湘教版（2023）必修第二册 3.1复数的概念 课件+学案（共2份打包）

第第页湘教版（2023）必修第二册3.1复数的概念课件+学案（共2份打包）3．1复数的概念

最新课程标准学科核心素养

1.通过方程的解，认识复数．2．理解两个复数相等的含义．1.理解复数的概念、表示法及相关概念．(数学抽象)2．理解复平面、实轴、虚轴的概念．(直观想象)3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的含义．(数学运算、逻辑推理)

教材要点

要点一复数的概念及其代数表示法

1．复数的定义：形如________(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做________，满足：i2＝________．

2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即________，这种表示形式叫做复数的代数形式，其中实数a叫做复数z的________，实数b叫做复数z的________．

要点二复数的分类

1．复数的分类

2．集合表示

要点三复数相等

两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)

相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di，当且仅当________且________．

状元随笔(1)理解复数与复数集的概念应注意以下几点

①复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

②复数的虚部是实数b而非bi.

③复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．

(2)复数代数形式的应用

①从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)

若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)

若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)

②当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()

(2)复数z1＝2i，z2＝i，则z1>z2.()

(3)复数z＝－1－2i的虚部是2i.()

(4)复数z＝bi是纯虚数．()

2．复数z＝－3－5i的实部和虚部分别是()

A．3和5iB．3和－5i

C．－3和－5iD．－3和－5

3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有()

A．m＝±1B．m＝－1C．m＝1D．m≠1

4．若x，y为实数且满足(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i，则x＝________，y＝________．

题型1复数的概念

例1(多选)下列说法中，错误的是()

A．复数由实数、虚数、纯虚数构成

B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n

C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数

D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数

方法归纳

利用复数的概念时的注意点

(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.

(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．

(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．

跟踪训练1下列说法中，正确的是()

A．1－ai(a∈R)是一个复数

B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数

C．两个复数一定不能比较大小

D．若a>b，则a＋i>b＋i

题型2复数的分类

例2已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，当实数m取什么值时，z是：

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数．

方法归纳

利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解，否则容易产生增根．特别要注意，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为a＝0且b≠0.

跟踪训练2(1)“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的()

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，

①z为实数？

②z为虚数？

③z为纯虚数？

题型3复数相等

例3(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值．

(2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．

方法归纳

复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解．

跟踪训练3(1)设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i，a，b∈R，则a＋bi＝()

A．2＋3iB．－3＋2iC．3－2iD．－3－2i

(2)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________．

(3)已知x2－y2＋2xyi＝2i，则z＝x＋yi＝________．

易错辨析对复数虚部的认识不清致错

例4若z＝i＋i2(i为虚数单位)，则z的虚部是()

A．1B．－1C．iD．－i

解析：z＝i＋i2＝－1＋i，∴z的虚部为1.

答案：A

易错警示

易错原因纠错心得

对复数虚部认识不清，认为虚部是i.对于复数的实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，而且要注意当a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．

课堂十分钟

1．复数1－2i的虚部为()

A．－2iB．2iC．－2D．2

2．“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a，b∈R)为纯虚数”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，则下面结论正确的是()

A．A＝CB．UA＝B

C．A∩(UB)＝D．B∪(UB)＝C

4．已知x，y∈R，i是虚数单位，x－i＋y＋xi＝3＋yi，则x＝________；y＝________．

5．若x，y∈R，且(x－1)＋yi>2x，求x，y的取值或取值范围．

3．1复数的概念

新知初探·课前预习

要点一

1．a＋bi虚数单位－1

2．z＝a＋bi实部虚部

要点二

1．b＝0b≠0a＝0a≠0

要点三

a＝cb＝d

[基础自测]

1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×

2．解析：由复数的代数形式可知实部为－3，虚部为－5.

答案：D

3．解析：∵z是纯虚数，∴解得

∴m＝－1.

答案：B

4．解析：由题意知

解得

答案：－1－4

题型探究·课堂解透

例1解析：A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n；C正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数；D错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．

答案：ABD

跟踪训练1解析：由复数的定义知A正确；当a∈R，b＝0时，a＋bi(b∈R)表示实数，故B项错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C项错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D项错误．

答案：A

例2解析：(1)z为实数时，m2－2m－15＝0，解得m＝5或m＝－3；

(2)z为虚数时，m2－2m－15≠0，解得m≠5且m≠－3;

(3)z为纯虚数时，m2－2m－15≠0，且m2＋5m＋6＝0，解得m＝－2.

