2023-2024学年初中数学上学期-第2章 对称图形-圆教师版

PAGE12023-2024学年苏科版数学九年级上册章节真题汇编检测卷（提优）第2章对称图形—圆考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：0.54一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•顺庆区三模）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（）A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝30°，∴∠CBE＝∠AEB＝30°，∴S扇形EBC＝＝12π（cm2），故选：C．2．（2分）（2022秋•怀远县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（）A．8 B．6 C．12 D．10解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选：C．3．（2分）（2022秋•番禺区校级期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中∠A＝100°，则∠C的度数为（）A．120° B．100° C．80° D．50°解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝100°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°．故选：C．4．（2分）（2023•泸县校级一模）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为（）A．130° B．100° C．120° D．110°解：∵AB＝AC，∠ABC＝65°，∴∠ACB＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝100°，故选：B．5．（2分）（2022秋•东营区校级期末）如图，一个亭子的地基是半径为4m的正六边形，则该正六边形地基的面积是（）A．24m2 B． C．48m2 D．解：如图，连接OB，OC，则OB＝OC＝4m，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝CO＝BO＝4m，，∴．故选：B．6．（2分）（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°解：∵∠C＝30°，∴∠AOB＝2∠C＝60°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，故选：C．7．（2分）（2023•南关区校级模拟）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（）A．30° B．60° C．80° D．90°解：∵∠P＝30°，又∵∠AOB＝2∠P，∴∠AOB＝60°，故选：B．8．（2分）（2022秋•安徽期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（）A．36° B．28° C．20° D．18°解：如图，连接OD．∵PD是⊙O的切线，∴∠ODP＝90°，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EOD＝＝72°，∴∠P＝90°﹣∠POD＝18°．故选：D．9．（2分）（2023•淄博）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD＝2，DE＝3，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．解：连接OA，OC，CE，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OA，∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴，∴AC2＝AD•AE，∵AD＝2，DE＝3，∴AC＝＝＝，∴OA＝AC＝，即⊙O的半径为，故选：A．10．（2分）（2023•松北区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠OCD＝40°．故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•河西区校级期末）如图，在△ABC中，内切⊙O与边AB相切于点D，AB＝10，AC＝12，BC＝14，则BD的长是6．解：设AC与⊙O相切于E，BC与⊙O相切于F，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴设AD＝AE＝x，CE＝CF＝y，BD＝BF＝z，∵AB＝10，AC＝12，BC＝14，∴，解得z＝6，∴BD的长是6，故答案为：6．12．（2分）（2023•乾安县模拟）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是．解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，设切点为F，连接AF，则AF⊥BC，等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，，∴，故答案为：．13．（2分）（2023•咸丰县一模）如图，有一个直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC；则图中阴影部分的面积是2π．解：如图，连接BC，∵∠BAC＝90°，∴BC为⊙O的直径，即BC＝4，又∵AB＝AC，∴AB＝BC＝2．∴S阴影部分＝S⊙O﹣S扇形ABC＝π×22﹣＝2π．故答案为：2π．14．（2分）（2023•槐荫区二模）平面上，将边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2＝24°．解：正三角形的一个内角的度数为：＝60°，正四边形的一个内角的度数为：＝90°，正五边形的一个内角的度数为：＝108°，正六边形的一个内角的度数为：＝120°，∴∠1＝120°﹣108°＝12°，∠2＝108°﹣90°＝18°，∠3＝90°﹣60°＝30°，∴∠3+∠1﹣∠2＝30°+12°﹣18°＝24°，故答案为：24°．15．（2分）（2023•乾安县四模）如图①，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图②，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为．解：连接OD，在Rt△OCD中，，∴∠ODC＝30°，，∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝，故答案为：．16．（2分）（2023•婺源县一模）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为．解：如图，连接CO，交AB于点D，由折叠的性质得：OA＝OB＝AC＝BC＝3，∴四边形AOBC是菱形，∴∠AOB＝2∠AOC，，AB＝2AD，∴，∴，∵OC＝OA＝3，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，∴阴影部分的面积为．故答案为：．17．（2分）（2022秋•沭阳县校级期末）如图，半圆O的直径AB＝4，弦，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为．解：当点C与点A重合时，如图，连接OM，∵点M是CD的中点，∴OM⊥CD，∴∠AMO＝90°，∴OM＝＝＝CM，∴∠AOM＝45°，当CD在半圆弧上旋转到点D与点B重合时，此时可得∠BOM′＝45°，∴∠MOM′＝90°，即弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，OM就绕着点O逆时针旋转90°，∴OMM′＝∠OM′M＝45°，∴MM′∥AB，∴S△AMM′＝S△BMM′，∴BM扫过的面积，即不规则扇形BMM′与扇形OMM′面积相等，∴在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为S扇形S扇形OMM′＝＝，故答案为：．