专题02全等三角形突破核心考点【知识梳理解题方法专题过关】（解析版）

专题02全等三角形突破核心考点【聚焦考点+题型导航】考点一全等图形的识别考点二全等三角形的性质考点三添加一个条件使三角形全等考点四全等三角形的判定考点五全等三角形判定的一线三等角模型考点六全等三角形判定的三垂直模型考点七全等三角形判定的倍长中线模型考点八全等三角形的动态问题考点九角的平分线的性质【知识梳理+解题方法】一、全等图形概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.全等图形特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等.二、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.记作:∆ABC≌∆A’B’C’读作：∆ABC全等于∆A’B’C’对应顶点：A和A’、B和B’、C和C’对应边：AB和A’B’、BC和B’C’、AC和A’C’对应角：∠A和∠A’、∠B和∠B’、∠C和∠C’对应元素的规律:(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；三、全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等.2.全等三角形周长、面积相等.四、证题的思路（难点）五、角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP六、角平分线常考四种辅助线：1.图中有角平分线，可向两边作垂线.2.角平分线加垂线，三线合一试试看.

3.角平分线平行线，等腰三角形来添.

4.也可将图对折看，对称以后关系出现.【专题过关+能力提升】考点一全等图形的识别例题：（2021·吉林·大安市乐胜乡中八年级阶段练习）下列四个选项中，不是全等图形的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形逐项判断即可．【详解】A．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；B．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意；C．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，故该选项符合题意；D．经过平移后可以完全重合，是全等图形，故该选项不符合题意．故选C．【点睛】本题考是全等图形的定义．掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市东元七年级阶段练习）下列四组图形中，是全等图形的一组是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】认真观察图形，可以看出选项中只有C中的两个可以旋转后重合，其它三个大小或形状不一致．【详解】解：由全等形的概念可知：A、B中的两个图形大小不同，D中的形状不同，C则完全相同故选：C．【点睛】本题考查的是全等形的识别，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形，属于较容易的基础题．2．（2022·全国·八年级专题练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据全等图形的概念判断即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；B、两个图形能够完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故本选项不符合题意；D、两个图形能完全重合，是全等图形，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是全等图形的概念，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题的关键．3．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据全等图形的判定方法分析解答．【详解】解：①两个图形的周长相等，这两个图形不一定全等；②两个图形的面积相等，这两个图形不一定全等；③能够完全重合的两个图形，这两个图形一定全等．正确的有③，故选：B．【点睛】此题考查了全等图形的判定，熟练掌握全等图形的判定定理是解题的关键．考点二全等三角形的性质例题：（2021·四川·东坡区实验八年级期中）如图，△ABC≌△DEF，若∠A=132°，∠FED=15°，则∠C等于（

）A．13° B．23° C．33° D．43°【答案】C【分析】根据△ABC≌△DEF，∠FED=15°，得∠CBA=15°，再根据三角形内角和即可得答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∠FED=15°，∴∠CBA=∠FED=15°，∵∠A=132°，∴∠C=180°-132°=15°=33°，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形全等的性质．【变式训练】1．（2022·贵州·贵阳市乌当区第三八年级期中）如图，△ABC≌△AEF，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据全等三角形的性质即可进行判断．【详解】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正确；∵△ABC≌△AEF，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；∠FAB＝∠EAB不一定相等，故②不符合题意；综上：正确的有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．2．（2022·吉林省实验八年级阶段练习）下列结论中正确的有（