跟踪训练2解析：(1)若a＝1，则复数z＝4i是纯虚数，

若复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i是纯虚数，

则a2－1＝0且a＋1≠0，

所以a＝1.

因此“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件．

(2)①要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.

②要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.

③要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.

答案：(1)A(2)见解析

例3解析：(1)由复数相等的充要条件，得解得

(2)设方程的实根为x＝m，

则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

所以解得a＝11或a＝－.

跟踪训练3解析：(1)由2＋ai＝b－3i，a，b∈R，得a＝－3，b＝2.则a＋bi＝－3＋2i.

(2)由复数相等的充要条件知

∴a＝－4.

(3)∵x2－y2＋2xyi＝2i

∴

解得或.

答案：(1)B(2)－4(3)1＋i或－1－i

[课堂十分钟]

1．解析：复数1－2i的虚部为－2.

答案：C

2．解析：a＝－2时，z＝(22－4)＋(－2＋1)i＝－i是纯虚数；z为纯虚数时，a2－4＝0，且a＋1≠0，即a＝±2.

∴“a＝－2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立．

答案：A

3．解析：由复数的分类可知D项正确．

答案：D

4．解析：依题意x＋y＋(x－1)i＝3＋yi，

所以.

答案：21

5．解析：∵(x－1)＋yi>2x，∴y＝0且x－1>2x，∴xz2.()

(3)复数z＝－1－2i的虚部是2i.()

(4)复数z＝bi是纯虚数．()

×

×

×

×

2．复数z＝－3－5i的实部和虚部分别是()

A．3和5iB．3和－5i

C．－3和－5iD．－3和－5

答案：D

解析：由复数的代数形式可知实部为－3，虚部为－5.

3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有()

A．m＝±1B．m＝－1C．m＝1D．m≠1

答案：B

解析：∵z是纯虚数，∴解得

∴m＝－1.

4．若x，y为实数且满足(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i，则x＝________，y＝________．

－1

－4

解析：由题意知解得

题型探究·课堂解透

题型1复数的概念

例1(多选)下列说法中，错误的是()

A．复数由实数、虚数、纯虚数构成

B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n

C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数

D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数

答案：ABD

解析：A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n；C正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数；D错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．

方法归纳

利用复数的概念时的注意点

(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.

(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．

(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．

跟踪训练1下列说法中，正确的是()

A．1－ai(a∈R)是一个复数

B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数

C．两个复数一定不能比较大小

D．若a>b，则a＋i>b＋i

答案：A

解析：由复数的定义知A正确；当a∈R，b＝0时，a＋bi(b∈R)表示实数，故B项错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C项错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D项错误．

题型2复数的分类

例2已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，当实数m取什么值时，z是：

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数．

解析：(1)z为实数时，m2－2m－15＝0，解得m＝5或m＝－3；

(2)z为虚数时，m2－2m－15≠0，解得m≠5且m≠－3;

(3)z为纯虚数时，m2－2m－15≠0，且m2＋5m＋6＝0，解得m＝－2.

方法归纳

利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解，否则容易产生增根．特别要注意，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为a＝0且b≠0.

跟踪训练2(1)“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的()

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：若a＝1，则复数z＝4i是纯虚数，

若复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i是纯虚数，

则a2－1＝0且a＋1≠0，

所以a＝1.

因此“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件．

答案：A

(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，

①z为实数？

②z为虚数？

③z为纯虚数？

解析：①要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.

②要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.

③要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.

题型3复数相等

例3(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值．

(2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．

解析：(1)由复数相等的充要条件，得解得

(2)设方程的实根为x＝m，

则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

所以解得a＝11或a＝－.

方法归纳

复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解．

跟踪训练3(1)设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i，a，b∈R，则a＋bi＝()

A．2＋3iB．－3＋2iC．3－2iD．－3－2i

解析：由2＋ai＝b－3i，a，b∈R，得a＝－3，b＝2.则a＋bi＝－3＋2i.

答案：B

(2)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________．

－4

解析：由复数相等的充要条件知∴a＝－4.

(3)已知x2－y2＋2xyi＝2i，则z＝x＋yi＝__________．

解析：∵x2－y2＋2xyi＝2i

∴解得或.

1＋i或－1－i

易错辨析对复数虚部的认识不清致错

例4若z＝i＋i2(i为虚数单位)，则z的虚部是()

A．1B．－1C．iD．－i

答案：