山东大学量子力学 第一章 绪论1

核心问题1.微观粒子的状态描述方法：波函数2.微观粒子的运动规律：薛定谔方程3.薛定谔方程的几种描述形式4.薛定谔方程在不同势场下的求解方法本章内容§1.1量子力学发展简史§1.1§1.2经典物理学的困难§1.2§1.3光的量子性小结§1.3§1.4玻尔的量子论§1.4§1.5微观粒子的波粒二象性§1.5§1.1量子力学开展简史1896年气体放电管，发现阴极射线。1897年J.JThomson通过测定荷质比，确定了电子的存在。1900年M.Plank提出了量子化假说， 成功地解释了黑体辐射问题。1905年A.Einstein将量子化概念明确为光子 的概念，并解释了光电效应。 同年创立了狭义相对论。1924年L.deBröglie提出了“物质波〞思想。1913年N.Bohr提出了原子结构的量子化 理论〔旧量子论〕1911年E.Rutherfold确定了原子核式结构1923年A.H.Compton散射证实了光子的基本 公式的正确性，并证实在微观碰撞过程中能量守恒、动量守恒成立。1925年W.Heisenberg建立了量子力学的“矩阵形式〞1926年E.Schrödinger建立了量子力学的“波动形式〞 并证明了与“矩阵形式〞等价。1927年Davission,Germer电子衍射实验。1927年Dirac开展了电磁场的量子理论1928年Dirac建立了相对论量子力学〔Dirac方程〕从经典物理到现代物理概述物理学的分支及近年来开展的总趋势物理学经典物理现代物理力学热学电磁学光学相对论量子论非线性时间t关键概念的发展力学电磁学热学相对论量子论1600170018001900物理学开展的总趋向：*学科之间的大综合。*相互渗透结合成边缘学科。生物物理、生物化学、物理化学、量子化学量子电子学、量子统计力学、固体量子论。二十世纪物理学中两个重要的概念：场和对称性

从经典物理学到量子力学过渡时期的三个重大问题的提出

光电效应康普顿效应。黑体辐射问题，即所谓“紫外灾难〞。原子的稳定性和大小。§1.2经典物理学的困难一、黑体辐射二、光电效应及康普顿效应三、原子的线状光谱与稳定性问题一二三返回热辐射：一切物体是以电磁波的形式向外辐射能量，辐射的能量与温度有关，称之为热辐射。热平衡：辐射和吸收的能量相等。此时温度恒定不变。单色辐出度单位时间、单位外表积、上所辐射出的、单位波长间隔中的能量。辐射出射度单位时间、单位外表积上所辐射出的各种波长电磁波的能量。一.黑体辐射普朗克能量子假说吸收比

反射比对于非透明物体基尔霍夫定律：在热平衡下，任何物体的单色辐出度与吸收比之比，是个普适函数。黑体的热辐射规律用不透明材料制成一空心容器，壁上开一小孔，可看成绝对黑体黑体黑体〔绝对黑体〕：能全部吸收照射到它上面的各种频率电磁波而无反射的物体。黑体的吸收比

(λ,T)=1----理想模型

斯忒藩(Stefan)-玻耳兹曼定律

维恩位移定律实验发现：当绝对黑体的温度升高时，单色辐出度最大值

m

向短波方向移动。1700k1500k1300k

经典物理遇到的困难实验瑞利-琼斯维恩理论值T=1646k维恩:经典热力学得出：瑞利-琼斯:用能量均分定理电磁理论得出：短波方面与实验差异较大，在λ0，M∞，即：所谓的“紫外灾难〞。普朗克能量子假说1.黑体由大量谐振子组成，这些谐振子不断发射和吸收电磁波。

2.谐振子的能量及其发射和吸收的能量只能取E=h

的整数倍。能量子E=h

，h=6.62610-34焦耳说明：振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量从理论上推出：分别是玻尔兹曼常数和光速。普朗克假说不仅圆满地解释了绝对黑体的辐射问题，还解释了固体的比热问题等等。它成为现代理论的重要组成局部。瑞利-琼斯维恩理论值实验T=1646k瑞利-琼斯普朗克理论值

普朗克能量子假说普朗克的理论结果二.光电效应一.光电效应的实验规律UGU0312UIIS0相同频率，不同入射光强度1.饱和光电流强度与入射光强度成正比。即：单位时间内从金属外表逸出的光电子数目与入射光强成正比U03U02U01312UIIS0相同入射光强度，不同频率2.光电子的初动能与入射光强度无关，而与入射光的频率有关。截止电压的大小反映光电子初动能的大小红限频率截止电压与入射光频率有线性关系3.光电效应的瞬时性

光电子逸出的弛豫时间<10-9s

*初动能

经典：认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的初动能也越大。实验：光电子的初动能仅与频率有关而与光强无关。2.经典理论的困难：*截止频率〔红限频率〕经典：任何频率的光均可产生光电效应实验：只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流；频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。

*瞬时性

经典：认为光能量分布在波面上，吸收能量要时间，即需能量的积累过程。3.爱因斯坦光量子论1〕普朗克能量子假说的不协调：只涉及谐振子吸收和发射能量是不连续的未涉及辐射在空间传播是连续还是分立的2〕爱因斯坦光量子假说电磁辐射由光量子组成，其速度为c，每个光量子的能量E=hγ光量子具有“整体性〞：一个光子只能整个地被一个电子吸收或放出3〕当采用了光量子概念后，光电效应问题迎刃而解。当光量子射到金属外表时，一个光子的能量可能立即被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸出金属外表。逸出外表后，电子的动能为：A称为逸出功。只与金属性质有关。与光的频率无关。当（临界频率）时，电子无法克服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发出。

