混凝土随机骨料模型的建立及应用

混凝土随机骨料模型的建立及应用

混凝土的等级配置和骨料含量直接影响其宏观力学特性。建立能客观反映混凝土薄结构不均匀特征的骨料模型，是混凝土薄结构力学价值模拟分析的前提和基础。球形骨料模型和基于瓦拉文(WalravenJC)公式的圆形骨料模型基本上能够贴近砾石骨料的形态,但与一般的碎石骨料差异较大。近年来在这方面研究取得了一定进展。高政国和刘光廷先后研究了二维混凝土多边形和凸多面体随机骨料的投放算法,在此基础上形成了混凝土凸多边形和混凝土凸多面体随机骨料模型,但所建立的模型骨料含量较低,且没有考虑实际骨料级配。孙立国等提出了一种通过一次性随机投放形成所有三角形基骨料,然后在此基础上随机延凸、生成任意形状的随机骨料的方法。尽管该算法生成效率较高,但是这种简化成多边形的骨料所占混凝土试件内截面的面积应该保持与实际骨料级配及其含量的等效关系。本文基于瓦拉文公式所生成的圆形骨料模型,依次将圆形骨料内接多边形向外延凸,直至达到圆形骨料模型所占混凝土内截面的面积为止,即生成了与圆形骨料面积相同的多边形随机骨料模型。因此,本文提出的算法所生成的凸多边形骨料模型既反映了骨料的实际形态又能维持骨料的实际级配和含量。1般骨料模型的等概率分布由于瓦拉文公式建立了混凝土试件空间内骨料级配及含量与其内截面所切割的骨料面积的关系,使得混凝土细观分析能够在二维平面内进行。本文借用该公式建立混凝土试件内截面上的凸多边形骨料面积与实际骨料级配、含量以及形态的关系。为建立这种关系,下面简要探讨一下瓦拉文公式的推导过程。瓦拉文公式首先假定骨料为球形,按照富勒(Fuller)曲线确定骨料的三维级配曲线通过直径D筛孔的骨料的重量百分比Y=100D0.5D-0.5max,Dmax代表最大骨料颗粒直径,由该级配浇筑的混凝土可产生优化的结构密度和强度。认为在混凝土试件空间内任指定一点位于小于半径为Dx的骨料上的概率为Ρ(D<Dx)=ΡkD0.5xD0.5max(1)P(D<Dx)=PkD0.5xD0.5max(1)式中:Pk为骨料(包括粗骨料和细骨料)体积与混凝土总体积之比,一般取Pk=0.75。式(1)的概率密度表示为p(Dx)=0.5ΡkD-0.5xD-0.5max(2)p(Dx)=0.5PkD−0.5xD−0.5max(2)在小于半径为Dx的骨料上的点位于如图1所示的球台A上的概率,应等于球台体积A与半个骨料球的体积之比,即PDx(D>D0)=(V-VB)/V,即ΡDx(D>D0)=(1+0.5D20/D2x)(1-D20/D2x)0.5(D0<Dx)(3)PDx(D>D0)=(1+0.5D20/D2x)(1−D20/D2x)0.5(D0<Dx)(3)因此,在试件截面内位于直径D<D0截面圆内点的概率为Ρc(D<D0)=1-Ρc(D>D0)=1-Dx∫D0p(Dx)⋅ΡDx(D>D0)dDx(4)Pc(D<D0)=1−Pc(D>D0)=1−∫D0Dxp(Dx)⋅PDx(D>D0)dDx(4)将式(3)展开成幂级数并忽略高阶项,代入式(4)后,积分得Ρc(D<D0)=Ρk(1.065D0.50D-0.5max-0.053D40D-4max-0.012D60D-6max-0.0045D80D-8max-0.0025D100D-10max)(5)Pc(D<D0)=Pk(1.065D0.50D−0.5max−0.053D40D−4max−0.012D60D−6max−0.0045D80D−8max−0.0025D100D−10max)(5)式(5)即为瓦拉文公式。从以上推导过程看,瓦拉文公式利用骨料分布在试件空间上的等概率分布,完全是基于几何概念导出的。