衢州市重点中学2024届高二数学第一学期期末统考试题含解析

衢州市重点中学2024届高二数学第一学期期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A. B.C. D.2．若数列是等差数列，其前n项和为，若，且，则等于（）A. B.C. D.3．已如双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.4．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（）A B.C. D.5．已知x是上的一个随机的实数，则使x满足的概率为（）A. B.C. D.6．若在1和16中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比为（）A. B.2C. D.47．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A B.C. D.8．已知为偶函数，且，则___________.9．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A. B.C. D.10．已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（）A. B.C. D.11．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A.虚轴长为4 B.焦距为C.焦点到渐近线的距离为4 D.渐近线方程为12．直线的倾斜角大小为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P，Q分别是棱BC，CD上的动点，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直线CC'与平面PQC'所成的角为30°，则△PQC'的面积的最小值是__14．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______15．已知平面和两条不同的直线，则下列判断中正确的序号是___________.①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；16．桌面排列着100个乒乓球，两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球人为胜利者．条件是：每次拿走球的个数至少要拿1个，但最多又不能超过5个，这个游戏中，先手是有必胜策略的，请问：如果你是最先拿球的人，为了保证最后赢得这个游戏，你第一次该拿走___个球三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.18．（12分）如图甲，平面图形中，，沿将折起，使点到点的位置，如图乙，使.（1）求证：平面平面；（2）若点满足，求点到直线的距离.19．（12分）设：实数满足，：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.20．（12分）已知数列的前n项和为，且，，数列满足：，，，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围21．（12分）某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，出现故障时需1名工人进行维修，且每台机器是否出现故障是相互独立的，每台机器出现故障的概率为（1）若出现故障的机器台数为X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障时能及时维修，都产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂在雇佣维修工人时，要保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%，雇佣几名工人使该厂每月获利最大？22．（10分）如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到、两点的距离之和为4.（1）求a的值和椭圆C的方程；（2）过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P，Q，求的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，∴点P到直线和直线的距离之和，∴当B，P，F三点共线时，最小，∵，∴，∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为故选：A2、B【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则解得：，所以.故选：B.3、A【解析】先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到，，利用勾股定理得到关于的等量关系，求出离心率.【详解】连接，设，则根据可知，，因为，由勾股定理得：，由双曲线定义可知：，，解得：，，从而，解得：，所以，，由勾股定理得：，从而，即该双曲线的离心率为.故选：A4、C【解析】由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.【详解】由底面是正方形，E为的中点，且，根据向量的运算法则，可得.故选：C.5、B【解析】先解不等式得到的范围，再利用几何概型的概率公式进行求解.【详解】由得，即，所以使x满足的概率为故选：B.6、A【解析】根据等比数列的通项得：，从而可求出.【详解】解：成等比数列，∴根据等比数列的通项得：，，故选：A.7、A【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.【详解】与x，y轴的交点，分别为，，点在圆，即上，所以，圆心到直线距离为，所以面积的最小值为，最大值为.故选：A8、8【解析】由已知条件中的偶函数即可计算出结果，【详解】为偶函数，且，.故答案为：89、A【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选：A.10、C【解析】求AB的中点坐标，根据直线所过的两点坐标求直线方程即可.【详解】由已知，AB中点为，又，∴所求直线斜率为，故直线方程为，即故选：C.11、D【解析】根据双曲线的性质逐一判断即可.【详解】在双曲线中，焦点在轴上，，，，所以虚轴长为6，故A错误；焦距为，故B错误；渐近线方程为，故D正确；焦点到渐近线的距离为，故C错误；故选：D.12、B【解析】将直线方程变为斜截式，根据斜率与倾斜角关系可直接求解.【详解】由直线可得，所以，设倾斜角为，则因为所以故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解析】设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由体积法求得的关系，由直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面积的最小值【详解】解：设三棱锥C﹣C′PQ的高为h，CQ＝x，CP＝y，由长方体性质知两两垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直线CC’与平面C’PQ成的角为30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由体积可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面积的最小值是8故答案为：814、【解析】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，根据为互斥事件，与为对立事件，从而可求出答案.【详解】记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，又，所以.故答案为：.15、②④【解析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.详解】若，则或，异面，或，相交，①错误；若，则，②正确；若，则或或与相交，③错误；若，则，④正确；故答案为：②④.16、4【解析】根据题意，由游戏规则，结合余数的性质，分析可得答案【详解】解：根据题意，第一次该拿走4个球，以后的取球过程中，对方取个，自己取个，由于，则自己一定可以取到第100个球.故答案为：4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；.【解析】（1）求出导函数，令，求出单调递增区间；令，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解.【详解】1函数的定义域是R，，令，解得令，解得或，所以的单调递增区间为，单调减区间为和；2由在单调递减，在单调递增，所以，而，，故最大值是.18、（1）证明见解析（2）【解析】(1)利用给定条件可得平面，再证即可证得平面推理作答.(2)由(1)得EA，EB，EG两两垂直，建立空间直角坐标系，先求出向量在向量上的投影的长，然后由勾股定理可得答案.【小问1详解】因为，则，且，又，平面，因此，平面，即有平面，平面，则，而，则四边形为等腰梯形，又，则有，于是有，则，即，，平面，因此，平面，而平面，所以平面平面.【小问2详解】由(1)知，EA，EB，EG两两垂直，以点E为原点，射线EA，EB，EG分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，因，四边形是矩形，则，即，，，由，则则则向量在向量上的投影的长为又,所以点到直线的距离19、（1）（2）【解析】（1）首先分别求出、为真时参数的取值范围，再由为真，取并集即可；（2）首先解一元二次不等式，依题意是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，即可得到不等式组，解得即可；【小问1详解】解：当时，，即，解得，即为真时，实数的取值范围为实数满足，即，解得：，即为真时，实数的取值范围为因，所以，即；【小问2详解】解：由，即，所以，因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，则可推出，而不能推出，则，解得；20、（1），；（2）；（3）.【解析】(1)由可得数列是等比数列，即可求得，由得数列是等差数列，即可求得.(2)由(1)可得，再利用错位相减法求和即得.(3)将问题等价转化为对任意恒成立，构造数列并判断其单调性，即可求解作答.【小问1详解】数列的前项和为，，，当时，，则，而当时，，即得，因此，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则，数列中，，，则数列是等差数列，而，，即有公差，则，所以数列，的通项公式分别是：，.【小问2详解】由(1)知，，则，则有，两式相减得：，从而得，所以数列的前n项和.【小问3详解】由(1)知，，依题意得对任意恒成立，设，则，当，，为单调递减数列，当，，为单调递增数列，显然有，则当时，取得最大值，即最大值是，因此，，所以实数k取值范围是.【点睛】思路点睛：一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解21、（1）答案见解析（2）雇佣3名【解析】（1）设出现故障的机器台数为X，由题意知，即可由二项分布求解；（2）设该厂雇佣n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保证在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修的概率不小于90%需要至少3人，再分别计算3人，4人时的获利即可得解.【小问1详解】每台机器运行是否出现故障看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障的概率为，4台机器相当于4次独立试验设出现故障的机器台数为X，则，，，，，，则X的分布列为：X01234P【小问2详解】设该厂雇佣n名工人，n可取0、1、2、3、4，设“在任何时刻多台机器同时出现故障能及时进行维修”的概率为，则：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保证在任何时刻多台机器同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%当该厂雇佣3名工人时，设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为17，12，，，∴Y的分布列为：Y1712P∴，∴该厂获利的均值为16.9万元当该厂雇佣4名工人时，4台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为100%，该厂获利的均值为