）①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等；④全等三角形周长相等；⑤全等三角形面积相等．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】A【分析】根据全等三角形的性质依次判断即可得出结果．【详解】解：①全等三角形对应边相等，正确，符合题意；②全等三角形对应角相等，正确，符合题意；③全等三角形对应中线、对应高线、对应角平分线相等，正确，符合题意；④全等三角形周长相等，正确，符合题意；⑤全等三角形面积相等，正确，符合题意．所以正确的有5个，故选：A．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，深刻理解全等三角形的性质是解题关键．3．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）已知△ABC≌△DEF，AB＝3，AC＝4，△DEF的周长为10，则BC的值为______．【答案】3【分析】根据全等三角形的性质可进行求解．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为10，∴△ABC的周长为10，∵AB＝3，AC＝4，∴；故答案为：3．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．4．（2022·江西赣州·八年级期中）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝96°，∠BAC＝24°，那么∠AED＝______．【答案】60°##60度【分析】由题意易得∠C=60°，然后根据全等三角形的性质可求解．【详解】解：在△ABC中，∠B＝96°，∠BAC＝24°，∴，∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C=60°，故答案为60°．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点三添加一个条件使三角形全等例题：（2022·山东·济南市天桥区泺口实验七年级期中）如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需要添加一个条件是_______．（写出一个即可）【答案】BE=CE（答案不唯一）【分析】根据∠1=∠2可知∠AEB=∠AEC，判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，，AE=AE，根据全等三角形的判定定理即可确定．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠AEB=∠AEC，AE=AE，因而根据SAS可以添加条件：BE=CE；根据AAS可以添加条件：∠B=∠C；根据ASA可以添加条件∶∠BAE=∠CAE．故答案为：BE=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．【变式训练】1．（2022·广东·深圳市布心七年级期末）如图，已知AC=DB，再添加一个适当的条件______，使△ABC≌△BAD．（只需填写满足要求的一个条件即可）【答案】BC=AD或∠CAB=∠DBA（答案不唯一）【分析】要使△ABC≌△BAD，由于AC=DB，且AB是公共边，即已知两边对应相等，根据全等三角形的判定，可补充一组边相等或补充两边的夹角相等．【详解】解：添加BC=AD或∠CAB=∠DBA．添加BC=AD时，证明△ABC≌△BAD的理由如下：在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SSS）．添加∠CAB=∠DBA时，证明△ABC≌△BAD的理由如下：在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）．∴加一个适当的条件是BC=AD或∠CAB=∠DBA．故答案为：BC=AD或∠CAB=∠DBA．（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2020·北京·垂杨柳八年级期中）如图，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，那么要得到△ABC≌△DEF，可以添加一个条件是________，△ABC与△DEF全等的理由是________．【答案】

