以，所以，故答案为：420．已知等比数列的公比为q，且，能使不等式成立最大正整数_______________．【答案】【分析】根据已知求得的表达式，由此求得的取值范围，根据成立列不等式，化简求得的取值范围，从而求得最大正整数.【解析】由已知，结合知，解得，由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列.要使成立则，即，将代入整理得：又，可知，故最大正整数.故答案为：四、解答题21．已知数列满足：(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前项的和．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据等差数列的定义，结合已知条件，即可容易证明；（2）根据（1）中所证即可求得，结合等比数列的前项和以及等差数列的前项和即可求得结果.【解析】（1），故可得，故数列为首项，公差为的等差数列.（2）根据（1）中所求，故可得，故；故.故数列的前项和为.22．已知数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式及的表达式；(2)设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据结合累加法整理可得，再利用等差数列的前项和公式求；（2）利用裂项相消法运算整理.【解析】（1），，两式相减得，即，∴，则，∴，…，，采用累加法可得，则，即，当时，，符合上式，所以，故数列为等差数列，则.（2），所以，所以.23．在数列中，，.(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明即可；（2）根据等比数列、等差数列前项和公式分组进行求和即可.【解析】（1）由已知得，，即，又数列是公比为4的等比数列；（2）由（1）知，

.24．已知数列中，，，.设.(1)证明：数列是等比数列；(2)设数列的前项的和为，求.(3)设，设数列的前项和，求证：.【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）由，变形为，根据，代入即可证明结论.（2）由（1）可得，利用时，，可得，利用求和公式即可得出数列的前项的和为.（3），利用裂项求和与数列的单调性即可得出结论.【解析】（1），，，，数列是等比数列，首项为1，公比为2.（2）由（1）可得，时，，时也成立.，，数列是等比数列，首项为1，公比为2.数列的前项的和为.（3），数列的前项和，.25．已知数列满足2，．(1)求，并求数列的通项公式；(2)若记为满足不等式的正整数的个数，求数列的前n项和为，求关于n的不等式的最大正整数解．【答案】(1)，，，(2)，8【分析】（1）改写递推公式为，用倒数法先求出的通项公式，继而求出数列的通项公式；（2）展开计算出不等式，得出k的取值范围，写出的通项公式，再用错位相减法求出即可.【解析】（1）因为，所以由已知递推式可求得：，，．因为，所以，所以且，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，则，所以．（2）当时，，所以，所以这样k有个，即，所以，则，，两式相减得：，所以，因为为递增数列，又，，所以，所以关于n的不等式的最大正整数解为8．26．已知数列的前n项和公式为．(1)求证：数列是等比数列；(2)令，求数列的前n项和；(3)设，求的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用给定的递推公式，结合与的关系推理计算，即可判断作答.（2）由（1）求出，再分奇偶并借助分组求和法求解作答.（3）由（1）求出，判断的单调性即可计算作答.（1）数列的前n项和，，则当时，，即，当时，，解得，所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知，，，，当n为偶数时，，于是得，当n为奇数时，，所以.（3）由（1）知，，则，，当时，，则，当时，，即，有，因此，当时，数列单调递减，当时，，当时，，则，所以的最大值是．【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.27．设数列，的项数相同，对任意不相等的正整数，都有，则称数列，成同序（反序）．(1)若，，且，成反序，求的取值范围；(2)记等差数列的前项和为，公差为，求证：和同序的充要条件是；(3)若数列的通项公式为其前项的和为，令，研究，是成同序，反序，还是其它情况？请说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析(3)数列，成同序，理由见解析【分析】（1）设，，，由题意，求解即可；（2）对任意，，，则，由于的最小值是，按充分性，必要性证明即可；（3）根据的单调性，当时，因为，均为递增数列，所以，，因而，成同序，同理当时，因为，，均为递减数列，因而，