高中数学人教A版（2023）选修1 第二章 直线和圆方程综合解答题专项章节综合练习题（答案+解析）

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第二章直线和圆方程综合解答题专项

一、解答题

1．（2023高二下·东莞开学考）的三个顶点、、，D为BC中点，求：

（1）BC边上的高所在直线的方程；

（2）B边上的中线AD所在直线的方程．

2．（2023高三上·上海市开学考）已知圆C经过A（﹣1，0），B（2，3）两点，且圆心C在直线2x﹣y﹣4＝0上．

（1）求圆C的方程；

（2）过点（3，2）的直线l与圆C交于P，Q两点，求直线l的方程．

3．已知△ABC的三个顶点为，，，D为BC的中点，AD所在的直线为l．

（1）求l的一般式方程；

（2）若直线经过点B，且，求在y轴上的截距．

4．（2023高二上·临安开学考）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．

（1）求直线CD的方程；

（2）若，求点D横坐标．

5．（2023高二上·淮安开学考）已知圆经过、两点，且圆心在直线上．

（1）求圆的标准方程；

（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程．

6．（2023高二上·淮安开学考）在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.

（1）求点和点的坐标；

（2）求边上的高所在的直线的斜截式方程.

7．（2023高二上·淮安开学考）已知圆过两点，且圆心在直线上.

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.

8．（2023高二上·淮安开学考）已知圆M与直线x=2相切，圆心M在直线x+y=0上，且直线被圆M截得的弦长为2.

（1）求圆M的方程，并判断圆M与圆N：的位置关系；

（2）若在x轴上的截距为且不与坐标轴垂直的直线l与圆M交于A，B两点，在x轴上是否存在定点Q，使得若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.

9．（2023高二上·淮安开学考）已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线，，切点为.

（1）若，试求点的坐标；

（2）求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

10．（2023高二上·淮安开学考）已知圆.

（1）若圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程.

（2）点为圆上任意一点，过点引单位圆的切线，切点试探究：平面内是否存在一点和固定常数，使得？

11．已知直线l：与圆C：相交于A、B两点．

（1）若，求k；

（2）在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA、MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

12．（2023高二下·宝山期末）已知直线，.

（1）若，求实数的值；

（2）若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.

13．已知圆经过点和，且圆关于直线对称．

（1）求圆的方程；

（2）过点作直线与圆相切，求直线的方程．

14．已知抛物线，圆是上异于原点的一点.

（1）设是上的一点，求的最小值；

（2）过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.

15．（2023高二上·金华期末）圆经过点与直线相切，圆心的横、纵坐标满足．

（1）求圆的标准方程；

（2）直线交圆于A，B两点，当时，求直线l的方程．

16．（2023高二上·余姚期末）已知圆，直线．

（1）判断并证明直线l与圆C的位置关系；

（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程．

17．（2023高二上·定州期末）已知圆与圆

（1）求证：圆与圆相交；

（2）求两圆公共弦所在直线的方程；

（3）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．

18．（2023高二上·佛山期末）的三个顶点分别为，，，M是AB的中点.

（1）求边AB上的中线CM所在直线的方程；

（2）求的面积.

19．（2023高二上·湖北月考）已知圆的圆心在直线上，圆经过点并与直线相切．

（1）求圆的标准方程；

（2）若直线被圆截得的弦长为，求的值．

20．（2023高二上·定州期末）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．

（1）求直线的方程；

（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．

①角A的平分线所在直线方程为

②BC边上的中线所在的直线方程为

_____，求直线的方程．

21．（2023高二上·广州期末）已知圆的圆心为，且经过点.

（1）求圆的标准方程；

（2）已知直线与圆相交于两点，求.

22．（2023高二上·大兴期末）已知点和点是圆C直径的两个端点．

（1）求线段的中点坐标和圆C的方程；

（2）过点A作圆C的切线l，求切线l的方程．

23．（2023高二上·石景山期末）在中，边上的高所在的直线方程为边所在直线方程为．求点A和点C的坐标．

24．（2023高二下·焦作开学考）已知直线被圆截得的弦长为．

（1）求圆C的方程；

（2）若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系．

25．（2023高二上·温州期末）已知点及圆C：．

（1）求过P且与圆C相切的直线方程；

（2）以PC为直径的圆交圆C于A，B两点，求．

26．（2023高二上·南山期末）已知圆的圆心为，且经过坐标原点O．

（1）求的标准方程；

（2）设圆：，若与相交，求的取值范围．

27．（2023高二上·宝安期末）已知直线，．

（1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；

（2）若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值．

28．（2023·新高考Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.

