专题20导数的综合问题（知识梳理专题过关）（解析版）

专题20导数的综合问题【知识梳理】1、恒成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．2、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．3、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．5、利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【专题过关】【考点目录】考点1：构造函数解不等式问题考点2：证明不等式考点3：恒成立问题考点4：能成立问题考点5：零点问题考点6：方程的根问题考点7：双变量问题问题考点8：实际应用问题考点9：极值点偏移问题【典型例题】考点1：构造函数解不等式问题1．（2022·湖南·长郡高二阶段练习）已知是函数的导数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，因为，所以，即，设，所以，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以等价于，则，即，解得．所以不等式的解集是．故选：C2．（2022·宁夏·海原县第一高二期中（文））已知函数的导函数是，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于AB，，当，即时，，在上单调递减；，，故AB错误；对于D，当，即时，，在上单调递增；，故D正确；对于C，令，满足在上单调递减，在上单调递增，此时，故C错误.故选：D.3．（2022·陕西·西安高二期中）已知定义在上的函数的导函数，且，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】构造函数，因为，所以，因此函数是增函数，于是有，构造函数，因为，所以，因此是单调递减函数，于是有，故选：D4．（2022·江西·上高高二阶段练习（文））已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，所以在单调递减，不等式可以转化为，即，所以.故选：D.5．（2022·陕西·西安高二期中）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，当时，，当时，，在上单调递减；又为的奇函数，，即为偶函数，在上单调递增；又由不等式得，当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递减得，解得，故；当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：．故选：D．6．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知函数，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数定义域为R，求导得，因此函数在R上单调递减，而，则有，所以的大小关系是，A正确.故选：A7．（2022·河南商丘·高二期末（理））已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，所以当时，，令，则当时，，故在时，单调递减，又因为在在R上为偶函数，所以在R上为奇函数，故在R上单调递减，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；当时，可变形为，即，因为在R上单调递减，所以，解得：，与取交集，结果为；综上：不等式的解集为.故选：A8．（2022·江苏·海安市南莫高二期中）设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，在上的函数恒成立，构造函数，则，∵上，即，∴在上单调递减，而，故∴，可得.故选：B考点2：证明不等式9．（2022·新疆·克拉玛依市高级高二阶段练习（理））已知函数(1)当时，求的单调区间；(2)当时，求证：．【解析】（1）当时，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，即证因为，所以即证设，即证.,当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以.所以原题得证.10．（2022·贵州六盘水·高二期末（理））已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：.【解析】（1）的定义域为，且，当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，综上：当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故，要想有两个不相同的零点，则，解得：，，故要证，即证，即证：，因为在上单调递增，所以只需证，不妨设，两式相减得：，变形为，下面证明在上成立，只需证，即，令，即证，构造，，则恒成立，故在上单调递增，故，所以，，故，即，所以，，证毕.11．（2022·陕西·西安高二期中）已知函数，．(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若，存在两个极值点，，证明：．【解析】（1）∵，又在区间上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立，∴在上恒成立；设，则，当时，，∴单调递增，∴，∴，即实数a的取值范围是．（2）由（1）知：，满足．∴，不妨设，则．∴，则要证，即证，即证，也即证成立．设函数，则，∴在单调递减，又．∴当时，，∴，即.12．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知函数，．(1)若，证明：；(2)若不等式恒成立，求正实数的值；(3)证明：．【解析】（1）时，，设，，所以在区间递增；在区间递减.所以，即，所以时，.（2）依题意，，令，在上递增，且，所以对任意恒成立.设，所以函数在区间递减；在区间递增.所以，所以，，由（1）知，即，即，所以，当且仅当，即时成立.（3）由（2）得，当时，对任意恒成立.所以，，当且仅当时等号成立.则，要证明，只需证明，即证，由（1）知，所以只需证，即证，①当时，，不等式成立.②当时，，，不等式成立.所以成立，所以成立.13．（2022·江西·金溪高二阶段练习（理））已知函数，．(1)求过点且与曲线相切的直线的方程；(2)求证：．【解析】（1）设切点坐标为，则切线的斜率，切线的方程为，因为切点在切线上，所以，又切点在曲线上，所以，得，所以，得切线．（2）方法1：，即．设，则，因为，所以，在上为增函数，所以，即…①．令，则．当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，所以，所以…②．①②得，原命题得证．

