201X-202x学年高中数学第1章集合1.2集合的基本关系北师大版必修1

§2集合的根本关系1.2.一二三四五一、子集

符号“∈〞与“⊆〞的区别(1)“∈〞是表示元素与集合之间的关系,比方1∈N,-1∉N.(2)“⊆〞是表示集合与集合之间的关系,比方N⊆R,{1,2,3}⊆{3,2,1}.(3)“∈〞的左边是元素,右边是集合,而“⊆〞的两边均为集合.3.一二三四五二、Venn图为了直观地表示集合间的关系,我们常用封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.如下图,集合A是集合B的子集.4.一二三四五三、集合相等

【做一做1】以下说法不正确的选项是()A.{0,1,2}={2,1,0}B.⌀={x∈R|x2+1=0}C.{(1,2)}={1,2}D.假设M,N,Q表示集合,且M=Q,N=Q,那么M=N解析:根据集合相等的定义可知A,B,D正确,C错误,应选C.答案:C5.一二三四五四、真子集

【做一做2】

用适当的符号填空(⫋,=,⊈).(1){0,1}

N;

(2){2}

{x|x2=x};

(3){2,1}

{x|x2-3x+2=0}.

答案:(1)⫋

(2)⊈

(3)=6.一二三四五五、两个规定(1)空集是任何集合的子集,即⌀⊆A.(2)空集是任何非空集合的真子集,即⌀⫋A(A≠⌀).【做一做3】以下表述正确的有()①空集没有子集;②任何集合都有至少两个子集;③空集是任何集合的真子集;④假设A≠⌀,那么⌀⫋A.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析:⌀⊆⌀,故①错误;⌀只有一个子集,即它本身,故②错误;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故③错误;④正确,应选B.答案:B【做一做4】集合A={-1,1}的所有子集有.

答案:⌀,{-1},{1},{-1,1}7.一二三四五思考辨析判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√〞,错误的打“×〞.(1)假设一个集合中含有n个元素,那么该集合的非空子集个数为2n.()(2)空集是任意集合的子集.()(3)⌀与{⌀}的关系为⌀={⌀}.()答案:(1)×(2)√(3)×8.探究一探究二探究三探究四易错辨析判断集合间的关系【例1】

判断以下给出的各对集合之间的关系.(1)A={x|x是矩形},B={x|x是平面四边形};(2)A={x|x2-x=0},B={x|x2-x+1=0};(3)A={x|0<x<1},B={x|0<x<3};(4)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z}.分析:对于(1)(4),可分析集合中元素的特征性质判断两集合的关系;对于(2),要注意空集的特殊性;对于(3),可借助数轴进行判断.9.探究一探究二探究三探究四易错辨析解:(1)由于矩形一定是平面四边形,但平面四边形不一定是矩形,由真子集定义知,集合A是集合B的真子集,即A⫋B.(2)由于A={x|x2-x=0}={0,1},而集合B中的方程x2-x+1=0没有实数解,即B=⌀,所以B⫋A.(3)由数轴(如下图)可知A⫋B.(4)当k∈Z时,2k-1是奇数,且能取到所有的奇数;当k∈Z时,2k+1也是奇数,也能取到所有的奇数,因此集合A和集合B都表示所有奇数的集合,即A=B.10.探究一探究二探究三探究四易错辨析判断两个集合之间的关系的方法(1)对于有限集合,特别是元素个数较少时,可将元素一一列举出来进行判断;(2)对于无限集合,特别是用描述法表示的集合,应从特征性质入手进行分析判断,看其元素之间具备什么关系,从而得到集合间的关系;(3)当集合是不等式的解集时,可借助数轴分析判断集合间的关系.11.探究一探究二探究三探究四易错辨析A.M⊆N B.M⫋NC.N⊆M D.N⫋M解析:设n=2m或n=2m+1,m∈Z,答案:B12.探究一探究二探究三探究四易错辨析确定给定集合的子集、真子集【例2】

