高中数学新教材选择性必修第三册《7.1条件概率与全概率公式》课件

7.1.1条件概率[学习目标]1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.[知识链接]3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？[预习导引]1.条件概率一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.一般把P(B|A)读作

.A发生的条件下B发生的概率(1)定义：对于任何两个事件A和B，在

的条件下，事件B发生的概率叫做

.(2)条件概率公式：P(B|A)＝

，P(A)

0.已知事件A发生条件概率＞2.事件的交(或积)事件A与B的交(或积)：由事件A和B

所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝

(或D＝

).同时发生A∩BAB3.条件概率的性质(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的概率都在0和1之间，即

.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝

.0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)要点一条件概率例1一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率.解方法一记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黑球”为事件B.显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率为方法二这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，规律方法(1)对于古典概型的概率求法要搞清楚基本事件总数.(2)条件概率的定义揭示了P(A)，P(AB)及P(B|A)三者之间的关系，反映了“知二求一”的互化关系.跟踪演练1某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人.从该班任选一人作学生代表.(1)求选到的是共青团员的概率；解设“选到的是共青团员”为事件A，“选到的是第一小组学生”为事件B，则“选到的既是共青团员又是第一小组学生”为事件AB.(2)求选到的既是共青团员又是第一小组学生的概率；(3)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生概率.方法二由题意知，事件A所包含的基本事件个数为15，事件AB所包含的基本事件个数为4，要点二条件概率的综合应用例2

在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.解设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另两道答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，∴P(E|D)＝P((A∪B)|D)＝P(A|D)＋P(B|D)规律方法当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率.跟踪演练2高二·一班和高二·二班两班共有学生120名，其中女同学50名，若一班有70名同学，而女生30名，问在碰到一班同学时，正好碰到一名女同学的概率.解设事件A为“碰到一班的一名同学”，事件B为“正好碰到一班的一名女同学”，易知n(A)＝70，n(AB)＝n(B)＝30，1.下列说法正确的是(

)A.P(B|A)＜P(AB) B.P(B|A)＝

是可能的C.0＜P(B|A)＜1 D.P(A|A)＝0∴P(B|A)≥P(AB)，∴A错，当P(A)＝1时，P(AB)＝P(B)，而0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴C，D错，故选B.答案B2.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于(

)解析由题意可知.答案C3.设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是________.解析设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故AB＝B，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.答案0.54.考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能).解Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}.设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}.A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}，B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}课堂小结2.概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(A|B)表示在缩小的样本空间ΩB中，计算A发生的概率.用古典概型公式，

7.1.2全概率公式[学习目标]1.理解全概率公式和贝叶斯公式.2.会利用公式解决一些简单的实际问题.

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0

例1有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：记

Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3;

B={取得红球}即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B两两互斥B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)123将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入数据计算得：P(B)=8/15全概率公式:则

设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，即

设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,全概率公式:称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.则对任一事件B，有在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于:

某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是

每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解

例2

甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.

设B={飞机被击落}

Ai={飞机被i人击中},i=1,2,3

由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)则B=A1B+A2B+A3B解:依题意，P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,

P(B|A3)=1可求得:

为求P(Ai),

设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.于是

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

P(A3)P(B|A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”

这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.

某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式

有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率

.1231红4白?某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.

记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;

B={取得红球}求P(A1|B).将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：

设A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n,另有一事件B，它总是与A1,A2,…,An之一同时发生，则

贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.

例3

某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.

已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04解:设C={抽查的人患有癌症}，

A={试验结果是阳性}，

求P(C|A).现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得代入数据计算得:

P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?

1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率

P(C)=0.005

患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为P(C｜A)=0.1066

说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？2.检出阳性是否一定患有癌症?

试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为

P(C｜A)=0.1066

即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.

下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式

在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.

贝叶斯公式P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.

当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这