方法2：令，则，则在上递增，又，，所以在内有唯一零点，设该零点为，，所以，，当时，，当时，，所以，又，故，得．14．（2022·全国·高二单元测试）已知函数.(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a＝e，证明：当x>0时，.【解析】（1）由题意知，.因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，，即恒成立．令（），则，时，，时，，g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，所以，即.故实数a的取值范围是；.（2）证明：若a＝e，要证，只需证，即.令（x>0），则，易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则，所以.再令（），则，时，，时，，易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则，所以.因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以，故原不等式成立．考点3：恒成立问题15．（2022·湖南·衡阳市高二阶段练习）已知函数.其中.(1)若，求单调区间；(2)若在上恒成立，求的取值范围.【解析】（1）若，，令,所以，令,则，所以的单调增区间为，单调递减为.（2）时，要使即恒成立，则，即恒成立，令，.令，即，故，.①当时，，在单调递减，，不成立；②当时，由，得或（舍），（i）当时，即时，在单调递减，在单调递增，，则在上，不成立.（ii）当，即时，设，则，令，即，而，在上单调递增，，，即恒成立，综上所述：的取值范围是.16．（2022·湖南·衡阳市高二期中）已知函数在处的切线的斜率为1．(1)求的值及的最大值．(2)证明：(3)若，若恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）函数的定义域为．由已知得，得，解得．此时．当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以；（2）由（1）得，当且仅当时，等号成立，令，则，所以，将上述个不等式依次相加，得；（3）因为，若恒成立，则，①时，显然成立②时，由，得．当时，单减，当时，单增，所以在处取得极小值，即最小值，，即恒成立，综合①②可知，实数的取值范围为.17．（2022·上海市松江高二期末）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；(3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由得，当时，，故在上单增；当时，令，解得，时，，单增；时，，单减；时，，单增；综上所述，当时，在上单增；当时，在单增；在单减；在当单增；（2）由（1）可知，当时，在上单增，故当时，，解得，故；当时，令，解得，和时，，单增；时，，单减；故最大值在或处取到，，解得（舍去），，解得舍去；当，即时，时，，单增；时，，单减，故，解得，故；当时，即时，时，，单减，故，解得（舍去），综上所述，或（3）要使在区间上恒成立，即对于任意恒成立，分离参数得，，令，则，令，则，故在单增，，故，即在成立，故在单增，，所以.18．（2022·江苏·连云港市赣马高级高二期末）已知函数，．设函数与有相同的极值点．(1)求实数a的值；(2)若对，，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【解析】（1）因为，所以，由得，由得，所以在上单调递增，在单调递减，从而的极大值为，又，所以，依题意，是函数的极值点，所以，解得，所以，则当或时，，当或时，，所以在和上单调递增，在和上单调递减；所以函数在处取得极小值，即当时，函数取到极小值，符合题意，故1；（2）由（1）知，由于，，，显然，故时，，，又，，，故，所以当时，，，①当时，问题等价于，所以恒成立，即，，，故符合题意；②当时，问题等价于，即恒成立，即，因为，．综上或.19．（2022·浙江·镇海高二期中）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若对于任意的，，且，都有成立，求a的取值范围.【解析】（1）,当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，，解得，当，当，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，综上，时，在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）对于任意的，，且，都有成立，可得，即恒成立，令，则恒成立，所以在上恒成立，令，则，所以函数在上单调递增，故，所以.20．（2022·青海·海东市教育研究室高二期末（文））已知函数(1)当时，求的最大值；(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.【解析】（1）当时，，该函数的定义域为，则，由，得；由，得.则在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为.（2）对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立.设，其中，则，由，得；由，得.则在上单调递增，在上单调递减.从而，故，即的取值范围是.21．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的图像在x＝1处的切线与直线垂直．