2023-2024学年八年级数学上册 专题13-2 将军饮马模型分析

PAGE1第十三章专题2将军饮马模型1将军饮马如下图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上取一点P，使得PA+PB最小.作法作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B与直线l交于点P.简证PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B，因为P'A'所以点P为所求点.2变形模型（1）如下图，点A，B在直线l的异侧，在直线l上取一点P，使得PA+PB最小.直接连接AB，交直线l于点P，此时PA+PB最小.（2）如下图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上做点A，B，使得∆PAB的周长最小.作点P关于OM，ON的对称点P1,P2,连接P1P2，交OM，ON于点A（3）如下图，点P，Q是∠MON内的两点，分别在OM，ON上做点A，B，使得四边形PAQB的周长最小.作点P关于OM的对称点P'，作点Q关于ON的对称点Q'，连接P'Q'，交OM，ON于点A，B，此时四边形PAQB的周长最小.【题型1】将军饮马模型【典题1】如图，A，B两个村庄独自从河流l上安装了两条灌溉管道AD，BE，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．某水务局准备为两村庄在河流l上重新安装一台大型的抽水设备灌溉农田．通过测量，确定在河流l的点P处安装抽水设备，则到两个村庄铺设的管道AP+BP的长度最短，此时测得∠PBE＝30°，DE＝150米，则AP+BP的最小值为()A．180米 B．210米 C．240米 D．300米解析延长AD到点F，使FD＝AD，连接FP，∵AD⊥l，∴点F与点A关于直线l对称，∴FP＝AP，∴AP+BP＝FP+BP，∵AP+BP最短，∴FP+BP最短，∴F、P、B三点在同一直线上，∵BE⊥l，∴AD∥BE，∠ADP＝∠BEP＝90°，∴∠A＝∠F＝∠PBE＝30°，∴AP＝2PD，BP＝2PE，∴AP+BP＝2(PD+PE)＝2DE＝2×150＝300(米)，∴AP+BP的最小值为300米，故选：D．【典题2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为()A．152 B．5 C．3 D．解析在AB上取一点G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，则最小值时CG垂直AB时，CG的长度，CG＝125故选：D．【典题3】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为()A．10 B．8 C．7 D．9解析作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB于点F，交CD于点P，连接PE，∴PE＝PE'，∴EP+FP＝PE'+PF≥E'F，此时EP+FP的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵E'F⊥AB，∴∠FE'B＝30°，∴BE'＝2BF＝2×5＝10，∵BE＝4，CE＝CE'，∴10＝2CE+BE＝2CE+4，∴CE＝3，∴BC＝BE+CE＝4+3＝7，故选：C．【巩固练习】1.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是()A．13 B．14 C．15 D．13.5答案A解析∵直线m垂直平分BC，∴B、C关于直线m对称，设直线m交AB于D，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13．故选：A．2.如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值是()A．11 B．13 C．18 D．24答案B解析连接AM，当A、M、D时，此时AD⊥BC，△CDM的周长最小，∵△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，∴AD＝10，∴△CDM周长的最小值是：10+3＝13，故选：B．3.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为()A．15° B．22.5° C．30° D．45°答案C解析过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝12∠ACB故选：C．4.如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是24，E为腰AB的垂直平分线MN上一动点．点D为BC的中点，则△BDE的周长的最小值为.答案11解析连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴AD的长为BE+ED的最小值，∴△BDE的周长最短＝(BE+ED)最小+BD=AD+1故选：D．5.如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A'B'C，P为线段A'C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB答案4解析如图，连接B'P，∵△ABC与△A'B'∴△A'∴A'B＝AB＝2，∠A'CB'＝60°，∴∠在△B'CPB'C＝AC＝2，∠B'CP＝∠ACP＝60∘，∴△∴B∴AP+PB＝B由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点P与点C重合，即点B，P，B'共线时，B′P+PB取得最小值，最小值为BB'＝BC+B'C＝2+2＝4，即AP+PB的最小值为4．故选：A．6.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．(1)说明：AE＝CE＝BE；(2)若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．答案(1)略(2)12解析(1)∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，∴DF垂直平分线段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE．(2)连接PA，PB，PC．∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6．∴AB＝12，∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PB+PC＝PB+PA，∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即P，B，A共线时最小，∴当点P与点E共点时，PB+PC的值最小，最小值为12．【题型2】将军饮马的变形模型【典题1】如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是()A．120° B．60° C．30° D．90°解析分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB，∴等腰△OP1P2中，∠O∴∠=180故选：B．【典题2】如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为()A．72° B．36° C．108° D．38°解析作A关于BC和CD的对称点A'，A''，连接A'A''，交BC于M，交CD于N，则A'A∵∠DAB＝108°，∴∠HAA′＝72°，∴∠∵∠MA∴∠=2×72∴∠MAN＝36°，故选：B．【巩固练习】1.已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是()A．40° B．100° C．140° D．50°答案B解析分别作点P关于OM、ON的对称点P'、P''，连接OP',OP''、P'P''，P'P''交OM、ON由轴对称性质可得，OP∴∠∴∠又∵∠∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB=5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是()A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6答案C解析如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，DN，DM，EN，FM．