29．（2023高二上·杭州月考）已知圆C的方程为．

（1）直线l过点，且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；

（2）点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．

30．（2023高二下·东莞开学考）已知圆与圆：关于直线对称．

（1）求圆的方程及圆与圆的公共弦长；

（2）设过点的直线l与圆交于M，N两点，O为坐标原点，求的最小值及此时直线l的方程．

答案解析部分

1．【答案】（1）解：、，，

所以BC边斜率，

故BC边上的高线的斜率，

故BC边上的高线所在直线的方程为，即

（2）BC中点，

中线AD所在直线的斜率为，

故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即

【解析】【分析】（1）求出直线BC的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.

（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.

2．【答案】（1）解：由题意设圆心，设圆的半径为r，则，

即（a+1）2+（2a﹣4）2＝（a﹣2）7+（2a﹣7）2，解得a＝2，所以圆心C（2，0）＝3，

所以圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝9；

（2）解：当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x＝3，12+y2＝9，可得，所以，显然符合条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+t，（3，2）在直线上，圆心C到直线l的距离d＝，

弦长|PQ|＝，可得d＝1，即，解得k＝，

所以直线PQ的方程为；

综上所述：直线l的方程为：x＝3或．

【解析】【分析】(1)设圆心，根据，求出，写出圆C的方程；

(2)分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算求解.

3．【答案】（1）解：由题意得，

则l的方程为，

即．

（2）解：设的方程为，

将代入，得，即，

所以在y轴上的截距为3．

【解析】【分析】（1）由题意得，再利用两点式求出直线l的方程；

（2）设的方程为，将代入可得，从而可得在y轴上的截距为3．

4．【答案】（1）解：因为四边形ABCD是平行四边形，

所以，则．

设直线CD的方程为（），即．

因为平行四边形ABCD的面积为8，，故AB与CD之间的距离为．

由题图知：直线AB的方程为，于是，解得．

由C，D在第一象限知：，所以，

故直线CD的方程为．

（2）解：设点D的坐标为，由，则．

所以，解得或，

故点D的横坐标为或2．

【解析】【分析】(1)根据平行关系直线CD的方程为，根据面积关系结合平行线间距离公式运算求解；

(2)设点D的坐标为，根据直线方程和长度关系列式求解.

5．【答案】（1）解：线段的中点为，直线的斜率为，

所以线段的中垂线方程为，即．

圆心为的中垂线与直线的交点，

联立，解得，故圆心为，

圆的半径，所以圆的标准方程为．

（2）解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意，

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

由题意可得，解得或.

的方程为或．

【解析】【分析】(1)、线段的中点为，直线的斜率为，求出中垂线方程，求出圆心，确定圆的标准方程.

(2)、直线的斜率存在，设直线的方程为，即，求出k的值，写出方程.

6．【答案】（1）解：由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，

由，

得，故，

由，

所以所在直线方程为，

所在直线方程为，

由，得

所以点和点的坐标为，.

（2）解：由（1）知所在直线方程为，

所以直线的斜率为，

因为，

所以直线所在的方程为，即，

所以直线的斜截式方程为.

【解析】【分析】(1)、由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，先求出斜率，求出AC方程与BC方程，求交点.

(2)、由（1）知所在直线方程为，所以直线的斜率为，把带去求出即可.

7．【答案】（1）解：根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，

因为，所以的中垂线方程为，即，

又因为圆心在直线上，联立解得所以圆心，

半径，

故圆的方程为．

（2）解：由题意得，．

当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

则，解得，

所以直线的方程为，即．

综上，直线的方程为或．

【解析】【分析】(1)、圆过两点，，设的中点为，则，求出的中垂线方程，求出圆心，写出圆的方程.

(2)、当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，求出k，写出圆的方程.

8．【答案】（1）解：设圆M的圆心为，半径为r，

因为圆M与直线x=2相切，所以，

又因为直线被圆M截得的弦长为2，所以

解得即圆心坐标为(0，0)，r=2，

所以圆M的方程为.

由题意知，圆N的圆心为(3，-4)，半径R=，

，.

