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第十二章实数专项训练

知识点一、平方根和算术平方根的概念

1.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,求m的值.

举一反三:

【变式】

2.已知2-1与-+2是的平方根,求的值.

3.为何值时,下列各式有意义?

(1);(2);(3);(4).

举一反三:

【变式】

4.已知,求的算术平方根.

知识点二、平方根的运算

5.求下列各式的值.

(1);(2).

知识点三、利用平方根解方程

6.求下列各式中的.

(1)

(2);

(3)

举一反三:

【变式】

7.求x的值:(x﹣2)2=4.

知识点四、平方根的综合应用

8.若x,y为实数,且满足.求的值.

举一反三:

【变式】

9.若,求的值.

10.小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?通过计算说明.

知识点五、立方根的概念

11.下列结论正确的是()

A.64的立方根是±4B.是的立方根

C.立方根等于本身的数只有0和1D.

举一反三:

【变式】

12.我们知道a+b=0时,a3+b3=0也成立,若将a看成a3的立方根,b看成b3的立方根,我们能否得出这样的结论:若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.

(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立;

(2)若与互为相反数,求1-的值.

知识点六、立方根的计算

13.求下列各式的值:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

举一反三:

【变式】

14.计算:

(1);

(2);

(3);

(4).

知识点七、利用立方根解方程

15.求下列各式中x的值:

(1)3(x﹣1)3=24.

(2)(x+1)3=﹣64.

举一反三:

【变式】

16.求出下列各式中的:

(1)若=0.343,则=;

(2)若-3=213,则=;

(3)若+125=0,则=;

(4)若=8,则=.

知识点八、立方根实际应用

17.在做物理实验时,小明用一根细线将一个正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中,并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64,小明又将铁块从水中提起,量得烧杯中的水位下降了.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少?

举一反三:

【变式】

18.将棱长分别为acm和bcm的两个正方体铝块熔化,制成一个大正方体铝块,这个大正方体铝块的棱长为________cm.(不计损耗)

知识点九、次方根的运算

19.(1)求的5次方根;

(2)求的6次方根.

知识点十、实数概念

20.把下列各数分别填入相应的集合内:

,,,,,,,,,,0,0.3737737773……(相邻两个3之间7的个数逐次增加1)

举一反三:

【变式】

21.判断正误,在后面的括号里对的填写“正确”,错的填写“错误”,并说明理由.

(1)无理数都是开方开不尽的数.()

(2)无理数都是无限小数.()

(3)无限小数都是无理数.()

(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.()

(5)不带根号的数都是有理数.()

(6)带根号的数都是无理数.()

(7)有理数都是有限小数.()

(8)实数包括有限小数和无限小数.()

知识点十一、实数大小的比较

22.比较与的大小.

举一反三:

【变式】

23.若两个连续整数x,y满足x<+1<y,则x+y的值是.

知识点十二、实数的运算

24.求的值.

举一反三:

【变式】

25.若的两个平方根是方程的一组解.

(1)求的值;

(2)求的算术平方根.

知识点十三、实数的综合运用

26.已知:(a+6)2+=0,则2b2﹣4b﹣a的值为.

举一反三:

【变式】

27.已知,求的值.

知识点十四、近似数和有效数字

28.下列由四舍五入得到的近似数,它们精确到哪一位,各有几个有效数字.

(1)(2)亿;(3)

知识点十五、分数指数幂的运算

29.把下列方根化为幂的形式:

(1);(2);(3);(4).

举一反三:

【变式】

30.根式(,为正整数,>1)用分数指数幂可表示为()

A.B.C.D.

31.口算:

(1);(2);(3);(4).

举一反三:

【变式】

32.口算:(1);(2);(3).

33.用计算器计算,结果保留三位小数:

(1);(2);(3).

34.计算:

(1);(2);(3);(4)

实数章节题型总结:

知识点一、有关方根的问题

35.一个正数m的平方根是2a3与5a,求a和m.

举一反三:

【变式1】

36.已知,求的平方根.

【变式2】

37.若和互为相反数,试求的值.

38.已知M是满足不等式的所有整数a的和,N是满足不等式的最大整数.求M+N的平方根.

知识点二、与实数有关的问题

39.已知a是的整数部分,b是它的小数部分,求(-a)3+(b+3)2的值.