∵∠MCA＝∠DCA，∠BCD＝∠BCN，∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠DCN+∠DCM＝180°，∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF＝FM+EF+EN，∵FM+EF+EN≥MN，∴当F、E、M、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值＝2CD，∵CD⊥AB，∴1∴CD=3×4∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C．3.如图，△ABD是边长为6的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC＝∠ABC＝90°，则△CEF周长的最小值为．答案12解析如图所示，作点C关于AD的对称点G，作点C关于AB的对称点H，连接GE，AC，HF，DG，BH，则DG＝DC，BC＝BH，∵AD⊥CD，AB⊥BC，∴AD垂直平分CG，AB垂直平分HC，∴CE＝GE，CF＝HF，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AD＝AB，AC＝AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACB(HL)，∴CD＝CB，∴CG＝CH，∴∠G＝∠H＝30°，∴∠DCE＝∠BCF＝30°，∴∠CEF＝∠CFE＝60°＝∠ECF，∴△CEF是等边三角形，∴AE＝CE＝2DE＝4，∴△CEF周长＝CE+CF+EF＝4+4+4＝12．故答案为：12．4.已知点P在∠MON内．(1)如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，则∠GOH＝；②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；(2)如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．答案(1)①100°；②10；(2)60°解析(1)①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案为：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，∴点G，O，H在同一直线上，∴GH＝GO+HO＝10；(2)如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP''，此时△由轴对称性质可得，OP∴∠∴∠∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，同理可得∠BPO=∴∠APB＝30°+30°＝60°．【A组基础题】1.如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是()A．2 B．3 C．3.5 D．4.5答案B解析如图，MN是BC的垂直平分线，∴点C与点B关于直线MN对称，∴线段AB与直线MN的交点即为点P，∴PA+PC＝AB．∵AB＝3，∴PA+PC的最小值是3．故选：B．2.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是()A．2.4 B．3 C．4 D．4.8答案D解析如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，∴S∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8．故选：D．3.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠PCD的度数是()A．90° B．60° C．45° D．30°答案D解析如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE≥BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCD＝∠PBC＝30°，故选：D．4.如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为()A．0.5m B．m C．1.5m D．2m答案B解析作D点关于AO的对称点G，作D点关于OC的对称点H，连接GH交AO于点E，交OC于点F，连接GO，OH，由对称性可知，GE＝ED，DF＝FH，OG＝OD＝OH，∴ED+DF+EF＝GE+EF+FH＝GH，此时△DEF的周长最小，最小值为GH，∵∠GOA＝∠AOD，∠DOC＝∠COH，∴∠GOH＝2∠AOC，∵∠AOC＝30°，∴∠GOH＝60°，∴△GOH是等边三角形，∴GH＝OD，∵DO＝m，∴△DEF周长的最小值为m，故选：B．5.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是()A．50° B．70° C．90° D．100°答案D解析作C点关于AD的对称点E，C点关于AB的对称点F，连接EF交AD于N'点，交AB于M∴N∴CN∴此时△MCN的周长最小，∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，∴∠BCD＝140°，∵N'E＝N'C，M'F＝∴∠E＝∠N'CE，∠F＝∠M'∵∠E+∠F＝180°﹣∠ECF＝180°﹣140°＝40°，∴∠N'CE+∠M'∴∠即△MCN的周长最小时，∠MCN为100°．故选：D．6.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为．答案10解析∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∴CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故选：A．7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．答案24解析∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．∵S∴BQ=BC故答案为：2458.如图，∠AOB＝15°，M是边OA上的一个定点，且OM＝12cm，N，P分别是边OA、OB上的动点，则PM+PN的最小值是．答案6解析作M关于OB的对称点Q，过Q作QN⊥OA于N，交OB于P，则此时PM+PN的值最小，连接OQ，则∠QOB＝∠AOB＝15°，OQ＝OM＝8，PM＝PQ，∠QNO＝90°，∵QN=1∴PM+PN＝PQ+PN＝QN＝6，故答案为：6．9.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．(1)若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；(2)若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；(3)在(2)的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．答案(1)53°(2)245(3)解析(1)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵AD是BC边上的中线，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝37°，∴∠ABC＝53°，∴∠ACB＝53°．(2)∵CE⊥AB，∴1∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，∴CE=24(3)连接PC．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC．∴PB+PE＝PE+PC≥CE，∴PE+PB的最小值为245．【B组提高题】1.如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，