因为，，

所以圆M与圆N相交

（2）解：存在.

设l：，，，

由得.

由根与系数的关系，得

假设存在Q(t，0)满足条件，

则，

由，得，

即

即

即且m≠0，所以.

所以存在满足条件.

【解析】【分析】(1)、设圆M的圆心为，半径为r，直线被圆M截得的弦长为2，求出圆心，写出方程.

(2)、设l：，，，由根与系数的关系，求出.

9．【答案】（1）解：设，

因为是圆的切线，，

所以，，

所以，解得，，

故所求点的坐标为，或.

（2）证明：设，的中点，

因为是圆的切线，

所以经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆。

故其方程为，

化简，得，此式是关于的恒等式，

所以，解得或，

所以经过，，三点的圆必过定点和.

【解析】【分析】(1)、设，因为是圆的切线，，求出MP，代入圆的方程求出.

(2)、设，的中点，经过，，三点的圆是以为圆心，为半径的圆，求出方程，求出定点.

10．【答案】（1）解：圆标准方程为，圆心为，半径为，

圆上恰有三个点到直线(斜率存在)的距离为1，则圆心到直线的距离为，

由题意截距不为0时，设直线方程，所以，，

所以直线方程为．

截距为0时，设方程为，即，由，解得或，

直线方程为或，

综上，直线方程为或，．

（2）解：假设存在一点和固定常数，使得，设，，

由切线长公式得，

所以，

，又，

整理得：，这是关于的恒等式，

所以．显然，解得或．

所以存在满足题意的点和，，或，．

【解析】【分析】(1)、圆标准方程为，圆心为，半径为，求出直线方程为，设方程为，即，由，解得或，即可求出.

(2)、由切线长公式得，整理得到关于的恒等式，求出即可.

11．【答案】（1）因为圆C：，

所以圆心坐标为，半径为2，因为，

所以C到AB的距离为，

由点C到直线的距离为：，解得；

（2）设，，l的方程为，

则，得，

因为，所以，，

设存在点满足题意，即，

所以，

因为，

所以，

所以，解得．

所以存在点符合题意．

【解析】【分析】

（1）先求出圆心和半径，再由点到直线的距离公式即可求得；

（2）联立直线与圆的方程，由韦达定理可得，的值，再结合斜率关系即可求得m值，从而可得答案.

12．【答案】（1）解：直线，．

则，解得或，

当时，，，则直线，重合，不符合题意；

当时，，，则直线，不重合，符合题意，

故.

（2）解：当，即时，，直线在两坐标轴上的截距为，

满足直线在两个坐标轴上的截距相等；

当且时，

则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，

由题意可知，，解得，

当时直线，显然不符合题意，

综上所述，或．

【解析】【分析】(1)由得到，解得m再进行检验即可；

（2）分截距等于0和不等于0两种情况讨论即可.

13．【答案】（1）解：∵，，故AB的中点坐标为，，

∴AB的垂直平分线为：，

由解得圆心，半径

故圆的方程为；

（2）解：若直线的斜率存在，方程可设为，即

圆心到直线的距离为，解得，

所求的一条切线为；

当直线的斜率不存在时，圆心到的距离为4，即与圆相切，

所以直线的方程为和．

【解析】【分析】(1)根据圆的性质，先求AB的垂直平分线方程，进而可求圆心和半径，即可得圆的方程；

(2)分类讨论直线的斜率是否存在，结合切线的性质运算求解.

14．【答案】（1）解：设，圆心，半径为，

，

所以当时，有最小值，

所以的最小值；

（2）解：由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为，

所以切线的方程为：，

由圆的切线性质可知：

，

设，

，是方程的两个不相等实根，

因此，即，且，

所以由圆的切线性质知：，

，

所以的坐标为或.

【解析】【分析】(1)根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；

(2)根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可求出点的坐标.