举一反三:

【变式】

40.若k<<k+1(k是整数),则k=()

A.6B.7C.8D.9

41.阅读理解,回答问题.

在解决数学问题的过程中,有时会遇到比较两数大小的问题,解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征,采用相应办法,其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法:若->0,则>;若-=0,则=;若-<0,则<.

例如:在比较与的大小时,小东同学的作法是:

请你参考小东同学的作法,比较与的大小.

举一反三:

【变式】

42.实数在数轴上的位置如图所示,则的大小关系是:;

43.用四舍五入法,按括号中的要求把下列各数取近似数

(1)万(精确到千位);(2)12341000(精确到万位);(3)0.03056(保留3个有效数字)

44.计算:

(1);(2);(3);(4)

知识点三、实数综合应用

45.已知a、b满足,解关于x的方程.

举一反三:

【变式】

46.设、、都是实数,且满足,求代数式的值.

47.学习了无理数后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:估算的近似值.小明的方法:

因为,

所以设,则.

所以,所以,解得.

所以.

(1)请你依照小明的方法,估算的近似值;

(2)请结合上述具体实例概括出估算的公式:已知非负整数a,b,m,若,且,则________(用含a,b的代数式表示)

(3)请用(2)中的结论估算的近似值.

补充练习:

一、单选题(共6小题)

48.下列六个数:0、、、、-、中,无理数出现的频数是().

A.3B.4C.5D.6

49.的值为()

A.B.C.D.

50.已知x为实数,且=0,则x2+x﹣3的平方根为()

A.3B.﹣3C.3和﹣3D.2和﹣2

51.若规定,f(x)表示最接近x的整数(x≠n+0.5,n整数)例如:f(0.7)=1,f(2.3)=2,f(5)=5,则f(1)+f()+f()+…+f()的值()

A.16B.17C.18D.19

52.已知数a,b,c的大小关系如图,下列说法:①ab+ac>0;②﹣a﹣b+c<0;③;④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|=﹣2b;⑤若x为数轴上任意一点,则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b.其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

53.如图,数轴上有O,A,B,C,D五点,根据图中各点所表示的数,表示数的点会落在()

A.点O和A之间B.点A和B之间C.点B和C之间D.点C和D之间

二、填空题(共6小题)

54.计算:.

55.已知实数,满足那么代数式的值为.

56.对于任意两个实数a、b,定义运算“☆”为:.如,根据定义可得.

57.若a,b为实数,且|a﹣1|+=0,则(a+b)2023的值为.

58.把无理数,,,-表示在数轴上,在这四个无理数中,被墨迹(如图所示)覆盖住的无理数是.

59.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,如[4]=4,[]=1,如[﹣2.5]=﹣3,现对82进行如下操作:82[]=9[]=3[]=1,这样对82只需进行3次操作后变为1,类似地,按照以上操作,只需进行3次操作后变为2的所有正整数中,最大的正整数是.

三、解答题(共4小题)

60.计算:

(1).

(2).

61.如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,根据图回答下列问题:

(1)比较大小:a﹣10;b+10;c+10;

(2)化简﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|.

62.计算.

(1)已知、满足,且,求的平方根.

(2)已知实数、,在数轴上的对应点如图所示,化简.

(3)已知、满足,求的值.

63.先阅读所给材料,再解答下列问题:若与同时成立,求x的值?

解:和都是算术平方根,故两者的被开方数x﹣1≥0,且1﹣x≥0,而x﹣1和1﹣x是互为相反数.两个非负数互为相反数,只有一种情形成立,那就是它们都等于0,即x﹣1=0,1﹣x=0,故x=1.

解答问题:已知y2,求xy的值.

参考答案:

1.1或-3.

【分析】依据平方根的性质列方程求解即可.

【详解】解:当2m-4=3m-1时,m=-3,

当2m-4+3m-1=0时,m=1.

故答案为1或-3.

【点睛】本题主要考查的是平方根的性质,明确2m-4与3m-1相等或互为相反数是解题的关键.

2.1或9.

【分析】根据平方根的性质列出方程,得出a的值,即可得出m的值

【详解】解:2-1与-+2是的平方根,所以2-1与-+2相等或互为相反数.

