第15 届中环杯决赛试题解析（五年级）

第15届中环杯决赛试题解析（五年级）一、填空题A（本大题共8小题，每题6分，共48分）：3161431. 91131

5 7 .2015 1115 7【答案】2【解答】91131

3161435 72015 1115 73131319931 5 72015 1115 731111130

5 7 51331 1115 723123120道。若两人收到的题目数量之比为43，则小明回家需要完成 道题目。【答案】80【解答】设小明收到了4x道题目，则小王收到了3x道题目，根据题意4x3x20x20，所以小明需要完成4x42080道题目。如图，正八边形的边长为1，将其进行下图的切割，切割后灰色部分面积与斜线部面积之差为 大减小）。【答案】14【解答】如下图，A,B与C,D抵消，剩下的中间的正方形可以切割为四个等腰直角三角形，其中三个与灰色部分抵消，留下的一个面积就是14【说明】考察等腰直角三角形用斜边表示的面积公式DDBCA在一组英文字母串中，第一个字母串A、第二个字母串a2B，之后每个字母串n3都是由an1后面跟着an2的反转构成的。比如（我们用表示反转，就是从右往左读这个字母串得到的结果，比如、），，，。那么，这组字母串的前个中，有 个是回文字母串（所谓的回文字母串，就是指从左往右读与从右左读相同，比如、）【答案】667【解答】通过尝试，我们发现只有a3、a6、a9、、a999不是回文字母串，别的都是，那么可以直接得到答案：一共只有333个非回文字母串，剩下的1000333667个都是回文字母串。接下来严格证明一下（考场上没有时间的话，这部分可以忽略）：假设anPan1Q，那么an2QPan3QPQP两边Q与Q可以保证其回文特性，最后an3是否为回文字母串P的情况。如果anP为回文字母串，那么an3QPQ也是回文字母串；如果anP不是回文字母串，那么an3QPQ也不是回文字母串。考虑到、a2都是回文字母串，所以a4a7,与,a998都是回文字母串。而BA不是回文字母串，所以a6,a999不是回文字母串。至此，已经证明了前面的猜测。如下左图，七个字母放置在圆中，每次将包含中心圆的三个圆（等边三角形）顺时针旋转BD进行旋转，从而B出现在原D的位置（用BD表示这个旋转），DA，AB。也可以将D,E,F进行旋转（DE，EF，FD），但是不能将D,G或者C,B,E进行旋转。经过若干次操作后，得到下右图。那么，最少需要操作 次。CACAFDBEGEFBCADG【答案】3【解答】由于除了G以外，外围的5个圆中的字母位置都变了，而每次操作只能改变外围2个圆中的字母位置，所以至少需要3次。如下图，第一次旋转FDE二次旋转BF，第三次旋转E,CBCCACACFEFFDBEFBEBABCAEGDGD GDGk S表示一个首项为k，公差为k2的等差数列，比如S为3、12、21、k 是Sk中的一项，满足条件的k之和为 。【答案】326k【解答】由于S的首项为k，公差为k2，所以其中的某一项可以表示为kkkmk2k1。如果是S中的一项，则k1k|。由于k217，满足条件的k1、2、17、（注意，当kk1；当k306时，m0），所以这些数之和为1217306326下图的三角形网格中，有 条直线能正好经过其中的两个点【答案】6019【解答】首先，这里一共有19个点，所以会产生C2171条直线。然后我们将其中19通过超过2个点的直线数量减去，就得到最后的答案了。3315条，如下图所示，一共导致15C2条直线不满足要求3446条，如下图所示，一共导致6C2条直线不满足要求4553条，如下图所示，一共导致3C2条直线不满足要求53 4 综上所述，本题的答案为17115C26C23C21714536303 4 如图，直角ABAC4I上，且都是正方形。则的面积为 。IDIDAHEBCFGMKL【答案】110【解答】如下图，进行切割后，得到弦图ANLO，所以得到四个相同的三角形：、、、1346，然后三个正方形的面积之和2为9162550，三个矩形的面积均为3412，所以总面积为4650123245036110IDIDAHEBCONFGMKL二、填空题B（本大题共4小题，每题8分，共32分）：计算：444744422525729629234232 .【答案】7615

0494029202920909029290292【解答】由于8474827282728787827258272244222222222223222所以04948474244029258257296295234232902925827232220292582729625234227222722200292222722220110112117567615B两地同时出发（A出发）4B之间相距S千米，其中S为正整数，并且S8个因数。第一次两人在C处碰头（注意：这里的碰头可以指迎面相遇，也可以指背后追到）DADD处附近的村子问老乡借摩托DE处（A地）AE的长14人同时达到A地。那么，A、B两地相距千米。【答案】105【解答】由于甲的速度是乙的4倍，所以第一次碰头时，AC4S。根据题意，4S5 5为整数，所以5|S；还是由于甲的速度是乙的4倍，如果乙走了S千米，甲要走4S千米，已经两个来回了，所以第二次碰头时，甲应该是追到乙。设乙走了x千米，则甲走了4x千米，得到方程4xxSxS，此时ADSS2S千米。根据题意，2S为整数，所以3 3 3 33|S；142S分31413DA地。所以，我们推出AE2S11S。根据题意，1S为整数，所以21|S。3 14 21 215|S3|3|21|S