(1)求的解析式；(2)若在内有两个零点，求m的取值范围；(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最大值．【解析】（1），则，∵函数的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，∴，即，解得，∴；（2）由（1）得，则，则，由得x＝1，由得，由得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得极小值也是最小值，要使在内有两个零点，只需满足，即，解得，故实数的取值范围为；（3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，①当时，，显然成立，此时；②当时，恒成立，令，则，∵x＞0，∴恒成立，由得，由得，由得0＜x＜1，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当x＝1时，取得极小值也是最小值，且，∴；③当时，恒成立，令，此时m（x）＜0，由②得（），令，，∴在上单调递增，又，由零点存在定理得存在，使得，有，即，由得，由得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得极大值也是最大值，且＝，∴，综上所述，实数k的取值范围为，∴实数k的最大值为3．22．（2022·上海南汇高二期末）已知函数为实常数）．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题可知函数的定义域，因为,所以，所以，令解得，所以在上是增函数.（2）因为,所以，所以，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有最小值为，因为，所以当时，函数有最大值为.（3）由得，即，因为，所以，所以，且当时，所以在恒成立，所以，即存在时，，令，，令，令，解得，令，解得，所以在单调递减，单调递增，所以，所以时，恒成立，所以，所以实数的取值范围是.考点4：能成立问题23．（2022·江西·上高高二阶段练习（文））己知函数．(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．【解析】（1）由，可得．因为，，所以切点坐标为，切线方程为：，因为切线经过，所以，解得．（2）由题知的定义域为，，令，解得或，因为所以，所以，令，即，解得：，令，即，解得：或，所以增区间为，减区间为．因为，所以函数在区间的最大值为，函数在上单调递增，故在区间上，所以，即，故，所以的取值范围是.24．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知函数，其中为实常数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性；(3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．【解析】（1），所以，所以切线方程为.（2）的定义域为,，当时，在区间递减；在区间递增.当时，，在上递减.当时，在区间递减；在区间递增.（3）由（2）知：当时，在上递减，，不符合题意.当时，在区间上，，依题意可知，解得.综上所述，的取值范围是.25．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））已知函数，(1)求在处的切线方程(2)若存在时，使恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由，可得，所以切线的斜率，．所以在处的切线方程为，即；（2）令，则，令，，在上，，在上单调递增，，．26．（2022·北京·北师大二附中高二阶段练习）设函数，其中是自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值.(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由已知，得，时，．令，可得或，函数在，，上为单调增函数，在，上为单调减函数，所以函数的极大值为，极小值为.函数的极大值为，极小值为.（2），令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内，满足或恒成立，当且仅当时，，时，，因为，所以当且仅当时，，时，，因为在内有，当且仅当即时取等号，所以当时，，，此时在单调递增，当时，，，此时在单调递减，综上，的取值范围为或．（3），在，上是减函数，时，；时，，即，.①时，由（2）知在，递减（1），不合题意.②时，由，，不合题意③时，由（1）知在，上是增函数，故只需，，，而（e），，，解得．故的取值范围为，．27．（2022·四川眉山·高二期末（理））已知.(1)求的极值点；(2)若不等式存在正数解，求实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，，令可得或，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的极大值点为，极小值点为.（2）由题意可知，存在，使得，即，令，其中，则，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，函数在上单调递增，则，所以，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，则，所以，.考点5：零点问题28．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中高二期中（理））设函数（其中）.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，证明函数在上有且只有一个零点.【解析】（1）当k=1时，，则∴或，，∴的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）方法1：证明：∵∴当时，，则在上无零点，∴只需证在上有且只有一个零点.①若时，当时，，则在上单调递增，又∵，∴在上有且只有一个零点.②若时，，，∴在上单调递减，上单调递增，又∵，，令，，则，，∵则∴在上单调递增，∴∴在上单调递增，∴，即：∴在上有且只有一个零点.