①当2-1=-+2时,=1,所以=

②当2-1+(-+2)=0时,=-1,所以

【点睛】本题考查了平方根的性质和解一元一次方程,熟练掌握平方根的性质是解题的关键

3.(1)取任何值;(2)x≥4;(3);(4)且.

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件加以判断即可.

【详解】解:(1)∵,

∴当取任何值时,都有意义.

(2)由题意可知:,

解得,

∴当时,有意义.

(3)由题意可知:,

解得,.

∴当时,有意义.

(4)由题意可知:,

解得,且.

∴当且时,有意义.

【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件、一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法等知识点,熟知二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.

4..

【分析】根据算术平方根的定义可得解不等式组,求出a,b,代入求值即可.

【详解】解:根据题意,得

则,

∴=2,

∴,

∴的算术平方根为.

【点睛】本题考核知识点:算术平方根,解不等式组.理解算术平方根定义和解不等式组方法是关键.

5.(1)35;(2)-1.7

【分析】(1)根据实数的性质化简即可求解;

(2)根据实数的性质化简即可求解.

【详解】解:(1);

(2).

【点睛】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方,再乘除,后加减,同一级运算按先后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解,熟练后直接根据来解.

6.(1);(2)=16或=-18;(3)或

【分析】用直接开平方解方程即可

【详解】(1)∵

(2)∵

∴+1=±17

=16或=-18.

(3)∵

【点睛】本题考查了直接开平方法解方程,开平方法是解题的关键.

7.x1=8,x2=﹣4.

【分析】根据平方根的性质定义即可求解.

【详解】解:∵(x﹣2)2=4,

∴(x﹣2)2=36,

∴x﹣2=6或x﹣2=﹣6,

解得:x1=8,x2=﹣4.

【点睛】此题主要考查平方根的应用,解题的关键是熟知平方根的性质特点.

8.1

【分析】利用非负数的性质求出x与y的值,原式整理后代入计算即可求出值.

【详解】解:∵,

∴,

∴,,

则原式=.

【点睛】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题,先由非负性解出x,y,然后代入求值即可.

9.2或0.

【分析】根据算术平方根的非负性求出x,y,故可求解.

【详解】解:由,得,,即,.

①当=1,=-1时,.

②当=-1,=-1时,.

【点睛】此题主要考查代数式求值,解题的关键是熟知算术平方根的非负性.

10.不能剪出符合要求的纸片;理由见解析.

【分析】首先设长方形的长为3xcm,则宽为2xcm,根据面积求出矩形的长和宽,然后与正方形的边长进行比较大小,如果大于正方形边长则不能剪出.

【详解】解:设长方形的长为3xcm,则宽为2xcm,

根据题意得:3x·2x=300,

解得:x=5或x=-5(舍去),

则3x=15cm,2x=10cm,

∵正方形的面积为400,

∴边长为20cm,

∵15cm>20cm,

∴不能剪出符合要求的纸片.

11.D

【分析】利用立方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解:A.64的立方根是4,故错误;

B.是的立方根,故错误;

C.立方根等于本身的数只有0,1和-1,故错误;

D.,故正确;

故选D.

【点睛】本题考查了立方根.解题的关键是了解立方根的定义及求法.

12.(1)成立;(2)-1

【试题分析】举例:8和-8的立方根分别为2和-2.2和-2互为相反数,则8和-8也互为相反数;

(2)根据(1)的结论,1-2x+3x-5=0,解得:x=4,则=1-2=-1.

【试题解析】(1)8和-8的立方根分别为2和-2;2和-2互为相反数,则8和-8也互为相反数(举例符合题意即可),成立.

(2)根据(1)的结论,1-2x+3x-5=0,解得:x=4,则=1-2=-1.故答案为-1.

【方法点睛】本题目是一道关于立方根的拓展题目,根据立方根互为相反数得到这两个数互为相反数;反之也成立.运用了从特殊的到一般的数学思想.

13.(1);(2)9;(3);(4)1;(5)

【分析】(1)根据立方根的定义即可化简求解;

(2)根据立方根的定义即可化简求解;

(3)根据立方根的定义即可化简求解;

(4)根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解;

(5)根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解.

【详解】解:(1)

(2)=

(3)

(4)

(5).

【点睛】此题主要考查实数的计算,解题的关键是熟知立方根的计算,注意符号和运算顺序,带分数要转化成假分数再开立方.