15．【答案】（1）解：设圆心坐标为，有．

得或（舍），

所以．

（2）解：直线截圆所得弦长，而圆半径，

因此圆心到直线距离为

所以，得．

从而直线l的方程．

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合直线与圆相切的位置关系判断方法和点到直线的距离公式得出b的值，从而得出a的值，进而得出圆的标准方程。

（2）利用直线截圆所得弦长得出圆的半径，再利用圆心到直线距离为和点到直线的距离公式得出m的值，从而得出直线l的方程。

16．【答案】（1）解：因为直线的方程为，

所以，

由得，，

所以直线恒过定点，

因为，

所以点在圆内，故直线与圆相交；

（2）解：因为圆的方程为，

所以点的坐标为，半径为2，

因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，

所以，故圆心到直线的距离，

直线斜率不存在时，直线的方程为，

因为点到直线的距离为1，

所以直线满足条件，即直线的方程可能为，

当直线斜率存在时，设直线方程为，

则圆心到直线的距离，解得，

所以直线的方程为，

故直线的方程为或.

【解析】【分析】（1）将直线的方程转化为，

由得出直线恒过定点，再利用点与圆位置关系判断方法判断出点在圆内，从而判断出直线与圆相交。

（2）利用圆的方程圆心坐标和半径长，再利用点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故，所以，再结合中点的性质得出圆心到直线的距，当直线斜率不存在时，直线的方程为，再利用点到直线的距离为1，所以直线满足条件，即直线的方程可能为，当直线斜率存在时，设直线方程为，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出k的值，从而得出直线的方程。

17．【答案】（1）证明：圆，圆心坐标为，半径，

圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，

圆心距，，所以圆与圆相交.

（2）解：两圆方程相减，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为.

（3）解：设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入直线可得，解得，所求圆的方程为

【解析】【分析】（1）利用圆得出圆心坐标和半径长，再利用圆化成标准方程为，从而得出圆心坐标和半径长，再结合两点距离公式得出圆心距，再利用圆心距和两圆半径和以及半径差的大小关系，进而判断出圆与圆相交。

（2）联立两圆方程，再由两圆方程相减，从而得出两圆公共弦所在直线的方程。

（3）设所求圆的方程为，即，进而得出圆心坐标，再结合已知条件，将圆心坐标代入直线可得的值，从而得出所求圆的一般方程。

18．【答案】（1）解：由题意可知：AB的中点M为，

则边AB上的中线CM所在直线的方程为，即.

（2）解：由（1）可得：，且点到直线CM的距离，

故的面积.

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点坐标公式得出点M的坐标，再利用两点式得出边AB上的中线CM所在直线的方程，再转化为边AB上的中线CM所在直线的一般方程。

（2）利用已知条件结合两点距离公式和点到直线的距离公式，再结合三角形的面积公式得出三角形的面积。

19．【答案】（1）解：设圆心，点在直线上，

则，解得．

则圆心，半径，所以圆的标准方程为．

或：设圆的标准方程为，

则有．

解得，则圆的标准方程为．

（2）解：由题意圆心到直线的距离为，

解得或，则或．

【解析】【分析】（1）设圆心，根据，求得，进而求得圆的标准方程；

（2）由圆心到直线的距离列出方程，即可求解.

20．【答案】（1）解：因为边上的高所在的直线方程为，

所以直线的斜率为，

又因为的顶点，

所以直线的方程为：，即；

（2）解：若选①，角A的平分线所在直线方程为，

由，解得，所以点A坐标为，

设点B关于的对称点为，

则，解得，

即坐标为，

又点在直线上，所以，

所以直线的方程为，即.

若选②：边上的中线所在的直线方程为，

由，解得，所以点，

设点，则的中点在直线上，

所以，

即，所以点C在直线上，

又点C在直线上，联立，

解得，即得，

所以，所以直线的方程为，

即直线的方程为.

【解析】【分析】（1）利用边上的高所在的直线方程为，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出直线的斜率，再利用三角形的顶点，从而结合点斜式得出直线的方程，再转化为直线的一般式方程。

（2）若选①，角A的平分线所在直线方程为，由得出交点A的坐标，设点B关于的对称点为，再结合中点坐标公式和代入法以及两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出点坐标，再利用点在直线上结合两点求斜率公式得出直线AC的斜率，再结合点斜式得出直线的方程，从而转化为直线的一般式方程。

若选②：利用边上的中线所在的直线方程为，由得出交点A的坐标，设点，则的中点在直线上，再结合代入法得出，所以点C在直线上，再利用点C在直线上，联立得出交点C的坐标，再结合两点求斜率公式得出直线的斜率，再利用点斜式得出直线AC的方程，再转化成直线的一般式方程。

21．【答案】（1）解：因为圆的圆心为，且经过点，

所以圆的半径，

所以圆的标准方程为.