综述：当时，在R上有且只有一个零点.方法2：证明：∵，即：，①当x=0时，方程无根.②当时，，令，∴∴，，∴在上单调递减，在上单调递增，又∵当时，；当时，；；，，∴的草图如图所示，∴当时，在R上有且只有一个零点.29．（2022·湖南·安仁县第一高二阶段练习）已知函数．(1)若，求的极大值；(2)若在区间上有两个零点，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，且则．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以的极大值为．（2）由题意得当时，对恒成立，所以在区间上单调递增，又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意．当时，令，得，若，即时，对恒成立，在区间上单调递减，又，所以在区间上仅有一个零点，不符合题意．若，即时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．令，则，所以在区间上单调递减，所以，即，所以，其中，因为函数的图像开口向下，所以，使，即在区间上有两个零点．综上，实数a的取值范围为．30．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数．(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；(2)根据的取值，讨论函数的单调性；(3)讨论函数在区间上的零点个数．【解析】（1），因为函数在点处的切线方程为，所以，即，解得；（2）恒成立，当时，对恒成立，所以在R上单调递增；当时，时，时，所以在单调递减，在上单调递增；（3）①当时，在上单调递增，且有唯一零点，所以在区间上没有零点；②当时，由（2）知在单调递减，在上单调递增，且，所以在区间上有1个零点；③当时，由（2）知在单调递减，在上单调递增，且，所以在区间上没有零点；④当时，由（2）知在单调递减，且，所以在区间上没有零点；综上，当时，在区间上没有零点；当时，在区间上有1个零点．31．（2022·江西·萍乡市第二高二开学考试（理））已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围(3)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.【解析】（1），则，因为切线与直线垂直，所以，解得.（2），则，在上单调递增，所以在上恒成立，即，令，则，当时取得最小值，，所以.（3）当时，，则单调递增，不可能有两个零点；当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减，，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即,所以所以有两个零点，故.32．（2022·陕西·西安高二期中）已知函数．(1)若时，试讨论的单调性；(2)若有两个零点时，求a的取值范围．【解析】（1），，，若，则令，解得，，解得，故在上单调递增，在上单调递减；若，令，得，①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；③当，即时，恒成立，故在单调递减．综上所述，当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）.当时，，，令，则，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.由且，当时，，，故恒成立，，由在上单调递增，则只有一个零点；当时，，此时不是的零点，时，，令，由题意可知，有两个零点等价于在且时有两个零点，，若，则，单调递增，最多有一个零点，不符合题意；若，令，解得或，当或时，，单调递增；当或时，，单调递减，而，，当时，此时，而，故有且只有一个零点，不合题意；当即，此时在上无零点，故在上需有两个不同的零点，故，即，此时当时，，故当时，．而当时，，，故．由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．当，即，此时，故在上不存在零点．此时当时，，当时，，由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．综上，或．33．（2022·湖南·长郡高二阶段练习）已知函数.(1)当时，求的图像在处的切线方程；(2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，则，切点坐标为，则切线的斜率，则函数的图像在处的切线方程为即.（2），则，，∴由，得.当，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极大值，又，，且，∴在上有两个零点需满足条件，解得故实数的取值范围是.34．（2022·江西·景德镇高二期中）已知函数．(1)试讨论的单调区间；(2)若，讨论在区间上的零点个数．【解析】（1），，当时，，故在上为增函数，当时，若，则，若，则，故在上为减函数，在上为增函数.（2）由（1）可得若，则在上为增函数，而，，故在上有且只有一个零点.若，由（1）可得在上为减函数，在上为增函数.故，若，则，故在上无零点.若，则，故在上有且只有一个零点.若，则，此时，设，其中，则，当时，，故在上为减函数，故在上的值域为，故存在，使得对任意的恒成立.故当，则有，故当时，在上有两个不同的零点.综上，当或时，在上有一个不同的零点；当时，在上有两个不同的零点；当，则，故在上无零点.35．（2022·河南·睢县高级高二阶段练习（理））已知.(1)讨论的单调性；(2)若有一个零点，求k的取值范围.【解析】（1）的定义域为，，当时，恒成立，在上单调递增.当时，在上，，单调递增；在上，，单调递减.综上可知，时，在上单调递增.时，在上单调递增，在上单调递减.（2）有一个零点，可得有一个实根，令，.令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.∴.又，∴时，；时，.大致图象如图所示，若直线y＝－k与的图象有一个交点，则或，即或.∴k的取值范围是.考点6：方程的根问题36．（2022·四川·绵阳市开元高二期中（文））设函数.(1)求过点的切线方程；(2)若方程有3个不同的实根，求实数的取值范围.