AC＝DF（答案不唯一）

SAS（答案不唯一）【分析】由已知一边一角相等，根据全等三角形的判定可知需要添加一组边或角相等即可证明△ABC≌△DEF；【详解】解：根据题意：AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，结合全等三角形的判定可知需要添加一组边或角相等即可证明△ABC≌△DEF：AC＝DF，SAS，或者BC＝EF，HL，或者∠B＝∠E，ASA，或者∠ACB＝∠DFE，AAS，故答案为：AC＝DF（答案不唯一），SAS（答案不唯一）．【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据图形与题意，熟练运用三角形全等的判定条件是解决问题的关键．3．（2022·浙江·金华市第五八年级期末）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE＝AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，需添加的一个条件是_____．【答案】【分析】根据题目条件和图形可知，AE＝AD，公共角，不添加新的线段和字母，要使△ABE和△ACD全等判定依据是AAS，添加的条件是即可得到结论．【详解】解：添加的条件是．理由如下：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL是解决问题的关键．4．（2022·湖南·新田县云梯八年级阶段练习）如图，AC＝AD，∠1＝∠2，只添加一个条件使△ABC≌△AED，你添加的条件是_____．【答案】∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．【分析】由∠1＝∠2可得∠CAB＝∠DAE，又有AC＝AD，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形，根据判定定理ASA、AAS、SAS添加条件．【详解】解：添加∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．①添加∠C＝∠D，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，∴∠CAB＝∠DAE，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（ASA）；②添加∠B＝∠E，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，∴∠CAB＝∠DAE，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS）；③添加AB＝AE，∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，∴∠CAB＝∠DAE，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），故答案为：∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．【点睛】此题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．5．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，不添加任何辅助线，再添加一个合适的条件：______，使△ABC≌△ADE．（只写出一种即可）【答案】∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）【分析】根据等式的性质可得∠BAC＝∠DAE，然后利用全等三角形的判定方法，即可解答．【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC，∴∠BAC＝∠DAE，∵AE＝AC，∴再添加AB＝AD，利用“SAS”可以证明△ABC≌△ADE；添加∠B＝∠D，利用“AAS”可以证明△ABC≌△ADE；添加∠C＝∠E，利用“ASA”可以证明△ABC≌△ADE．故答案为：∠B＝∠D（或∠C＝∠E或AB＝AD）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．考点四全等三角形的判定例题：（2021·江西·鹰潭市余江区正源七年级阶段练习）如图，点B，F，C，E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．【答案】见解析【分析】先根据BF＝CE，得出BC＝EF，然后根据“SAS”证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS、ASA、AAS、SSS和HL，是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑八年级）如图，A、E、F、C在一条直线上，AF＝CE，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB＝CD，求证：(1)△ABF≌△CDE(2)BG＝DG【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用HL证明△ABF≌△CDE，即可；（2）根据，可得，利用AAS证明，即可求证．（1）证明：∵，∴，在和中，，，∴；（2）证明：∵，∴，在和中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2020·北京八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，ABDE，∠A=∠D．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若BE=10m，BF=3m，则FC的长度为m．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．（1）证明：∵ABDE∴∠ABC=∠DEF在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF(ASA)（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC，∵BE=10m，BF=3m，∴FC=10﹣3﹣3=4m．故答案为：4．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．3．（2021·吉林·大安市乐胜乡中八年级阶段练习）如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB=CD，BC=DE．(1)求证：△ABC≌△CDE；(2)将△ABC沿射线AC方向平移得到△，边与边CD的交点为F，连接EF，若EF将CDE分为面积相等的两部分，且AB=4，则CF=【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）首先由点C为AE的中点得出，再根据SSS证明△ABC≌△CDE即可；（2）根据平移的性质得再由EF将CDE分为面积相等的两部分得（1）证明：∵点C为AE的中点，∴在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（2）解：将△ABC沿射线AC方向平移得到，且AB=4，∴∵边与边CD的交点为F，连接EF，EF将CDE分为面积相等的两部分，如图∴故答案为：2【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及平移的性质，根据SSS证明△ABC≌△CDE是解答本题的关键．考点五全等三角形判定的一线三等角模型例题：（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作，DE交线段AC于E．(1)点D从B向C运动时，逐渐变__________（填“大”或“小”），但与的度数和始终是__________度．(2)当DC的长度是多少时，，并说明理由．【答案】(1)小；140(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和即可得出结论；（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．(1)在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，设∠BAD=x°，∠BDA=y°，∴40°+x+y=180°，∴y=140-x（0＜x＜100），当点D从点B向C运动时，x增大，∴y减小，+=180°-故答案为：小，140；(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，三角形的内角和公式，解本题的关键是分类讨论．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如图1，求证：BD＝CE；(2)如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【答案】(1)见解析(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△DCE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性质可得∠B=∠C，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．(1)证明：在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE．(2)解：∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定，明确角度的数量关系是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）（1）如图①，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF．（2）应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，且CD＝2BD，点E，F在线段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，求△ABE与△CDF的面积之和．【答案】（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）利用外角的性质和已知角的关系证明∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，利用ASA即可证明△ABE≌△CAF；（2）同（1）证明△ABE≌△CAF，推出S△ABE＝S△CAF，S△ABE+S△CDF＝S△CAF+S△CDF＝S△ACD，根据CD＝2BD可知，计算求解即可．【详解】解：（1）证明如下：∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）；（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）∴S△ABE＝S△CAF，∴S△ABE+S△CDF＝S△CAF+S△CDF＝S△ACD，∵CD＝2BD，△ABC的面积为15，∴S△ACD＝S△ACD＝S△ABC＝，∴S△ABE+S△CDF＝10．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△CAF并掌握“等高三角形面积比等于底边边长之比”是解题的关键．3．（2022·河南郑州·七年级期末）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由见解析(3)△FBD与△ACE的面积之和为4【解析】【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ABF即可得出结果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，设△ABC的底边BC上的高为h，则△ABF的底边BF上的高为h，∴S△ABC＝BC•h＝12，S△ABF＝BF•h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD与△ACE的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．考点六全等三角形判定的三垂直模型例题：（2021·福建·武夷山市第二八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若AD=12，BE=5，求ED的长．【答案】（1）见解析；（2）ED的长为7．【解析】【分析】（1）根据AAS证明三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质得到AD=CE=12，CD=BE=5，从而求得ED的长．