（2）解：由（1）知，圆的圆心为，半径，

所以圆心到直线的距离，

所以由垂径定理，得.

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式和半径的定义，进而得出圆的半径长，从而得出圆M的标准方程。

（2）由（1）知圆的圆心坐标和半径的长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再由垂径定理，从而得出A，B的两点的距离。

22．【答案】（1）解：由点和点是圆C直径的两个端点，

可得的中点即为圆心C，根据中点坐标公式可得，

即线段的中点坐标为，根据两点间距离公式得直径，

所以圆C的半径为，

则圆的方程为

（2）解：根据题意可知直线与切线l垂直，直线的斜率为，

设切线l的斜率为，满足，得；

又切线l过点A，利用直线的点斜式方程得；

即切线l的方程为.

【解析】【分析】（1）由点和点可得中点，根据两点间距离公式得直径，可得圆的半径，进而可得圆的方程为；

（2）直线的斜率为，设切线l的斜率为，满足，得，利用直线的点斜式方程得，即可得解.

23．【答案】解：设边上的高线为，则直线联立可得点的坐标，即

即

又，所以的方程为，即

直线联立可得点的坐标，即，即

故，.

【解析】【分析】将BC边的高线与AC边的方程联立，解出A的坐标，利用C在AC上，且C也在BC上，列出方程组，求解可得C的坐标.

24．【答案】（1）解：由题可得圆的圆心C的坐标为，半径为．

∵圆心C到直线的距离为，

直线被圆C截得的弦长为，

∴，解得或1．

∵，∴，

故圆C的方程为；

（2）解：∵l的方程可化为，

∴

解得即l恒过定点．

∵圆心为，

∴点A在圆C内，从而直线l与圆C恒相交．

【解析】【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线的距离公式进行求解即可；

（2）根据直线方程的特征求出直线恒过定点，结合该点到圆心的距离与圆半径大小关系进行求解即可.

25．【答案】（1）解：由题知，圆C的圆心，

当k不存在时，，符合题意．

当k存在时，设直线方程为，即

，所以

∴，即

综上所述，切线方程为或

（2）解：以PC为直径的圆的方程为

所以AB直线方程为

所以C到直线AB的距离为

∴.

【解析】【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用点到直线的距离等于半径，即可求解出过P且与圆C相切的直线方程；

(2)两圆相减即可得公共弦所在的直线方程，再根据点到直线的距离公式与垂径定理即可求解出.

26．【答案】（1）解：由题意可知，圆的半径为，

所以，的标准方程为.

（2）解：易知，圆的圆心为，半径为，

根据两圆相交可知，，又，

解得，

即的取值范围是

【解析】【分析】（1）根据题意求得圆的半径为，进而的圆的标准方程；

（2）根据两圆相交，得到，进而求得的取值范围.

27．【答案】（1）解：当时，直线，

由，解得，

所以直线与的交点为，

由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，

当时，，

当时，，

因为直线在两坐标轴上的截距相反，

所以，即，

解得或，

所以直线的方程为或，

即或，

（2）解：因为坐标原点O到直线的距离为1，直线，

所以，

化简得，解得或.

【解析】【分析】（1）当时，得出直线，再联立两直线方程得出直线与的交点坐标，由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，再结合赋值法和求直线在坐标轴上的截距的方法以及直线在两坐标轴上的截距相反，所以，进而解方程得出k的值，从而得出直线的方程。

（2）利用坐标原点O到直线的距离为1和直线，再结合点到直线的距离公式得出实数a的值。

28．【答案】（1）设，由题意可得，化简得，

所以动点P的轨迹方程W为

（2）假设三点在W上，设且，因为ABCD为矩形，所以，

所以，

又，所以，

矩形ABCD周长

不妨设且

原式

令，，，，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增。∴

∴原式，即矩形ABCD的周长大于

【解析】【分析】(1)利用两点间距离等于点到坐标轴距离，求轨迹方程。

（2）利用矩形的两边垂直向量表示建立等式，寻找等量关系，利用两点间距离表示周长进而利用不等式的知识进行化简与放缩转化成单变量最值问题，结合导数分析其最值可得.

29．【答案】（1）解：圆C的圆心为坐标原点O，半径为.

设圆心O到直线l的距离为d，则．

①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，满足题意；

②当直