数值方法-习题及答案汇总 刘智永 第1-9章 插值与逼近-无网格方法

第一章插值与逼近1.设给定三个插值节点试求三次多项式P(x)，使其满足插值条件。并估计插值余项。答案：略。2.设给定三个插值节点试求四次多项式P(x)，使其满足插值条件。并估计插值余项。答案：略。3.假设是对应于n+1个节点的Lagrange基函数，证明答案：略。4.在[0，π/2]区间上分别选取5,10,15,20个等距节点对函数sinx做Lagrange插值，并由Lagrange插值余项分别计算其最大误差。答案：略。5.考虑四个节点x0，的Newton插值多项式N3答案：略。6.已知构造基于节点的差商表并写出基于这些节点的Newton插值多项式N4(x)。答案：略。7.函数若满足则称其为完全单调的，试讨论下列函数的完全单调性:答案：略，8.给定区域[0，1]2内的25个Halton节点如表1-4所示（1）用Gaussian径向函对目标f(x,y)进行散乱数据插值实验，其中取并分别选取观察插值误差（取L∞误差）变化情况，观察插值矩阵条件数的变化规律。答案：略。（2）固定ε=2.5，在Gaussian径向函数中取观察p=1，2，3，4时插值误差的变化情况。答案：略。（3）固定ε=2.5，取比较Gaussian函数、IMQ函数、MQ函数的插值误差。答案：略。（4）固定ε=2.5，取绘制Gaussian函数的Cardinal基函数在内点(0.5,0.5)处的函数图像。答案：略。9.已知Ω⊂R，假设是一个正定的径向函数证明答案：略。10.假设是两个正定的径向函数，证明也是正定的。（提示:用Schur定理。）答案：略。11.求下列函数在区间[-1，1]上的线性最佳一致逼近多项式答案：略。12.求区间[0,1]上函数的二次最佳平方近多项式。答案：略。第二章数值微分与数值积分1.对做Taylor展开，求逼近f(3)(x)与f答案：略。2.用隐式求导公式给出下列定义在区间[0，1]上的函数在内点的近似一阶导数值。答案：略。3.给定剖分步长为h的一组节点用插值求导方法推导答案：略。4.设函数证明定理2.1和定理2.2。答案：略。5.设函数证明定理2.3和定理2.5。答案：略。6.证明Cotes系数满足答案：略。7.给定[a，b]区间上的n+1个节点证明存在难一的常数满足答案：略。8.给定如下样本数据:（1）按照如下方式，并使用中心公式计算定积分答案：略。（2）按照如下两种方式，并分别使用梯形公式计算定积分答案：略。（3）按照如下方式并使用Simpson公式计算定积分答案：略。（4）构造中心差分格式求导数值答案：略。（5）取编号为2,4,6,8,10的五组数据用五点公式求导数值答案：略。9.使用截断指数函数做最佳平方近。f(x)=ex定义区间[0，1]上，选取试探函数空间为其中（1）对系数矩阵和右端向量的元素采用两点Gauss求积公式进行近似计算写出代数方程组。其中，矩阵元素为右端向量元素为答案：略。（2）求解3x3的线性方程组，定近函数的系数c1答案：略。10.选取合适的步长h用复合中点公式、复合梯形公式、复合Simpson公式计算定积分使其截断误差小于10−4。答案：略。第三章求解线性方程组1.证明定理3.1及定理3.2。答案：略。2.证明:若矩阵范数||A||<1，则答案：略。3.己知Ax=b，给出系数矩阵A的LU分解，并求解方程组，这里答案：略。4.使用LU分解求解Ax=b，其中答案：略。5.使用Cholesky分解求解下述对称正定方程组答案：略。6.使用Cholesky分解求解下述对称正定方程组答案：略。7.利用Givens变换将上Hessenberg矩阵化简为上三角矩阵并给出MATLAB程序。答案：略。8.已知求Householder矩阵，使得答案：略。9.采用Householder变换对A进行QR分解其中答案：略。10.记为矩阵A的每一列，利用OR分解证明答案：略。11.取初值试用Jacobi选代、Gauss-Seidel选代以及SOR选代（取最佳松驰子）分别求解线性方程组迭代过程保留5位有效数字在理论上别这三个代格式的收敛性。答案：略。12.取初值试用Jacobi选代、Gauss-Seidel迭代以及SOR迭代（取最佳松驰因子）分别求解线性方程组迭代过程保留5位有效数字答案：略。