人教B版数学选修4-5讲义第1章1.51.5.3反证法和放缩法Word版含答案

反证法和放缩法学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．教材整理1反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确，这种方法称作反证法．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角 D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案]B教材整理2放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)，使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．其关键在于放大(缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大，则相应分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．这是一种常用的放缩方式．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝eq\f(a3＋a9,2)，Q＝eq\r(a5·a7)，则P与Q的大小关系是()A．P>Q B．P<QC．P＝Q D．无法确定[解析]由等比知识得Q＝eq\r(a5·a7)＝eq\r(a3·a9).又P＝eq\f(a3＋a9,2)，且a3>0，a3≠a9，∴eq\f(a3＋a9,2)>eq\r(a3·a9)＝eq\r(a5·a7)，故P>Q.[答案]A利用反证法证明否定性命题【例1】已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于eq\f(1,4).[精彩点拨]当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明．凡涉及否定性、唯一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．[自主解答]假设三式同时大于eq\f(1,4)，即(1－a)b＞eq\f(1,4)，(1－b)c＞eq\f(1,4)，(1－c)a＞eq\f(1,4).三式同向相乘，得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞eq\f(1,64). ①∵0＜a＜1，∴(1－a)a≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－a＋a,2)))eq\s\up14(2)＝eq\f(1,4).同理(1－b)b≤eq\f(1,4)，(1－c)c≤eq\f(1,4).又(1－a)a，(1－b)b，(1－c)c均大于零，∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤eq\f(1,64)， ②因此①式与②式矛盾．故假设不成立，即原命题成立．1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件，通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．1．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．[证明]假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，∴a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac)，∴(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0，即eq\r(a)＝eq\r(c)，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．利用反证法证“至多”“至少”“唯一”型命题【例2】已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：(1)f(1)＋f(3)－2f(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).[精彩点拨](1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论；(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．[自主解答](1)由于f(x)＝x2＋px＋q，∴f(1)＋f(3)－2f＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于eq\f(1,2)，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2.∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，假设不成立．故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于eq\f(1,2).1．在题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．已知a≥－1，求证以下三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中它们的判别式都小于0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a2－4－4a＋3<0，,a－12－4a2<0，,2a2＋4×2a<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<a<\f(1,2)，,a>\f(1,3)或a<－1，,－2<a<0，))∴－eq\f(3,2)<a<－1，这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解.利用放缩法证明不等式【例3】已知x，y，z不全为零，求证：eq\r(x2＋xy＋y2)＋eq\r(y2＋yz＋z2)＋eq\r(z2＋zx＋x2)＞eq\f(3,2)(x＋y＋z)．[精彩点拨]针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的．[自主解答]eq\r(x2＋xy＋y2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))eq\s\up14(2)＋\f(3,4)y2)≥eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))eq\s\up14(2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))≥x＋eq\f(y,2)，同理可得：eq\r(y2＋yz＋z2)≥y＋eq\f(z,2)，eq\r(z2＋zx＋x2)≥z＋eq\f(x,2).由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：eq\r(x2＋xy＋y2)＋eq\r(y2＋yz＋z2)＋eq\r(z2＋zx＋x2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(z,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(x,2)))＝eq\f(3,2)(x＋y＋z)．1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地放或缩是放缩法基本策略．3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.[证明]假设a＋b>2，而a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))eq\s\up14(2)＋eq\f(3,4)b2≥0，但取等号的条件为a＝b＝0，显然不可能，∴a2－ab＋b2>0.则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1.∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而ab<1.∴a2＋b2<1＋ab<2.∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4.而由假设a＋b>2，得(a＋b)2>4，出现矛盾，故假设不成立，原结论成立，即a＋b≤2.反证法与放缩法的特点[探究问题]1．反证法的一般步骤是什么？[提示]证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．2．放缩法证明不等式常用的技巧有哪些？[提示](1)添加或舍去一些项，如a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up14(2)＋eq\f(3,4)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up14(2).(2)将分子或分母放大(或缩小)，如eq\f(1,k2)＜eq\f(1,kk－1)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)；eq\f(1,k2)＞eq\f(1,kk＋1)＝eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1).(3)利用真分数的性质：若0＜a＜b，m＞0，则eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m).(4)利用基本不等式，如a2＋b2≥2ab.(5)利用绝对值不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(6)利用函数的单调性．【例4】求证：eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)＜1＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,n2)＜2－eq\f(1,n)(n为正整数，且n≥2)．[精彩点拨]本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．[自主解答]∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，∴eq\f(1,kk＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,kk－1)，即eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＜eq\f(1,k2)＜eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)(k为正整数，且k≥2)．分别令k＝2,3，…，n得eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＜eq\f(1,22)＜1－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＜eq\f(1,32)＜eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，…eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＜eq\f(1,n2)＜eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，将这些不等式相加得eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＜eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，即eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)＜eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜1－eq\f(1,n)，∴1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋1)＜1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜1＋1－eq\f(1,n)，即eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)＜1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜2－eq\f(1,n)(n为正整数，且n≥2)成立．1．放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a＞b，可换成证a＞c且c＞b，欲证a＜b，可换成证a＜c且c＜b.2．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论寻找．4．已知实数x，y满足：|x＋y|<eq\f(1,3)，|2x－y|<eq\f(1,6)，求证：|y|<eq\f(5,18).[证明]因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知|x＋y|<eq\f(1,3)，|2x－y|<eq\f(1,6)，从而3|y|<eq\f(2,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，所以|y|<eq\f(5,18).1．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为()A．a＜0，b＜0，c＜0B．a≤0，b＞0，c＞0C．a，b，c不全是正数D．abc＜0[解析]a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数．[答案]C2．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数