湖北省黄冈市2015届高三3月调研考试数学（文）试题

黄冈市2015年3月高三年级调研考试文科数学黄冈市教育科学研究院命制2015年3月12日下午一、选择题:本大题共10小题,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案涂在答题卡对应题号的位置上,答错位置不得分.1.已知R为实数集，集合，，则（）A.{x|0≤x＜1}B.{x|-2≤x＜1}C.{x|0≤x≤2}D.{x|x＜1}2.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（）A.(eq\f(1,5),eq\f(2,5))B.(-eq\f(1,5),-eq\f(2,5))C.(-eq\f(1,5),eq\f(2,5))D.(eq\f(1,5),-eq\f(2,5))3.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，4.已知变量x，y满足则-2x+y的最大值为（）A.-1B.-3C5.书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)6.在黄冈市青年歌手大赛中，七位评委为某选手打出的分数如下：91899196949594去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A.93,2.8B.93,2C.94,2.8D.94,27.设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A.9B.6C.3D.8.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A.6B.C.D.9.定义在R上的函数满足，且时，，则（）A.1B.C.D.10.定义在实数集R上的函数的图像是连续不断的，若对任意的实数，存在不为0的常数使得恒成立，则称是一个“关于函数”.下列“关于函数”的结论正确的是（）A.是常数函数中唯一一个“关于函数”B.是一个“关于函数”C.不是一个“关于函数”D.“关于函数”至少有一个零点二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如下表所示：由下表可得回归直线方程为，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为．x16171819y5034413112.已知为第四象限角，，则=___________.13.平面向量，，，若，∥，则在方向上的投影为.14.执行如图所示的程序框图，输出结果S=．15.已知圆与圆，在下列说法中：①对于任意的，圆与圆始终相切；②对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；③当时，圆被直线截得的弦长为；④分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4．其中正确命题的序号为______．16.已知函数，则不等式的解集为．17.设抛物线的焦点为,已知为抛物线上的两个动点，且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为．三、解答题:本大题共5小题,共65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)求函数的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中，若,∠B=，AC=2，求△ABC的面积.19.(本小题满分12分)已知数列是各项均不为0的等差数列，其前项和为，且，数列满足，.(Ⅰ)求，并证明数列为等比数列；(Ⅱ)若，求数列的前n项和.20.(本小题满分13分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知D点在直线A1B上，AD⊥平面A1(Ⅰ)求证：BC⊥AB; (Ⅱ)若BC=2,AB=4,AD=，P为AC边的中点，求三棱锥P-A1BC的体积.21.(本小题满分14分)已知函数(Ⅰ)求函数的极大值和极小值；(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)证明：.22.(本小题满分14分)已知曲线P：（）(Ⅰ)指出曲线P表示的图形的形状；(Ⅱ)当时，过点M（1,0）的直线l与曲线P交于A,B两点.①若,求直线l的方程；②求△OAB面积的最大值.黄冈市2015年3月高三年级调研考试文科数学参考答案一、选择题1-5ADBBC6-10ACBCD二、填空题11.4912.13.-14.-201515.①③④16.17.1三、解答题18.