陕西省榆林市府、靖、绥、横、定五校2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题

2023年秋季学期高二期中考试试题数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，黑水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．以为圆心，且经过点的圆的方程是（）A． B．C． D．2．若，，则（）A． B． C．22 D．293．已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是（）A． B． C． D．4．在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为（）A． B． C． D．455．已知是空间的一个基底，，，若，则（）A． B．0 C．5 D．6．6．已知圆经过点，，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段（为坐标原点）长度的最大值为（）A． B． C．10 D．7．在四棱柱中，四边形是正方形，，，，则的长为（）A． B．7 C．6 D．8．已知圆和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范目是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（）A． B．C． D．10．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，11．已知圆和圆相交于，两点，则下列说法正确的是（）A．B．直线的方程为C．线段的长为D．到直线的距离与到直线的距离之比为12．如图，在长方体中，，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A．平面B．平面C．异面直线和所成角的余弦值为D．若为线段上的动点，则点到平面的距离不是定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线的倾斜角为__________．14．已知是平面的一个法向岳，点，在平面内，则_________．15．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为_______．16．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知三条直线，和．（1）若，求实数的值；（2）若三条直线相交于一点，求实数的值．18．（本小题满分12分）在空间直角坐标系中，已知点，，，设，．（1）若与互相垂直，求的值；（2）求点到直线的距离．19．（本小题满分12分）已知，，，圆是的外接圆．（1）求圆的方程；（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．20．（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面是正方形，，分别在棱，上且，．（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）已知曲线C上任意一点到点的距离与到点的距离之比为．（1）求曲线的轨迹方程；（2）过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，若圆过，，三点，证明圆恒过定点，并求出所有定点的坐标．22．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，为棱的中点．（1）求证：；（2）棱（除两端点外）上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．2023年秋季学期高二期中考试试题·数学参考答案、提示及评分细则1．B由题意知，圆心是，圆的半径，所以圆的方程为．故选B．2．A由，，得，，所以．故选A．3．D由直线的两点式方程，得直线的方程为，即，所以点，，都在直线上，点不在直线上．故选D．4．B由，知，所以梯形的高即为直线和间的距离，所以梯形的面积为．故选B．5．D，因为，所以存在实数，使得，所以，所以解得所以．故选D．6．A线段中点的坐标为，，所以线段的中垂线的斜率为，所以线段，，．故选A．7．D由题意知，所以，所以，即的长为．故选D．8．C设，由，得，即点在圆上，圆心为，半径．圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点，所以，解得，即的取值范围是．故选C．9．BC当截距为0时，过点和原点，所以的方程为，即；当截距不为0时，设的方程为，由过点，得，解得，所以的方程为．故选BC．10．AB因为，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故A正确；，，是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；因为，所以，，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；因为，所以，，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误．故选AB．11．ABC对于A项，若两个圆相交，则圆心，所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A正确；对于B项，因为圆和圆相交于，两点，所以两圆相减得到，即，故B正确；对于C项，圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以，故C正确；对于D项，因为圆化为标准方程是，圆心到直线的距离为，所以到直线的距离与到直线的距离之比为，故D错误．故选ABC．12．ACD以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，对于，因为，，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，，，，设平面的法向量为，则即令，则，，所以平面的一个法向量为，因为与不平行，所以平面不成立，故B错误；对于C，，，设异面直线和所成的角为，则，故C正确；对于D，设，其中，所以，又平面的一个法向量为，所以点到平面的距离，不是定值，故D正确．故选ACD．13．由题意得该直线的斜率为，故其倾斜角为．14．9由，，得，因为是平面的一个法向量，点，在平面内，所以，所以，解得．15．2由题意知直线过定点，当直线和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，最小，此时．根据弦长公式得的最小值为．16．由题可知，在的同侧，设点关于直线的对称点为，则解得即．将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，所以．17．解：（1）因为，且，所以，解得．经检验，时，．（2）由解得即与的交点为，因为三条直线相交于一点，所以点在上，所以，解得．18．解：（1）由题意知，，所以，．又与互相垂直，所以，解得．（2）由（1）知，，所以，所以点到直线的距离．19．解：（1）设圆的一般方程为，因为圆过，，三点，所以解得所以圆的一般式方程为．（2）由（1）可知圆心为，半径，又被圆截得的弦长为6，所以由垂径定理可得圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，过点，所以的方程为，圆心到直线的距离，故满足要求．当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，又过点，所以直线的方程为，由点到直线的距离公式可得，解得，直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．20．（1）证明：如图，在棱上取点，使得，连接，，因为，所以且，由正方形，，得且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：若，则可设，所以．以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，，则，，，设平面的法向量为，则由得令，得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．21．（1）解：设曲线上一点坐标为，由已知得，化简可得，即曲线的轨迹方程为．（2）证明：由（1）知曲线是以为圆心，半径为的圆，过直线上一点向曲线作切线，切点分别为，，则，，所以，，，四点共圆，即圆为的外接圆，圆心为的中点，半径为．设，则，的中点为，，所以圆的方程为，即．将变形，得，所以解得或所以圆恒过定点和．22．（1）证明：取棱的中点，连接，．因为四边形是菱形，所以，又，所以为等边三角形，所以．因为四边形为正方形且，分别是，的中点，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解：因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面．以为