13.证明定理3.5及定理3.6。答案：略。14.证明定理3.7及定理3.8。答案：略。15.对于线性方程组Ax=b，其中A对正定（设A的特值满足0<α≤λ(A)≤β答案：略。16.试用最速下降法和共扼梯度方法求解下述线性方程组取初值为使得最终选代误差达到并给出选代步数及迭代解。答案：略。17.令为对称正定矩阵，给定证明有唯一的最小值点恰是线性方程组的解。答案：略。18.利用共梯度方法求解Ax=b编输入维n，其中答案：略。第四章求解非线性方程组1.已知在区间[1，2]有一个零点，试用二分法给出近似解及迭代次数，误差精度控制答案：略。2.用二分法求解方程在区间（1，2）上误差小于10−5的根以及代次数，使其精确到0.001。答案：略。3.已知在区间[1，2]上有一个零点，分别用函数迭代求解并比较收敛情况。答案：略。4.证明不动点迭代方法的误差估计。答案：略。5.证明：对任意初值x0，所生产的序列xn都收于方程x=sin答案：略。6.利用Newton迭代法解二次方程然后求61。（提示：xk+1=答案：略。7.利用Newton迭代法和割线法求解区间[1，2]上的零根，给出迭代5步的结果。答案：略。8.给定非线性方程组取初值时，利用Jacobi选代、Gauss-Seidel选代和SOR选代（ω取为1.1）进行求解，相邻两次迭代误差精度控制为10−4。答案：略。9.给定非线性方程组取初值时，利用Jacobi选代、Gauss-Seidel选代和SOR选代进行求解两次代误差精度控制为10−5。答案：略。10.利用Newton迭代法和Broyden迭代法求解非线性方程组（1）（2）分别取不同的初值进行编程求解，迭代误差精度控制为10−5，并比较选代次数和收敛速度答案：（1）略。（2）略。11利用Newton选代法和Broyden选代法求解非线性方程组（1）给定初值x1=15，x（2）给定初值选代误差精度控制为10−5。答案：（1）略。（2）略。第五章矩阵特征值计算1.证明定理5.3。答案：略。2.用乘幂法求下列矩阵的按模最大特征值及其对应的特征向量。控制时迭代停止。答案：略。3.用反幂法求下列矩阵的按模最小特征值及其对应的特征向量。控制时选代停止。答案：（1）略。（2）略。（3）略。（4）略。4.用QR选代近似计算下列阵的全部特征值（迭代8次后停止计算）。答案：（1）略。（2）略。（3）略。（4）略。5.假设是由乘幂法所获得的三个向量，其满足λ1和λ2为方程的两个根，证明满足特征方程答案：略。6.给定三对角矩阵用乘幂法和反幂法求该矩阵的最大与最小特征值,并近似计算矩阵A的条件数答案：略。7.给定可逆矩阵判断该矩阵的逆矩阵是否可以进行LU分解，并对该矩阵进行QR选代求其全部特征值。答案：略。8.假设试证明答案：略。第六章常微分方程数值方法1.用向前欧拉方法、向后欧拉方法以及改进的欧拉方法求解初值问题在区间[0,1]上的数值解，其中取步长h=0.1。答案：略。2.用向前欧拉方法、向后欧拉方法以及改进的欧拉方法求解初值问题在区间[0，1]上的数值解，其中取步长h=0.1。答案：略。3.给出用向前欧拉方法、向后欧拉方法以及改进的欧拉方法求解初值问题时的绝对稳定域以及对步长的限制。答案：略。4.给出欧拉方法的精度分析过程。答案：略。5.用向前欧拉方法、改进的欧拉方法和三级三阶显式Kutta方法数值求解初值问题其中精确解为比较三种方法的误差和精度。答案：略。6分析给出式(6-1)的向后欧拉方法和改进的欧拉方法的绝对稳定域。答案：略。7.给出下述二步方法的绝对稳定域，其中答案：略。8.给出下列隐式单步法的阶答案：略。9.用三级三阶显式Heun方法、四级四阶古典显式Runge-Kutta方法和四级四阶显式Kutta方法求解初值问题比较三种方法的误差和精度。答案：略。10.以初值问题为例编程求解并比较三级三阶显式和隐式RungeKutta方法的计算精度。答案：略。11.用二阶显式和隐式Adams方法求解第2题中的初值问题。答案：略。12.针对第7题中提出的初值问题，利用改进的欧拉方法、三点Milme公式和四点Adams公式求解并对比计算误差和精度。答案：略。13.