辽宁省辽河油田二中2023年数学高二上期末复习检测试题含解析

辽宁省辽河油田二中2023年数学高二上期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.2．已知不等式的解集为，关于x的不等式的解集为B，且，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.3．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（）A.120种 B.48种C.36种 D.18种4．已知，，则下列结论一定成立的是（）A. B.C. D.5．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A. B.C. D.6．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值7．已知双曲线：的右焦点为，过的直线（为常数）与双曲线在第一象限交于点.若（为原点），则的离心率为（）A. B.C. D.58．已知，若，则（）A. B.2C. D.e9．已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.10．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为A. B.C. D.11．已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B.C. D.12．已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则曲线在点处的切线方程是______.14．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________；15．若方程表示的曲线是圆，则实数的k取值范围是___________.16．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为__.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围18．（12分）王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.（1）求证：数列{-5000}为等比数列；（2）如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？19．（12分）已知点P到点的距离比它到直线的距离小1.（1）求点P的轨迹方程；（2）点M，N在点P的轨迹上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），求面积的最小值.20．（12分）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.（1）求m的值；（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和.21．（12分）排一张有6个歌唱节目和5个舞蹈节目的演出节目单.（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？22．（10分）已知公差不为0的等差数列满足：且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项和，求证是等差数列

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.【详解】对函数进行求导：，因为，，所以，因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，又因为，所以的解集为.故选：A2、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分离参数求解即可.【详解】由得，，解得，因为，所以所以可得在上恒成立，即在上恒成立，故只需，，当时，，故故选：B3、C【解析】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，再将另一奥运广告插入3个商业广告之间，最后对三个商业广告全排列，即可求解.【详解】先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有种，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有种；再考虑3个商业广告的顺序，有种，故共有种.故选：C.4、B【解析】根据不等式的同向可加性求解即可.【详解】因为，所以，又，所以.故选：B.5、A【解析】两直线垂直，斜率之积为，曲线与直线相切，联立方程令.【详解】法一：直线，所以，所以切线的，设切线的方程为，联立方程，所以，令，解得，所以切线方程为.法二：直线，所以，所以切线的，，所以令，所以，带入曲线方程得切点坐标为，所以切线方程为，化简得.故选：A.6、C【解析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.【详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为长方体的底面相邻两边分别为，，当且仅当时，等号成立，.故选:C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.7、D【解析】取双曲线的左焦点，连接,计算可得，即.设，则，，解得：，利用勾股定理计算可得，即可得出结果.【详解】取双曲线的左焦点，连接,,则因为，所以，即.,.设，则，，解得：.,,..故选：D8、B【解析】求得导函数，则，计算即可得出结果.【详解】,.,解得：.故选：B9、A【解析】将直线代入椭圆方程整理得关于的方程，运用韦达定理，求出中点坐标，再由条件得到，再由，，的关系和离心率公式，即可求出离心率.【详解】解：将直线代入椭圆方程得，，即，设，，，，则，即中点的横坐标是，纵坐标是，由于线段的中点在直线上，则，又，则，，即椭圆的离心率为.故选：A10、A【解析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为故选：A【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题11、B【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.【详解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴与的夹角为.故选：B.12、D【解析】由等比数列满足递增数列，可进行和两项关系的比较，从而确定和的大小关系.【详解】由等比数列是递增数列，若，则，得；若，则，得；所以等比数列是递增数列，或，；故等比数列是递增数列是递增数列的一个充分条件为，.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求导，得到，写出切线方程.【详解】因为，所以，则，所以曲线在点处的切线方程是，即，故答案为：14、【解析】函数，又函数在区间上单调递减∴在区间上恒成立即，解得:，当时，经检验适合题意故答案为【点睛】f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解15、【解析】根据二元二次方程表示圆的条件求解【详解】由题意，故答案为：16、【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角.【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，2，，，1，，，，设异面直线与所成角为，，异面直线与所成角为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，又，，所以，可得，则实数a的取值范围为18、（1）证明见解析（2）足够【解析】（1）由题意可得出递推关系，变形后利用等比数列的定义求证即可；（2）由（1）利用等比数列的通项公式求出，再求出，再计算即可得出结论.【小问1详解】依题意，第1个月底股票市值则又∴数列是首项为1200，公比为1.2的等比数列.【小问2详解】由（1）知∴∵，所以王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的.19、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件可得点P到点的距离等于它到直线的距离，再由抛物线定义即可得解.(2)由(1)设出点M，N的坐标，再结合给定条件及三角形面积定理列式，借助均值不等式计算作答.【小问1详解】因点P到点的距离比它到直线的距离小1，显然点P与F在直线l同侧，于是得点P到点的距离等于它到直线的距离，则点P的轨迹是以F为焦点，直线为准线的抛物线，所以点P的轨迹方程是.【小问2详解】由(1)设点，，且，因，则，解得，S，当且仅当，即时取“=”，所以面积的最小值为.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.20、（1）（2）所有项的系数和为，二项式系数和为【解析】(1)写出展开式的通项，求出其第4项系数和倒数第4项系数，列出方程即可求出m的值；(2)令x＝1即可求所有展开项系数之和，二项式系数之和为2m.【小问1详解】展开式的通项为：，∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，∴，即.【小问2详解】令可得展开式中所有项的系数和为，展开式中所有项的二项式系数和为.21、（1）（2）【解析】(1)用插空法，现排唱歌，利用产生的空排跳舞；（2）先排唱歌再排舞蹈.【小问1详解】解：先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有7个空位，从中选5个放入舞蹈节目，共有种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有种方法.【小问2详解】解：先排舞蹈节目有种方