【解析】（1）由题知，，设切点为，，所以切线斜率，切线方程为：.切线过，.所以切线斜率为.所以切线方程为.（2）对函数求导，得，令，即，解得，或，，即，解得，的单调递增区间是和，单调递减区间是.当，有极大值；当，有极小值，当时，直线与的图象有3个不同交点，实数的取值范围为.37．（2022·青海玉树·高二期末（理））已知．(1)若，求的单调区间与极值；(2)若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．参考数据：【解析】（1）当时，，该函数的定义域为，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，减区间为，极大值为，即小值为.（2）由题意可知，关于的方程在上有两个不同的实数根，即关于的方程在上有两个不同的实数根，令，其中，则，由可得；由可得.所以，函数在上单调递增，在上单调递减.所以，，又因为，，因为，则，作出函数与函数在上的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.38．（2022·湖南·邵东市第一高二阶段练习）设函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不等的实根，求实数的取值范围．【解析】（1）函数定义域为，当时，，所以在上单调递减；当时，令，，令，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2），即，即，设，，则在R上是单调增函数，且有，故有两个不等的实根，设，由（1）知，时，在上为单调减函数，在上为单调增函数，故的极小值为，得，，，所以在上恰有一个零点，又，，设，，当时，，所以函数在上单调递增，所以，即，即有，而，所以在上恰有一个零点，所以：当时，有两个不等的实根．当时，在上单调递减，不可能有两个零点.综上：.39．（2022·山东泰安·高二期末）已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.【解析】（1），因为在处取得极值3，所以，即，解得.，经验证，满足题意，所以（2）方程有三个相异实根，即直线与函数图象有三个不同的交点.由（1）知，令，解得或.当变化时，的变化情况如下表所示：100单调递增3单调递减单调递增因此，当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为.作函数图象如下：所以实数的取值范围是.40．（2022·江西九江·高二期末（文））已知函数．(1)求证：的极小值为0；(2)讨论方程实数解的个数．【解析】(1)由题得，所以当时，，在单调递增；所以当时，，在单调递减．所以，的极小值为．(2)方程等价于或时．令，则，由，随x的变化可得，情况变化如下：2-+0-极大值故极大值，先证明一个结论：当，不等式恒成立.证明：设，则，故在上为增函数，故，故不等式恒成立.对任意的，则当时，有①.又当时，方程无实数解；当时，，，故在上有一个零点，而，，，结合①可得在上有两个零点，故方程有3个实数解；当时，，，故在上有一个零点，而，故在上有一个零点即方程有2个实数解；当时，同理有在上有一个零点，而，故在上无零点即方程无实数解；故方程有1个实数解；综上：当时，方程有1个实数解；当时，方程有4个实数当时，方程有3个实数解；当时，方程有2个实数解；41．（2022·贵州黔东南·高二期末（文））已知函数.(1)讨论函数f（x）的单调性；(2)若关于x的方程有3个不等实根，求的取值范围.【解析】（1），当a≥0时，恒成立，故f（x）在R上单调递增；当a<0时，令，则，故f（x）在单调递增，在单调递减，在单调递增；（2）记，则，.∴g（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，由题可知g（x）有3个不同零点，∴即，.考点7：双变量问题问题42．（2022·陕西安康·高二期末（理））已知函数．(1)若时，，求的取值范围；(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．【解析】（1）∵，，∴，设，，当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，与已知矛盾．当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；综上，取值范围是．（2）证明：当时，，当，，当，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，∵在区间上单调递增，∴只需证，∵，∴只需证．设，则，∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，∴．43．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数（k为常数），函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当，时，有且只有两个不相等的实数根，且；有且只有两个不相等的实数，，且．证明：．【解析】（1）因为，当时，，函数在单调递增；当时，令，解得，当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）当时，，，∴，所以方程与的根互为倒数，又因为方程有且只有两个不相等的实数根，，且，方程有且只有两个不相等的实数根，，且，所以，，可得，，所以，故要证，只需证明，要证，只需证，因为，所以，因为在上单调递增，所以只需证，进而只需证，因为，只需证明，构造函数，，则，所以函数在上单调递增，又，所以当时，，则，即，所以，即，故．44．（2022·四川凉山·高二期末（理））已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：若，，则．【解析】（1）由题意知：．当时，当时，，在上单调递增；当时，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：∵，即，又，∴要证，只需证，即证①设，，则，∴在上单调递增，∵，∴，不等式①成立，即成立．45．（2022·四川乐山·高二期末（文））已知函数．(1)求函数的最大值；(2)斜率为k的直线与曲线交于，两点，求证：．