选择本章介绍的几种数值方法求解如下初值问题其中初值条件为比较各种方法的计算误差和时间.已知该问题的精确解为答案：略。第七章有限差分法1.写出式(7-2)和式(7-8)隐式离散后的系数阵。答案：略。2.对于一维扩散问题其精确解为取步长h=0.001，0.005，0.01采用显格式、隐格式和θ-格式分别计算T=0.5时的数值解，并分析计算结果。答案：略。3.考虑非线性热传导方程假定试给出此方程的显格式，并计算空间步长h=0.02，T=0.1时不同时间步长的数值解。答案：略。4.分析给出式(7-8)的显格式和Crank-Nicolson格式的截断误差阶。答案：略。5.考虑二维扩散问题其精确解为其中=0.5为扩散系数取步长h=0.0005，0.001，0.005，采用显格式、隐格式和θ-格式分别计算T=0.1时的数值解，并分析计算结果。答案：略。6.采用7.2节的ADI格式求解第4题中的扩散问题，并进行数值结果比较。答案：略。7.分析给出7.2节中Peaceman-Rachford格式的放大因子推导过程，并由Taylor展开推导截断误差阶。答案：略。8.考虑式(7-13)和式(7-14)中a的正负对其建立的影响。答案：略。9.对于方程,考虑Lax-Friedrich方法的稳定性。答案：略。10.考虑双曲型问题其精确解为其中a=-1。取步长=0.0005，0.001，0.005，采用迎风格式Lax-Wendrof格式和Leap-Frog格式分别计算T=0.1时的数值解，并比较误差大小和精度。答案：略。11.考虑一维二阶双曲型问题其精确解为其中a=-1。取不同空间步长采用显格式和Crank-Nicolson格式分别计算T=05时的数值解，并比较误差大小和精度。答案：略。12.考虑二维二阶双曲型问题其精确解为取不同空间步长采用显格式、Crank-Nicolson格式和ADI格式分别计算T=5时的数值解，并比较误差大小和精度。答案：略。13.考虑三维二阶双曲型问题其精确解为其中a=-1。取不同空间步长，采用显格式和Crank-Nicolson格式分别计算T=05时的数值解，并比较误差大小和精度。答案：略。14.考虑泊松问题其中Ω=0，1)2，精确解为且可由精确解给出，取初始迭代值在不同的空间步长下采用五点差分格式分别计算T=1时的数值解，并给出误差分析和收敛阶。答案：略。第八章有限元方法1.求下列函数的一阶弱导数。答案：（1）略。（2）略。（3）略。2.证明定理8.2。答案：略。3.计算函数的Sobolev范数。答案：略。4.假设。证明不等式答案：略。5.写出[−1，1]2单元上的Q2有限基函数表达式（答案：略。6.写出下面一维椭圆型方程的解函数空间，并推导其变分形式。答案：（1）略。（2）略。7.假设是有界开区域，推导方程的变分形式，并验证Lax-Milgram引理的条件被满足。这里n表示∂Ω的单位外法向量，为分片连续函数。答案：略。8.证明下面两个问题是等价的。答案：（1）略。（2）略。9.（Gronwall’s不等式）假设f，g是定义在区间[0，T]上的分片连续且非负函数，g是非递减函数。若对任意的成立，则有答案：略。10.假设是有界开区域，推导Δ2算子的分部积分公式，并写出四阶问题的变分形式。其中，n表示∂Ω的单位外法向量。答案：略。11.假设证明如果有限元见图8-4。答案：略。12.假设证明如果则有限元见图8-5。答案：略。13.用引理8.1到引理8.4完成定理8.5的证明。答案：略。14.已知一个一维问题的变分形式为证明的强制性和有界性。答案：略。第九章无网格方法1.证明可化为形式答案：略。2.证明可化为球面标形式答案：略。3.使用Gaussian径向函数数值求解方程其中方程的准确解为选取NI个内点和N−NI个边界点（1）将求解区域划分成20X20的规则网格，固定ε=2.5，答案：略。（2）固定ε=2.5，观察误差随着数据节点增多的变化情况；按照下面的方式求系数矩阵A的条件数观察矩阵条件数随着数据节点增多的变化情况。答案：略。（3）定网格分为2020分别选取观察误差的变化和矩阵条件数的变化。答案：略。4.表9-2给出了径向函数的一阶和阶偏导数。 根据此表，求下列偏微分算子对给定径向函数的作用：答案：（1）略