18．（2分）（2023春•蓬安县期中）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③BD＝DE；④若点G为BC的中点，则BG⊥GD，其中一定正确的序号是①②③④．解：①∵E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，故结论①正确；②如图，连接BE，CE，∵E是△ABC的内心，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故结论②正确；③如图，连接BE，OB，OC，OD，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，故结论③正确；④∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DC，OD⊥BC，∵点G为BC的中点，∴G一定在OD上，∴∠BGD＝90°，∴BG⊥GD，故结论④正确．综上所述，一定正确的结论为①②③④，故答案为：①②③④．19．（2分）（2023•扶余市二模）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，使点O'落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'＝25°，则∠OCB＝85度．解：连结OO′，∵将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B'，∴BO′＝BO＝OO′，∴△BOO′为等边三角形，∴∠OBO′＝60°，∵⊙O与△OAB的边AB相切，∴∠OBA＝∠O′BA′＝90°，∴∠CBO＝90°﹣∠OBO′＝90°﹣60°＝30°，∵∠A′＝25°，∴∠A′O′B＝90°﹣∠A′＝90°﹣25°＝65°，∴∠AOB＝∠A′O′B＝65°，∴∠OCB＝180°﹣∠COB﹣∠OBC＝180°﹣65°﹣30°＝85°．故答案为：85．20．（2分）（2023•霍林郭勒市二模）我国古代数学家赵​爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示​）．​若直角三角形的内切圆半径为1，大正方形的面积为64，则小正方形的边长为．解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝1＝，∴AC+BC﹣AB＝2，∴AC+BC＝AB+2，∴（AC+BC）2＝（AB+2）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+4AB+4，∵BC2+AC2＝AB2，AB2＝64，∴2BC×AC＝36，∴小正方形的面积＝（BC﹣AC）2＝BC2+AC2﹣2BC×AC＝AB2﹣2BC×AC＝64﹣36＝28．故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•定远县校级一模）已知⊙O中，AB是直径，AC是弦，∠BAC＝32°．（1）如图1，连接BC，求∠ABC的度数；（2）如图2，过点C作弦CD⊥AB，H为垂足，求∠BOD的度数．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝32°，∴∠ABC＝58°；（2）∵AB是直径，CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝2∠BAC，∵∠BAC＝32°，∴∠BOD＝64°．22．（6分）（2022秋•麻章区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”解：如图，连接OA，由题意可知，DE＝1寸，AB＝10寸，∵AB⊥CD，CD是直径，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝5（寸），设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，∵DE＝1寸，∴OE＝（x﹣1）寸，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA2﹣OE2＝AE2，即x2﹣（x﹣1）2＝52，解得：x＝13（寸）所以CD＝26（寸）．答：这块圆形木材的直径为26寸．23．（8分）（2023•鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．（1）证明：连接OC，∵点C为的中点，∴，∴∠EAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OCA，∴AE∥OC，∴∠ADC＝∠OCF，∵CD⊥AE，∴∠ADC＝90°，∴∠OCF＝90°，即OC⊥DF，又OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接CE，BC，由（1）知CD是⊙O的切线，∴CD2＝DE•AD，∵DE＝1，DC＝2，∴AD＝4，在Rt△ADC中，由勾股定理得，在Rt△DCE中，由勾股定理得，∵点C是的中点，∴，∴EC＝BC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由勾股定理得，∴⊙O的半径长是2.5．24．（8分）（2023•清原县模拟）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；证明：（1）连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线；（2）∵线段AB是⊙O的直径，∠ADB＝90°，∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．25．（8分）（2023•甘孜州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠DCE＝∠DBC；（2）若AB＝2，CE＝3，求⊙O的半径．（1）证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°．∵CE为⊙O的切线，∴CE⊥BC，∴∠BCE＝90°．∵∠DCE+∠BCD＝90°，∠DBC+∠BCD＝90°，∴∠DCE＝∠DBC；（2）解：∵∠ABC+∠BCE＝90°+90°＝180°，∴AB∥CE，∴∠A＝∠DCE，∵∠DCE＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，在Rt△ABC中，tanA＝＝，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝＝，即＝，∴BC2＝2×3＝6，∴BC＝，∴⊙O的半径为．26．（8分）（2023•平罗县一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，点E是AB上的一点，以AE为直径的⊙O与BD相切于点M，⊙O交AC于点G，过点G作GF⊥AE交⊙O于另一点F，连接AF．（1）求证AF∥BD；（2）若AB＝6，BC＝8，求⊙O半径的长．（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD，∵直径AE⊥GF，∴＝，∴∠EAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠ABD，∴AF∥BD；（2）解：连接OM，如图，设⊙O半径为r，则OB＝6﹣r，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∵⊙O与BD相切于点M，∴OM⊥BD，∴∠OMB＝90°，∵∠OBM＝∠BAC，∠OMB＝∠ABC，∴△OBM∽△CAB，∴OB：AC＝OM：BC，即（6﹣r）：10＝r：8，解得r＝，即⊙O半径的长为．27．（8分）（2023•老河口市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点O在AC上，经过点A，E的⊙O分别交AB，AC于点D，F，连接OD交AE于点P．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD＝2，CF＝4，求阴影部分的面积．（1）证明：连接OE，如图，