写出集合M={x|x(x-1)2(x-2)=0}的所有子集,并指明哪些是集合M的真子集.分析:先解方程x(x-1)2(x-2)=0,求出其所有的根,从而确定集合M中的元素,再按照子集、真子集的定义写出子集,并判断哪些是真子集.解:解方程x(x-1)2(x-2)=0,可得x=0或x=1或x=2,故集合M={0,1,2}.由0个元素构成的子集为⌀;由1个元素构成的子集为{0},{1},{2};由2个元素构成的子集为{0,1},{0,2},{1,2};由3个元素构成的子集为{0,1,2}.因此集合M的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.其中除集合{0,1,2}以外,其余的子集全是集合M的真子集.13.探究一探究二探究三探究四易错辨析1.求一个有限集合的子集(真子集)时,首先要确定该集合的全部元素,然后按照子集中所含元素的个数分类,分别写出符合要求的子集(真子集).在写子集时,注意不能忘记空集和集合本身.2.与子集、真子集个数有关的四个结论假设集合A中含有n个元素,那么有:(1)A的子集的个数为2n;(2)A的真子集的个数为2n-1;(3)A的非空子集的个数为2n-1;(4)A的非空真子集的个数为2n-2.14.探究一探究二探究三探究四易错辨析变式训练2假设{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},那么集合A的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.答案:B15.探究一探究二探究三探究四易错辨析集合相等及其应用【例3】集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},假设A=B,求x,y的值.分析:A=B→列方程组→解方程组求x,y解:∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同.经检验,当x=0,y=0时,A={2,0,0},这与集合元素的互异性相矛盾,舍去.16.探究一探究二探究三探究四易错辨析1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,假设均一致,那么两个集合相等.2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合元素的互异性.3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.17.探究一探究二探究三探究四易错辨析答案:118.探究一探究二探究三探究四易错辨析根据子集关系确定参数范围【例4】集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.(1)假设a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;(2)假设A⊇B,求实数a的取值范围.分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论,然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.19.探究一探究二探究三探究四易错辨析解:(1)假设a=-1,那么B={x|-5<x<-3}.如图在数轴上标出集合A,B.

由图可知,B⫋A.(2)由A⊇B.①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,

又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1.20.探究一探究二探究三探究四易错辨析1.两个集合之间的关系求参数的值(或范围)时,要明确集合中的元素,通常依据相关的定义,把这两个集合中元素的关系转化为解方程(组)或解不等式(组).2.对于给定的集合是不等式的解集时,这类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=〞用实心点表示,不含“=〞用空心圆圈表示.21.探究一探究二探究三探究四易错辨析变式训练4(1)【例4】(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?假设存在,求出实数a的取值范围;假设不存在,试说明理由.(2)假设集合A={x|x<-5,或x>2},且A⊇B,求实数a的取值范围.解:(1)因为A={x|-5<x<2},所以假设A⊆B,那么B一定不是空集.(2)①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,

由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥或a≤-7.又因为a<1,所以a≤-7.综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-7.22.探究一探究二探究三探究四易错辨析无视空集这一情况而致误【典例】集合P={x|x2+x-6=0},Q={x|mx-1=0},假设Q⊆P,那么实数m的值为.

错解:由P={x|x2+x-6=0},得P={-3,2};错因分析:当集合Q=⌀,即m=0时,显然也满足Q⊆P,错解中少了这种情况.23.探究一探究二探究三探究四易错辨析24.探究一探究二探究三探究四易错辨析空集是一种特殊的集合,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,当Q⊆P时,Q为空集的情况容易被忽略,因此,当条件不明确时,要注意分情况来讨论,此题中假设不考虑Q为空集的情况,将会丢掉m=0这个解.25.123451.如下图,对A,B,C,D的关系描述正确的选项是()A.B⊆C B.D⊆AC.A⫋B D.A⫋C解析:结合图示及子集的概念可知,A中的任一元素,都是C中的元素,且C中存在元素不在A中,故A⫋C.答案:D26.123452.集合A={x|x2=x,x∈R},满足条件B⊆A的所有集合B的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析:∵A={0,1},B⊆A,∴集合B的个数为22=4.答案:D27.123453.在以下各式中:①1∈{0,1,2};②{1}∉{