2022年研究生入学考试数学二真题及答案

2022年研究生入学考试数学二真题及答案一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、x→0时，α(x)，β(x)是非零无穷小量，给出以下4个命题：

①若α(x)～β(x)，则α2(x)～β2(x)；

②若α2(x)～β2(x)，则α(x)～β(x)；

③若α(x)～β(x)，则α(x)-β(x)=o(α(x))；

④若α(x)-β(x)=o(α(x))，则α(x)～β(x)；

其中真命题是：______

A．①③．

B．①④．

C．①③④．

D．②③④．

2、

A．

B．

C．

D．

3、f(x)在x=x0处二阶可导，以下说法正确的是______

A．若在x=x0的0某个邻域内f(x)单调增，则f'(x0)＞0

B．若f'(x0)＞0，则在x=x0的某个邻域内f(x)单调增

C．若在x=x0的某个邻域内f(x)图像是凹的，则f"(x0)＞0

D．若f"(x0)＞0，则在x=x0某个邻域内f(x)图像是凹的

4、设函数f(t)连续，令则______

A．

B．

C．

D．

5、设p为常数，有反常积分收敛，则p的取值范围是______

A．(-1，1)

B．(-1，2)

C．(-∞，1)

D．(-∞，2)

6、己知数列且则______

A．若存在，则存在．

B．若存在，则存在．

C．若存在，则存在，但不一定存在．

D．若存在，则存在，但不一定存在．

7、已知则以下选项正确的是______

A．I1＜I2＜I3.

B．I2＜I1＜I3.

C．I1＜I3＜I2.

D．I3＜I2＜I1.

8、设A为3阶矩阵，则A有特征值1，-1，0的充分必要条件为：

A．存在可逆矩阵P，Q，使得A=P∧Q．

B．存在可逆矩阵P，使得A=P∧P-1.

C．存在正交矩阵Q，使得A=Q∧Q-1.

D．存在可逆矩阵P，使得A=P∧PT．

9、设矩阵则线性方程组Ax=b解的情况为：

A．有解．

B．无解．

C．有无穷多解或无解．

D．有唯一解或无解．

10、设若向量组α1，α2，α3与α1，α2，α4等价，则的取值范围是______

A．{0，1)

B．{λ|λ∈R，λ≠-2}

C．{λ|λ∈R，λ≠-1，λ≠-2}

D．{λ|λ∈R，λ≠-1}

二、填空题11、

12、设x2+xy+y3=3确定了y=y(x)，则y"(1)=______．

13、

14、微分方程少'''-2y"+5y'=0的通解为______．

15、曲线的极坐标方程为r=sin30，则曲线与极轴所围成的面积为______．

16、将A的第二行与第三行交换，再将第二列的-1倍加到第一列得到矩阵则tr(A-1)=______．

三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、已知函数f(x)在x=1处可导，满足求f'(1)．

18、已知微分方程2xy'-4y=2lnx-1，且满足条件y(1)=，求y=y(x)的弧长．

19、设计算

已知可微函数f(u，v)满足且f(u,0)=u2e-u．20、记g(x，y)=f(x，y-x),求21、求f(u，v)的表达式和极值．22、设f(x)在(-∞，+∞)有二阶连续导数，证明：f"(x)≥0的充要条件为对不同实数a，b

已知二次型23、求正交变换x=Qy化二次型为标准型；24、证明

答案:

一、选择题

1、C[解析]①若α(x)～β(x)，则因此①正确．

②错，反例α(x)=x，β(x)=-x；

③若α(x)～β(x)，则则因此α(x)-β(x)=o(α(x))，③正确．

④若α(x)-β(x)=o(α(x))，则则则linip(x)：1，即口(x)～∥(x)，④正确．

因此真命题有①③④，选C．2、D[解析]

3、B[解析]f(x)在x=x0处二阶可导，则f(x)在x=x0处一阶连续可导，若f'(x0)＞0，则在x=x0的邻域内f'(x)均大于0(局部保号性)，因此f(x)在此邻域内单调增．4、C[解析]

综上，正确选项为C.5、A[解析]

先考虑

若p＜1，

因为而收敛，故也收敛；

若p≥1，且发散，故也发散．

再考虑

故同敛散，故-p＜1，即p＞-1，选A．6、D[解析]