Einstein还进一步把能量不连续的概念用到固体中原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度T→0K是趋于0的现象。这时，Plank的光量子能量不连续性概念才引起很多人的注意。三、原子的线状光谱与稳定性问题1896年A.H.Bequerrel发现天然放射性1895年Röntgen发现X射线1898年Curie夫妇发现了放射性元素钚与镭

电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并可相互转化。原子既然可以放出带负电的β粒子来，那么原子是怎样由带负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样，原子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。1.原子的稳定性1904年Thomson提出有关原子结构的Thomson模型1911年Rutherford通过α粒子散射实验提出Rutherford模型，即今天众所周知的“核式结构模型”经典理论的困难：由于电子在原子核外做加运动，按照经典电动力学，加速运动的带电粒子将不断辐射而丧失能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会大量丧失能量而“掉到〞原子核中去。这样，原子也就“崩溃〞了。但现实世界说明，原子是稳定的存在着。

2.原子的线状光谱及其规律6562.8Å4861.3Å4340.5Å4101.7ÅHαHβHδHγH∞图1.2氢原子光谱（Balmer系）最早的光谱分析始于牛顿〔17世纪〕，但直到19世纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速开展。由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少人对它们进行了整理与分析。1885年，Balmer发现，氢原子光谱线的波数具有以下规律Balmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注意。紧接着就有不少人对光谱线波长〔数〕的规律进行了大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱项之差其中m,n是某些整数。§1.3光的量子性小结返回一、光的量子性二、Plank-Einstein关系三、ComptonScattering一、光的量子性干预、衍射现象：光是波赫兹：光是电磁波黑体辐射、光电效应：光的量子性:电磁辐射的能量是被一份一份地发射和吸收的。二、Plank-Einstein关系Einstein在光子能量量子化的根底上提出光子概念：即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是：并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实，得出光子的动量P波长λ的关系：三、光的粒子性：Compton散射

Compton散射曾经被认为是光子概念以及Plank-Einstein关系的判定性实验。

早在1912年，C.Sadler和A.Meshan就发现X射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地解释了实验结果。康普顿散射的实验规律：

入射X光

散射X光散射角1、散射线波长的改变量

随散射角

增加而增加。2、在同一散射角下

相同,与散射物质和入射光波长无关。3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。Compton认为X射线的光子与电子碰撞而发生散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子带走一局部能量与动量，因而散射出去的光子的能量与动量都相应减小，即X射线频率变小而波长增大。相对于X射线束中的光子能量，电子在轻原子中的束缚能很小，在碰撞前电子可视为静止。考虑到能量守恒定律，光子与电子的碰撞只能发生在一个平面中。假设碰撞过程中能量与动量守恒，即：（5）（6）并利用相对论中能量动量关系式

入射X光

散射X光散射角可得〔7〕对于光子，则代入式〔7〕，可解出（8）或利用上式改写成（9）令（电子的Compton波长）（10）（11）由式（9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。从式〔9〕可以看出，散射的X射线波长与角度的依赖关系中包含了Plank常数h。因此，它是经典物理学无法解释的。

Compton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力支持，因为在上述推导中，假设了整个光子（而不是它的一部分）被散射（粒子性）。此外，Compton散射实验还证实：Plank-Einstein关系在定量上是正确的在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒定律仍然是成立的（不仅是平均值守恒）§1.4玻尔的量子论一、原子的线状光谱和稳定性二、Bohr的量子论返回一、原子的线状光谱和稳定性组合原理：氢原子：（频率条件）2、跃迁假设：原子在两个定态之间跃迁时，吸收或发射的辐射的频率ν是二、Bohr的量子论〔1913〕Bohr量子论的三个重要假设：1、定态假设：原子能够，而且只能够存在于分立的能量相应的一系列状态中。一个硬性的规定常常是在建立一个新理论开始时所必须的。(3)角动量量子化假设为保证定态假设中能量取不连续值，必须取不连续值，如何做到？

玻尔认为：符合经典力学的一切可能轨道中，只有那些角动量为的整数倍的轨道才能实际存在。三、量子化条件的推广由理论力学知，假设将角动量L选为广义动量，那么θ为广义坐标。考虑积分并利用Bohr提出的量子化条件，有索末菲将Bohr量子化条件推广为推广后的量子化条件可用于多自由度情况，这样索末菲量子化条件不仅能解释氢原子光谱，而且对于只有一个电子〔Li，Na，K等〕的一些类氢离子的原子光谱也能很好的解释。四、波尔量子论的局限性1.不能证明较复杂的原子甚至比氢稍微复杂的氦原子的光谱2.不能给出光谱的谱线强度〔相对强度〕3.Bohr只能处理周期运动，不能处理非束缚态问题，如散射问题；4.从理论上讲，能量量子化概念与经典力学不相容。多少带有人为的性质，其物理本质还不清楚。波尔量子论首次翻开了认识原子结构的大门，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的问题也逐渐为人们所认识§1.5微观粒子的波粒二象性返回一、德布罗意的物质波二、电子衍射实验三、微观粒子的波粒二象性一、德布罗意的物质波德布罗意(duedeBroglie,1892-1960)

德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用比照的方法分析问题。1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文?关于量子理论的研究?中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角〞。法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。一个质量为m的实物粒子以速率v运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，同时也具有以频率v和波长l所描述的波动性。德布罗意关系如速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为：如电子m=9.1

10-31Kg，速度v=5.0107m/s,对应的德布罗意波长为：太小测不到！X射线波段二、电子衍射实验1、戴维逊-革末实验GM戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G.P.汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。实验装置：电子从灯丝K飞出，经电势差为U的加速电场，通过狭缝后成为很细的