人们自然会想到能否按照某种几何等效的原则推广到一般骨料形态,实际上,对于一个多面体骨料来说,尽管骨料本身边角形态在一定方向与其它方向有所差异,但骨料随机投放中,在试件空间内任一点的任一方位都没有与骨料特定边角相对应的优势,因此,将一般骨料模型化为以骨料形心为中心以粒径为直径的球体,至少在几何意义上是合理的。同样地,在混凝土试件任一“切面”上,上述等效圆骨料在统计意义上也能够反映一般骨料的级配关系。有关图像处理分析的结果也证实了上面的想法。文献采用非圆形骨料混凝土试件的切片,利用“等效粒径”(D等效粒径=2√S骨料面积/π)进行图像处理分析得出的平均级配曲线与三维级配曲线、二维转换曲线基本吻合。因此,本文将根据式(5)确定试件截面内的骨料颗粒级配,以骨料圆面积为凸多边形骨料的等效面积,研究在圆形随机骨料模型的基础上生成凸多边形骨料模型的方法。2二维随机凸边骨料模型2.1基本算法(1)角形paiai+1模型对于任意凸多边形的各顶点A1,A2,…,Ai,Ai+1,…An逆时针排序。多边形顶点Ai的坐标为(xi,yi),P为平面内的一点,其坐标为(x,y),对于三角形PAiAi+1有关系式Si=12|xy1xiyi1xi+1yi+11|(6)设凸多边形A1,A2,…,Ai,Ai+1,…An围成的内部区域为Ω,判断一个点是否在多边形内部有如下准则:p∈Ω,任意Si>0(i=1,2,…,n);P在边界Ω上,至少有一个Si=0;P∈/Ω,至少有一个Si<0。(2)新加入点的确定在圆形骨料圆周上随机生成数个点生成多边形骨料基框架,在以多边形较长边为直径的外半圆内延。新插入点的坐标为:x=0.5(xi+xi+1)+0.5¯AiAi+1R1cos(πR2),y=0.5(yi+yi+1)+0.5¯AiAi+1R1sin(πR2),其中R1、R2为(0,1)之间的随机数。为了提高效率,前几次迭代步可直接以边长¯AiAi+1为直径插入新点。(3)ai+1外侧的观点为保证多边形为凸多边形,要求新插入点,如P为AiAi+1外侧的一点(如图2)与相邻的边Ai-1Ai和Ai+1Ai+2构成的三角形PAi-1Ai和PAi+1Ai+2按式(6)计算的面积均为正值。2.2二维随机骨料的生产2.2.1骨料位置的选取首先按照骨料的级配要求利用瓦拉文公式在试件截面内确定骨料颗粒数,为提高骨料的投放效率,采用被占区域剔除法完成在一定区域内高含量骨料的投放。被占区域剔除法即首先以小于最小骨料半径的步长将试件区域剖分为方格单元,这样,可将贴近边界的单元剔除,然后用蒙特卡罗方法等几率地从内部单元中随机选取某一单元,再在该单元区域内等几率地随机选取坐标点,并判断若以该点为圆心的某种粒径的骨料是否侵入已经确定的骨料所占据的区域,若侵入已经确定的骨料,则另选取其它单元,否则即可确定该骨料的位置。若某单元到已确定骨料圆心的最大距离小于其半径与最小骨料半径之和,则将该单元剔除。在确定剩下的骨料位置时,将不会选取这些已被剔除的单元。利用该算法生成的四级配圆形骨料算例如图3。2.2.2骨料比正截面面积的生成凸多边形骨料是在圆形骨料的基础上生成的。圆形骨料模型确定了骨料的颗粒数、粒径和在截面内的所占的面积。随机凸多边形骨料模型的生成步骤如下。(1)在每个圆周上随机生成数个点生成多边形骨料基框架(注意大小骨料基点多少不同,大骨料基点数多于小骨料,控制点与点之间的距离,使骨料圆心在生成的多边形内部),然后逆时针顺序连接基点并将这些基点及其对应线单元编码。将多边形骨料面积与其对应圆骨料面积的差值从大到小排序,并列出每个多边形骨料边长从长到短的顺序。(2)对骨料循环。优先选择比对应圆骨料面积小得较多的多边形骨料,在其边长较长的边外侧向外延凸。新插入的点要满足:①新形成的边长要大于设定的最小值;②新插点后使得形成的多边形增长面积要大于设定的最小值;③满足“凸”条件;④新形成的多边形骨料不侵入其它骨料,不越边界。若上述条件有一个不满足,就要重新选择插入点。满足所有条件后,插入该点,并对顶点按边长长短重新逆时针排序。