取则A、B、C均错，且D的“不一定存在”是正确的；D项的“存在”的原因：当时，0≤cosxn≤1，而sinx在[0，1]上单调，故存在．7、A[解析]

比较I1，I2，令x∈(0,1)则x∈(0，1)，又F(0)=0，所以F(x)＜f(0)=0，I1＜I2；再比较I2，I3，令

h(x)=ln(1+x)(1+sinx)-2x(1+cosx)

=ln(1+x)-x+sinx·ln(1+x)-x-2xcosx，x∈(0，1)

其中ln(1+x)-x＜0，sinx·ln(1+x)-x＜0，-2xcosx＜0，则I2＜I3，故选A.8、B[解析]A有3个不同特征值，故A一定可以对角化存在可逆矩阵P，使得A=P∧P-1．9、D[解析]|A|=(b-1)(b-a)(a-1)．当b≠1且a≠1且b≠a时，r(A)=r(A|b)=3有唯一解；当b=1(b≠1)或a=1(b≠1)或a=b=1时均有r(A)＜r(A|b)无解．10、C[解析]

已知α1，α2，α3与α1，α2，α4等价，则r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α4)=r(α1，α2，α3，α4)

当λ=-1时，r(α1，α2，α3)=3，r(α1，α2，α4)=2与向量组等价矛盾，故λ≠-1

当λ=-2时，r(α1，α2，α3)=2，r(α1，α2，α4)=3与向量组等价矛盾，故λ≠-2

故排除B，D；当λ-2，r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α4)=3，故排除A，于是该题选择C二、填空题

11、[解析]

12、[解析]

同时对原等式两端求导：2x+y+xy'+3y2y'=0；

再次求导：2+2y'+xy"+6y(y')2+3y2y"=0，

当x=1时y=1，13、[解析]

14、y=C1+ex(C2sin2x+C3cos2x)．C1，C2，C3为任意常数．[解析]

微分方程对应特征方程为：λ3-2λ2+5λ=0．可得特征值为λ1=0，λ2,3=1±2i．所以原方程的通解为：

y=C1+ex(C2sin2x+C3cos2x)．C1，C2，C3为任意常数．15、[解析]

16、-1[解析]

则故tr(A-1)=-1三、解答题

17、f'(1)=-1．[解析]f(x)在x=1处可导，则f(x)在x=1处连续，

∴f(1)=0．

∵f'(1)=-118、[解析]

由

又

即

从而弧长19、[解析]

设D=D1+D2，其中

D1={x，y)|2-y≤x≤y-2,0≤y≤2)，

D2={x，y)|2-y≤x≤，0≤y≤2},

则二重积分

其中：

又D1关于y轴对称，则

故I=2+π-(4-π)=2π-2．20、2(2x-y)·e-y；[解析]

令u=x，v=y-x，

21、f(u，v)=(u2+v2)e-(u+v)，极小值为f(0，0)=0[解析]g(x,y)=2(x2-xy)e-y+C(y)，又f(x，0)=g(x，x)=C(x)=x2e-x，

所以C(x)=x2e-x，g(x，y)=2(x2-xy)e-y+y2e-y=[2x2-2xy+y2]e-y，

令得

f(u，v)=-2uve-(u+v)+(u+v)2e-(u+v)=(u2+v2)e-(u+v)

令得或

AC-B2＞0，A＞0，得f(u，v)|(0,0)=0为极小值；

AC-B2＜0，得在(1，1)处不是极值．22、[证明]

ξ介于x与之间，

必要性：若f"(x)≥0，则f"(ξ)≥0，有

充分性：若存在x0使得f"(0)＜0，因为f(x)有二阶连续导数，故存在δ＞0使得f"(x)在[x0-δ，x0+δ]内恒小于零，记a=x0-δ，b=x0+δ，

此时矛盾！故f"(x)≥0．

综上，充分性必要性均得证．23、

[解析]

二次型矩阵为则特征方程为

得特征值λ1=λ2=4,λ3=2．

当λ1=λ2=4时，(4E-A)x=0得ξ1=(0，1，0)，ξ2=(1，0，1)T

当