5|S3|S7|

。由于S有8个因数，所以S357105千米。 对任意正整数n，定义rmn为mn的余数（比如r8,3表示83的余数，所以r8,32）。那么满足方程rm,1rm,2rm,3rm,104的最小正整数解为 .【答案】120【解答】如果m1mod2，那么m4、6、8、100，此时的余4了，所以m0mod2480、24（64了）。843，5，7，9，10的公倍数，由于3,5,7,9,10630，为了满足除以8的余数为4，这个数至少为63021260；如果这个数除以8的余数为2，则它除以4的余数也为2（4个余数都用完了），所以它还是必须为3，5，7，9，10的公倍数，这个数至少为6303189080，则m0mod2、m0mod4、m0mod8。我们要进一步分析。如果m306，90。由于m为偶数，所以m6的余数至少为2。为了使得余数之和为4，则只能m1mod3是m2mod6，但是m2mod6m2mod3，矛盾，所以这个数一定是3的倍m1mod9数。由于这是一个偶数，而且它又是3的倍数，所以必定是6的倍数，所以m0d6m0d3m0d、m0d2、mm0d6m0mod4、mmod5、m0mod6、mmod7、m0mod8、mmod9、mmod10（表示还不能确定的余数）。接下来对m9的余数进行讨论：（3.1）如果m3mod9，只剩下1个余数了。考虑到md0md5md5mmd0md5m1mod7、m3mod9、m0mod10，此时m120；m0d（3.2）如果m0d94个余数。由于mm0d8,972的倍数了。显然72不满足我们的要求，而722已经超过120了；综上所述，m最小为1206个正整数a,b,cd,e,f按字母顺序排成一排，构成一个数列，其中a1。如果某个正整数大于11的数肯定出现在它的左边。比如d1，则a,bc中必有一个值为d1。举例：1，1，2，1，3，2满足要求；1，2，3，1，4，1满足求；1，2，2，4，3，2不满足要求。满足要求的不同排列有 。【答案】203【解答】我们用表示满足题目要求的n个自然数构成的数列个数，显然1，接下来计算，这个数列由两个正整数构成。由于a1，那么b12，如果a1，那么这个数列中的数最大为1，这样的数列有1个；如果a1，那么这个b1 b2数列中的数最大为2，这样的数列有1个。我们用下面的写法表示计数：1 1 1 1 1 2接下来计算b3，这个数列由三个正整数构成。（1）为了使得数列中的数最大为1，则前面的数只能都为1，所以只有1个。（2）为了使得数列中的数最大为2，有两种可能：前面的数都是1，最后一个数填2，这样的数列有1个，这个1就是前面b2中的第一个数字；前面的数已经到达2了，那么最后一个数可以是1，可以是2，所以有12个。其中1就是b2中的第二个数字，2表示最后一个数字有两种写法；（3）为了使得数列中的数最大为3，则前面两个数构成的数列必须到达最大为2的情况，这样的数列有1个，这个1就是前面b2中的第二个数字。我们用下面的写法表示计数：

b31 3 1 3 1 数列中的数最大1 数列中的数最大为2 数列中的数最大31 112 1 数列中的数最大1 数列中的数最大为2 数列中的数最大3利用相同的推导方法，我们得到下面的结果：1 1 132 313 1 数列中的数最大1 数列中的数最大为2 数列中的数最大3 数列中的数最大为41 1 7 6 1 数列中的数最大1 数列中的数最大为2 数列中的数最大3 数列中的数最大为4b51172763614111525101b6111521525325104101511319065151203三、动手动脑题（本大题共2小题，每题10分，共20分）：1，2，3，4，5，6，7，984个两位质数（用一次）4个质数有多少种不同的可能？【答案】4【解答】容易知道2、4、5、6只能作为十位数，设这四个两位质数为2a、4b、5c、6d。剩下的四个数字为1、3、7、9，简单分析一下得a7b9c7，cd3,9。由于a7ac只能取3、9，剩下的1、7要分给bd，一共有22c可能（第1个2表示a3或者a9，第2个2表示b1或者b7）c9

c

d7

d1边上有一块奶酪，其位置在最靠近点C的四等分点AD上有三个透视镜、、AD四等分。有一只疑心病很AB上爬行（AB）米。当老鼠，某个透镜，奶酪在一条这样就可以保证在它还没有爬到前，这块奶酪没有被别的老鼠吃掉。所以它第1分钟往前爬80米，第2分钟往回退20米，第3分钟往前爬80米，第4分钟往回退20米。，依次类推。当这只老鼠爬到点B后，它直接沿着BC冲过去吃奶酪。问：老鼠在AB段上一共可以看到多少次奶酪。W1W1W2W3奶酪B D C【答案】5【解答】本题的关键就是要求出哪几个点可以看到奶酪。设奶酪的位置为E（如下图），由于AEAW33，所以GE//BC，从而推出AG33。由于AB400米，所AC AD 4 3

AB 4以AG3300米。本题的难点就在于如何求出AG1,AG2的长度。G1G1G2W1W2G3W3EB D C我们先来求AG2，这里提供两种思路：思路一：如下图，延长G2E与BC延长线交于点H。ADC被W2EH所截，所以AW2DHCE11DH11DH3。设CHa，则DC2a，所以D3 BDDC2a。而ABD被G2W2H所截，所以AG2BHDW21AG2511AG23AG23。由于AB400米，所以BA BAG2150米

B

8G2G2W2EB D C H思路二：如下图，作EI//AK//BC，则AJAE3。设AD4k，则AJ3k。由于AD AC 42 W为AD