【解析】（1）∵，令，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴．（2）∵，又，则，则，欲证，只需证．只要证，令，只要证，由知，只要证．①设，∵，∴在是增函数，∴当时，，即；②设，∵，∴在是增函数，∴当时，，即．由①②知成立，则得证．46．（2022·辽宁铁岭·高二期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设函数有两个不同的零点（），（ⅰ）求证；（为自然对数的底数）；（ⅱ）若满足，求a的最大值.【解析】（1）（1）求导，，当时，恒成立，的单调递增区间是，无递减区间.当时，由，得，由，得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）（ⅰ）令，得，设，求导，令，解得，则x+0-极大值当时，取得极大值，且且当时，，当时，，如图，数形结合可知，即.（ⅱ）因为，即，且，不妨设，将代入中，得，即.设，则，令，则，∴在上单调递减，即，从而有，得在上单调递减，由已知条件得，即，∴在上单调递减，即，得，，即.又因为，设，由（ⅰ）知，在上单调递增，而，所以在上也单调递增，得，得，即.综上，a的最大值是.47．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知函数．(1)若函数的最小值为，且对，恒成立，求实数的取值范围；(2)当且时，试比较与的大小．【解析】(1)由题可知的最小值为，所以，当时，，所以在上单调递减，没有最小值，不合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以时，取到最小值，所以，故，因为恒成立，故，令，令，解得，所以在上单调递减，令，解得，所以在单调递增，故可知，所以实数的取值范围：.(2)令，令，解得，所以在上单调递减，令，解得，所以在上单调递增，当时，，综上所述，当时，，所以由得，；当时，，所以由得，．.48．（2022·黑龙江·建三江分局第一高二期末）已知.(1)若恒有两个极值点，（），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明.【解析】（1）函数的定义域为，，则方程有两个不同的正根，即函数与图像有两个交点，，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，且当时，，当时，，如图，由图可知；（2）设，则，在单调递增，故，即.而，故，又，，在单调递减，故，即；由知；由(1)知，，为函数的极值点，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，时，函数单调递减，所以，故，令（）.，，令，故当时，单调递增，且，所以，故单调递减，由，得，即，即.49．（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））已知函数的最小值为1．(1)求实数的值；(2)过点作图象的两条切线MA，MB，A()，B()是两个切点，证明：>1．【解析】（1），当≤0时，<0，在单调递减，不合题意；当>0时，在()上，<0，在()上，>0．在单调递减，在单调递增，故的最小值为；（2）证明：，同理，，两式相减得，不妨设，要证>1．只须证>1．即，即证，令，即证，设，恒成立，故h(t)为增函数，，故原式得证．考点8：实际应用问题50．（2022·全国·高二课时练习）金秋十月，柚果飘香，又到一年马家柚成熟时节，小王大学毕业后决定结合实际情况合理安排采摘时间，确保马家柚品质，利用所学专业加工马家柚产品，经过市场调研，加工马家柚产品需投入年固定成本2万元，每加工x万斤，需另投入流动成本万元．已知在年产量不足4万斤时，；在年产量不小于4万斤时，；每斤产品售价6元．通过市场分析，小王加工的产品当年能全部售完．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式．（年利润=年销售收入-年固定成本-流动成本．）(2)年加工产量为多少万斤时，小王在加工中所获年利润最大？最大年利润是多少？【解析】（1）由题意，当时，；当时，.所以.（2）当时，，令，解得.故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，故.当时，，当且仅当，即时取等号.综上，当年产量为8万斤时，所获年利润最大，为9万元.51．（2022·四川眉山·高二期末（文））某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】（1）因为销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克，商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数所以，解得所以，，（2）设商场每日销售该商品的利润为，则，因为当时，，单调递增，当时，，单调递减所以当元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润52．（2022·北京西城·高二期末）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是．(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【解析】（1）由题意，利润.（2）由（1），当时，，所以，令，则或（舍），故，，即递增；，，即递减；所以的极大值也是最大值为（万元）；当时递减，此时最大值为（万元）.综上，使商品的利润最大，产量为百件.53．（2022·山东青岛·高二期末）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？(3)假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．【解析】（1）由题知：每瓶饮料的利润为：，，所以，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，又，所以，当时，每瓶饮料的利润最大；（2）由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小；（3）由，解得，故所求瓶子的半径取值范围是.考点