解：(Ⅰ)f(x)＝2(eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)cosx－eq\f(1,2)＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝sin(2x＋eq\f(π,6))…………5分令－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ得x∈[－eq\f(π,3)＋kπ，eq\f(π,6)＋kπ](k∈Z)即函数f(x)的单调递增区间为[－eq\f(π,3)＋kπ，eq\f(π,6)＋kπ](k∈Z)……………6分(Ⅱ)∵0＜A＜π∴eq\f(π,6)＜2A＋eq\f(π,6)＜eq\f(13,6)π,f(A)＝sin(2A＋eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),2)∴2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)或2A＋eq\f(π,6)＝eq\f(2,3)π，即A＝eq\f(π,12)或Ａ＝eq\f(π,4)…………8分①当A＝eq\f(π,12)时，C＝eq\f(2,3)π，a＝2eq\r(2)sinA＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)·2eq\r(2)＝eq\r(3)－1,S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(3－\r(3),2)………10分②当A＝eq\f(π,4)时，C＝eq\f(π,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝2…………12分19.解：(Ⅰ)由an2＝S2n－1令n＝１得a12＝S1＝a1解a1＝1令n＝2得a22＝S3＝3a2，得a2∵{an}为等差数列，∴an＝2n－1………………3分证明：∵bn＋10，eq\f(bn＋1＋1,bn＋1)＝eq\f(\f(1,2)bn－\f(1,2)＋1,bn＋1)＝eq\f(\f(1,2)(bn＋1),bn＋1)＝eq\f(1,2)又b1＋1＝eq\f(1,2)，故{bn＋1}是以eq\f(1,2)为首项公比为eq\f(1,2)的等比数列.………………6分(Ⅱ)由(1)知，=………12分20.(Ⅰ)证明：由AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC得AD⊥BC①又AA1⊥平面ABCAA1⊥BC②AA1∩AD＝A③由①②③得BC⊥平面A1ABBC⊥AB……6分(Ⅱ)Rt△ADB中，sin∠ABD＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，故∠ABD＝eq\f(π,3)Rt△AA1B中，AA1＝ABtan∠ABD＝4eq\r(3)故VP—A1BC＝VA1—PBC＝eq\f(1,2)VA1—ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)即三棱锥P－A1BC的体积为eq\f(8\r(3),3).……13分21.(1)∵f＇(x)=3x2+4x=x(3x+4)f(x)在(－∞,－eq\f(4,3))和(0,+∞)上递增，在(－eq\f(4,3),0)上递减∴f(x)的极大值为f(－eq\f(4,3))=eq\f(32,27)f(x)的极小值为f(0)=0.…………4分(2)f(x)≥ax+4xlnx恒成立,即x3+2x2－4xlnx≥ax对∀x∈(0,+∞)恒成立.也即a≤x2+2x－4lnx对x∈(0,+∞)恒成立.令g(x)=x2+2x－4lnx,只需a≤g(x)min即可.g＇(x)=2x+2－eq\f(4,x)=eq\f(2(x－1)(x+2),x),x∈(0,+∞)，y=g(x)在(0,1)上递减,(1,+∞)上递增g(x)min=g(1)=3,∴a≤3.…………9分(3)由(2)知x＞0时，x2+2x－4lnx≥3恒成立.即(x－1)(x+3)≥4lnx即eq\f((x－1)(x+3),4)≥lnx恒成立.令x=1+eq\f(1,n)得eq\f(4n+1,4n2)≥ln(1+eq\f(1,n))，即eq\f(4n+1,4n2)≥ln(n+1)－lnn故eq\f(4(n－1)+1,4(n－1)2)≥lnn－ln(n－1)…eq\f(42+1,422)≥ln3－ln2eq\f(41+1,412)≥ln2－ln1把以上n个式子相加得eq\f(41+1,412)+eq\f(42+1,422)+…+eq\f(4n+1,4n2)≥ln(n+1).……………14分22.(Ⅰ)当1＜m＜eq\f(7,2)时，曲线P表示焦点在y轴上的椭圆当m＝eq\f(7,2)时，曲线P表示圆当eq\f(7,2)＜m＜6时，曲线P表示焦点在x轴上的椭圆……4分(Ⅱ)当m＝5时，曲线P为eq\f(x2,4)＋y2＝1，表示椭圆依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：x＝y＋1，A(x1,y1)B(x2,y2)由eq\f(x2,4)＋y2＝1消去x得(2＋4)y2＋2y－3＝0△＞0，由韦达定理得eq\b\lc\{(\a\al(y1＋y2＝\f(－2,2＋4)①,y1y2＝\f(－3,2＋4)②))由得，y1＝－2y2代入①②得eq\b\lc\{(\a\al(－y2＝\f(－2,2＋4),－2y22＝\f(－3,2＋4)))…7分故eq\f(82,(2＋4)2)＝eq\f(3,2＋4)2＝eq\f(12,5)＝±eq\f(2\r(15),5)即直线l的方程为x±eq\f(2\r(15),5)y－1＝0.……9分②S△OAB＝S△OMA＋S△OMB＝eq\f(1,2)|OM|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)|y1－y2|＝eq\f(1,2)eq\r((y1＋y2)－4y1y2)＝eq\f(\r(162＋48),2(2＋4))＝eq\f(2\r(2＋3),2＋4)＝eq\f(2\r(2＋3),(2＋3)＋1)令eq\r(2＋3)＝t(t≥eq\r(3))S(t)＝eq\f(2t,t2＋1)当t