【详解】解：（1）证明：∵BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，∴∠CEB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，又∵AC=BC，∴≌；（2）由（1）知，≌，∴BE=CD，CE=AD，∵AD=12，BE=5，∴CE=12，CD=5，∴ED=CE－CD=12－5=7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2021·天津·八年级期中）在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E．(1)如图（1）所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE＝；(2)若直线AE绕点A旋转到图（2）位置时，（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直线AE绕点A旋转，（BD＞CE），问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．【答案】(1)BD﹣EC(2)BD＝DE﹣CE．见解析(3)当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【解析】【分析】（1）通过互余关系可得∠ABD＝∠CAE，进而证明△ABD≌△ACE（AAS），即可求得BD＝AE，AD＝EC，进而即可求得关系式；（2）方法同（1）证明△ABD≌△CAE（AAS），进而得出结论；（3）综合（1）（2）结论，分当B，C在AE的同侧或异侧时，写出结论即可．(1)结论：DE＝BD﹣EC．理由：如图1中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝EC，∴BD＝DE+CE，即DE＝BD﹣EC．故答案为：BD﹣EC；(2)结论：BD＝DE﹣CE．理由：如图2中，∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，AD＝EC，∴BD＝DE﹣CE；(3)归纳：由（1）（2）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE；当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)90°(2)见解析(3)CD=BE+DE，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．(2)证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由图可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由图可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．3．（2022·广东·河源广赋创新八年级阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于．(1)当直线绕点旋转到①的位置时，求证：①≌；②；(2)当直线绕点旋转到②的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到③的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)证明见解析(3)，证明见解析【分析】（1）①先根据垂直的定义可得，，再根据直角三角形的性质可得，然后利用定理即可得证；②先根据全等三角形的性质可得，，再根据、等量代换即可得证；（2）同（1）的方法，先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据、等量代换即可得证；（3）同（1）的方法，先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据、等量代换即可得出结论．（1）证明：①，，，，，，，在与中，，；②由（1）①已证：，，，．（2）证明：，，，，，，，在与中，，，，，．（3）解：，证明如下：，，，，，，，在与中，，，，，．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定、垂线的定义等知识点，解题的关键是推出证明和全等的三个条件．4．（2021·北京·东北师范大学附属朝阳八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l不与底边AB相交时，①求证：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明．（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D（D不与AB点重合），请你探究直线l，EF、AE、BF之间的关系．（直接写出）【答案】（1）①证明见解析，②EF＝AE+BF；证明见解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【解析】【分析】（1）①根据∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC＝∠FCB即可；②根据AAS证△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，②EF＝AE+BF；证明：在△EAC和△FCB中，，∴△EAC≌△FCB（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE+CF＝AE+BF，即EF＝AE+BF；（2）①当AD＞BD时，如图①，∵∠ACB＝90°，AE⊥l直线，同理可证∠BCF＝∠CAE（同为∠ACD的余角），又∵AC＝BC，BF⊥l直线即∠BFC＝∠AEC＝90°，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，CE＝BF，∵CF＝CE+EF＝BF+EF，∴AE＝BF+EF；②当AD＜BD时，如图②，∵∠ACB＝90°，BF⊥l直线，同理可证∠CBF＝∠ACE（同为∠BCD的余角），又∵AC＝BC，BE⊥l直线，即∠AEC＝∠BFC＝90°．∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．考点七全等三角形判定的倍长中线模型例题：（2021·甘肃·庄浪县阳川八年级期中）已知△ABC中，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是______．【答案】0.5＜AD＜3.5【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∴0.5＜AD＜3.5．故答案为：0.5＜AD＜3.5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广东·深圳市龙岗区丰丽七年级期末）（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围；（2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围；（2）延长AE，DC相交于点F，利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论．【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，在和中，∴(SAS)，∴DE=MF=3，∵DF-MF＜DM＜DF+MF，∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，∵，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5；（2）AD=CD+AB，理由如下：解：延长AE，DC相交于点F，∵，∴∠BAE=∠F，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，在和中，∴（AAS），∴AB=CF，∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，∴∠F=∠DAF，∴AD=FD，∵FD=CD+CF，CF=AB，∴AD=CD+AB．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线．2．（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．3．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，∵P为BD的中点，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．考点六全等三角形的动态问题例题：（2021·四川·东坡区实验八年级期中）如图，在∆ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A点出发，沿A→C路径向终点C运动；点Q从点B出发，沿B→C→A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动．其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P运动时间为_____时，∆PEC与∆QFC全等．【答案】1s或3.5s【分析】推出CP=CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，求出即可得出答案．【详解】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△CFQ，∵△PEC≌△CFQ，∴斜边CP=CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP=6-t，CQ=8-3t，∴6-t=8-3t，∴t=1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=6-t=3t-8，∴t=3.5；答：点P运动1s或3.5s时，△PEC与△QFC全等．故答案为：1s或3.5s．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点，能根据题意得出方程是解此题的关键．【变式训练】1．（2021·贵州·兴义市万峰林民族八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0<t<3）．解答下列问题：（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值；（2）是否存在某一时刻t，使若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由．【答案】（1）的值为2．（2）存在，的值为1，．【分析】（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，利用垂直平分线的性质，得到，之后列出关于t的方程，求出t的值即可．（2）当时，根据对应边，列出关于t的方程，求出t的值，之后利用全等三角形的性质，得到对应角相等，最后证得．【详解】（1）解：由题意可知：，，点C在线段PQ的垂直平分线上，，故有：，解得：的值为2．（2）解：，，，即．四边形ABCD是长方形，．在中，且，，．【点睛】本题主要是考查了垂直平分线和全等三角形的性质，熟练应用相关性质找到对应边相等，求出时间t，是解决本题的关键，另外，关于线段关系，一般以垂直关系为多．2．（2021·海南华侨八年级期中）如图，在△ABC中，AB=24cm，AC=16cm，∠BAD=∠CAD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，动点P以每秒2cm的速度从A点向B点运动，动点Q以每秒1cm的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）求证：△AED≌△AFD；（2）若AE=10cm，当t取何值时，△DEP与△DFQ全等．【答案】（1）见解析；（2）t=4或【分析】（1）利用直接证明△AED≌△AFD即可；（2）先求解再分三种情况讨论，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，再利用全等三角形的对应边相等建立方程，解方程即可得到答案.【详解】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠BAD=∠CAD，AD=AD．∴△AED≌△AFD(AAS)．（2）∵△AED≌△AFD∴DE=DF，AF=AE=10．∴CF=6若△DEP与△DFQ全等，且DE=DF，∠DEP=∠DFQ=90°，∴EP=FQ，①当0＜t＜5时，点P在线段AE上，点Q在线段CF上，∴EP=10﹣2t，FQ=6﹣t∴10﹣2t＝6﹣t，∴t=4；②当5≤t＜6时，点P在线段BE上，点Q在线段CF上，∴EP=2t-10，FQ=6﹣t∴2t-10=6﹣t，∴t=