(3)对新生成的多边形骨料面积按与对应圆骨料面积差值排序,并判断多边形骨料总面积是否与圆形骨料总面积相等,如二者满足给定的误差条件,输出结果,否则回到第(2)步继续进行多边形扩展。按照该方法基于图3的圆形骨料模型生成的多边形体骨料模型如图4所示。这两种骨料模型的级配及对应骨料含量相同,只是骨料形状不同。3骨料模型细观剖分方法随机骨料模型将混凝土看作由骨料、固化水泥砂浆以及两者之间的粘接带组成的三相非匀质复合材料,不同的材料具有不同的力学物理特性。在网格剖分中,根据每个网格单元所处的不同材料的位置划分为不同的单元类型,如:骨料单元、固化水泥砂浆单元及界面单元,并依单元类型赋予相应的材料特性。多边形骨料模型细观剖分主要利用点侵入多边形判别准则判定一个节点与骨料的相对位置。其有限元剖分主要有以下步骤:(1)将混凝土截面区域按最小骨料直径的四分之一为x和y方向上的步长,将整个区域剖分成三角形单元网格,再将多边形骨料模型投影到该网格上,所有单元暂定为砂浆单元;(2)根据节点与骨料多边形的相对位置关系判断单元属性,节点均在骨料内为骨料单元,均在骨料外为砂浆单元,否则为界面元;(3)特殊单元的属性判断。按上述方法判别单元属性时会遗漏如图5所示的情况,即单元各节点都在骨料外,还有骨料侵入或穿过一些单元的可能,但这种单元在第(2)步被判为砂浆单元。为了将这些单元从砂浆单元中剔除,需对现已判别出的砂浆单元二次循环筛选,判断骨料三角形各边线段是否穿过砂浆单元侧面,如果穿过,则重新定义该单元为界面单元。利用该细观有限元剖分程序对图4的多边形骨料模型的剖分视图如图6所示。4凸边随机骨料模型的计算和分析4.1第i步为第1步在加载过程中,如果某单元的拉应力超过其抗拉强度,则该单元的刚度开始退化,即刚度为损伤参数的函数,平衡方程表现为非线性方程,方程按增量求解。因为在更高一级的荷载水平要产生新的损伤,求解过程需要进行迭代。第i步的增量方程为[Κi]{ΔU}={ΔΡ}+{ΔΡ′(D)}(7)式中:[Ki]为对应第i荷载步的刚度阵;{U}为结点位移;{P}为结点荷载列阵;{ΔP}为第i+1步的静载增量;{ΔΡ′(D)}=∑eΔDe(ε)[Κe0]{Ui+1}为在静位移上因损伤弱化产生的附加荷载,D为损伤变量,ΔDe(εe)=[De(εei+1)-De(εei)]为某单元损伤变量增量,[Ke0]为初始单元刚度矩阵,{Ui+1}为第i+1荷载步的结点位移,{Ui+1}={Ui}+{ΔU}。4.2混凝土验件结构全级配混凝土简支梁采用三分点加荷法,试件尺寸为450mm×450mm×1700mm,细观剖分区域取跨中宽度为450mm。按本文提出的凸多边形骨料模型生成方法生成的骨料模型和细观有限元剖分网络如图7所示,其中特大骨料3颗,粒径为120mm;大骨料12颗,粒径为60mm;中骨料35颗,粒径为30mm;小骨料167颗,粒径为15mm。本构关系采用双折线弹性损伤演化模型,取混凝土及其细观各相的残余强度系数λ为0.1,残余应变系数η为3,极限应变系数ξ为10。采用随机骨料随机参数细观模型,各类单元力学特性及统计参数按表1取值,按步长0.25kN加载,取4种细观骨料分布进行静力计算。计算得到弯拉极限荷载分别为162、154、155和162kN,平均拉极限荷载为158kN;极限弯拉强度分别为2.40、2.28、2.30和2.40MPa,平均值为2.35MPa。在文献的静载试验中,其静载加载速率为0.25kN/s,得到4个试件的极限拉荷载分别为154.7、171.0、136.7和158.9kN,其平均值为155.5kN;极限弯拉强度分别为2.30、2.54、2.03和2.31MPa,平均值为2.31MPa。显然计算结果与试验结果基本上是一致的。5凸多边形随机骨料算法设计本文基于骨料分布和形态的随机特性,将瓦