③当6≤t＜12时，点P在线段BE上，点Q在线段AF上，∴EP=2t-10，FQ=t﹣6∴2t-10=t-6，∴t=4（不合题意，舍去）．综上所述，当t=4或时，△DEP与△DFQ全等．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，动态三角形全等问题，清晰的分类讨论是解题的关键.3．（2021·吉林长春·八年级期中）如图①，线段，过点B、C分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为．（1）当，________，用含a的代数式表示的长为_______．（2）当时，①求证：．②求证：．（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的a、t的值．【答案】（1）4，a；（2）①见解析；②见解析；（3）a＝2，t＝1或，【分析】（1）根据题意得：，，即可求解；（2）①根据题意可得BP＝CQ＝2，从而得到CP＝AB，即可求证；②根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角性质，即可求解；（3）分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：，，∴；

（2）①∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°．∵

，

∴BP＝CQ＝2，∵BC=6，∴CP＝AB=4，

∴△ABP≌△PCQ；

②∵△ABP≌△PCQ，∴∠A＝∠CPQ，

∵∠APC＝∠CPQ+∠APQ，∠APC＝∠A+∠B，∴∠APQ=∠B＝90°．

∴AP⊥PQ；

（3）当△ABP≌△PCQ时，即PC=AB=4，QC=BP=2t，∴BP=BC-PC=2，∴2t=2，解得：t=1，∴QC=2，∴，当△ABP≌△QCP时，即QC=AB=4，BP=CP=，∴，∴，

综上所述，当与全等时，a＝2，t＝1或，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，动点问题，明确题意，准确得到全等三角形是解题的关键．考点九角的平分线的性质1．（2022·江苏·南京市金陵河西分校七年级期末）在中，，若，平分交于点，且：：，则点到线段的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出的长度，根据角平分线的性质即可求出答案．【详解】解：，：：，，，平分，，∠C=90°，，故选：B．【点睛】本题考查角平分线，解题的关键是求出的长度，本题属于基础题型．2．（2022·陕西·西大附中浐灞八年级阶段练习）如图，在△ABC中，BD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝4，BC＝6，DF＝2，则AE的长为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】过作于，依据平分，，，即可得到，再根据的面积算法，即可得到的长．【详解】解：如图所示，过作于，平分，，，，，，即，，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的面积以及角平分线的性质，解决问题的关键是面积法的运用．3．（2022·重庆市巴渝八年级期中）如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为4，的面积为8，，则的长为_____．【答案】6【分析】根据垂直的定义得到∠CHD＝90°，根据三角形的面积求得DH＝，过D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝，于是得到结论．【详解】解：∵BH⊥AC，∴∠CHD＝90°，∵△DCH的面积为4，CH＝3，∴DH＝，过D作DE⊥BC于E，∵CD平分∠ACB交BH于点D∴DE＝DH＝，∵△BCD的面积为8，∴DE•BC＝BC＝8，∴BC＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．4．（2021·贵州·黔西南州金成实验八年级阶段练习）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．【答案】3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．故答案为：3．【