14.-0.2

【分析】根据实数的性质依次化简即可.

【详解】(1);

(2);

(3);

(4)

故答案为:-0.2;;;.

【点睛】此题主要考查实数的性质化简,解题的关键是熟知立方根的定义.

15.(1)x=3;(2)x=﹣5.

【分析】(1)先整理成x3=a的形式,再直接开立方解方程即可.

(2)先整理成x3=a的形式,再直接开立方解方程即可.

【详解】解:(1)3(x﹣1)3=24,

(x﹣1)3=8,

x﹣1=2,

∴x=3.

(2)开立方得:x+1=﹣4,

解得:x=﹣5.

【点睛】本题是用开立方的方法解方程,熟练掌握立方根的定义是解题的关键.

16.0.76-53

【分析】(1)利用立方根的定义解答即可;

(2)利用立方根的定义解答即可;

(3)利用立方根的定义解答即可;

(4)利用立方根的定义解答即可.

【详解】(1)∵=0.343,

∴==0.7;

(2)∵-3=213,

∴=216,

∴==6;

(3)∵+125=0,

∴=-125,

∴==-5;

(4)∵=8,

∴a-1=2,

∴=3.

故答案为:0.7;6;-5;3.

【点睛】本题考查了利用立方根解方程,熟练利用立方根的定义是解决问题的关键.

17.烧杯内部的底面半径为6,铁块的棱长4

【分析】铁块排出的64水的体积,是铁块的体积,也是高为烧杯的体积.

【详解】解:铁块排出的64的水的体积,是铁块的体积.

设铁块的棱长为,可列方程解得

设烧杯内部的底面半径为,可列方程,解得6.

答:烧杯内部的底面半径为6,铁块的棱长4.

【点睛】应该熟悉体积公式,依题意建立相等关系(方程),解方程时,常常用到求平方根、立方根,要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.

18.

【详解】棱长为acm,bcm的正方体铝块的体积分别为a3cm3,b3cm3,它们熔化后制成的大正方体铝块的体积为(a3+b3)cm3,故大正方体铝块的棱长为cm.

19.(1);(2).

【分析】(1)根据即可求解;

(2)根据,故可求解.

【详解】解:(1)∵

∴;

(2)∵,

∴的6次方根为.

【点睛】此题主要考查实数的性质,解题的关键是熟知正数的偶次方根有两个,它们互为相反数.

20.有理数有:,,,,0;无理数有:,,,,,,0.3737737773……

【分析】根据有理数和无理数的定义分析即可.有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

【详解】有理数有:,,,,0,

无理数有:,,,,,,0.3737737773……

【点睛】常见的无理数有三种形式:①含类.②看似循环而实质不循环的数,如:0.3737737773……③带有根号的数,但根号下的数字开方开不尽,如,,,,.

21.错误正确错误错误错误错误错误正确

【分析】根据有理数,无理数,实数的概念逐项判断即可

【详解】(1)(错误)无理数不只是开方开不尽的数,还有,1.020020002…这类的数也是无理数;故答案为:错误.

(2)(正确)无理数是无限不循环小数,是属于无限小数范围内的数;故答案为:正确.

(3)(错误)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数,其中无限不循环小数才是无理数;故答案为:错误.

(4)(错误)0是有理数;故答案为:错误.

(5)(错误)如,虽然不带根号,但它是无限不循环小数,所以是无理数;故答案为:错误.

(6)(错误)如,虽然带根号,但=9,这是有理数;故答案为:错误.

(7)(错误)有理数还包括无限循环小数;故答案为:错误.

(8)(正确)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示,无理数是无限不循环小数,所以实数可以用有限小数和无限小数表示;故答案为:正确.

【点睛】本题考查了有理数,无理数,实数的概念,理解概念是解题的关键.

22.<.

【分析】根据,,可得,据此即可求解.

【详解】解:因为,,

∴,,

即,.

故:<

【点睛】本题考查实数的大小比较,实数的比较有多种方法,关键是求出和的取值范围,除了上述方法外,还有作商法、同分子法、倒数法等.

23.7

【详解】试题解析:∵2<<3,

∴3<+1<4,

∵x<+1<y,

∴x=3,y=4,

∴x+y=3+4=7.

故答案为7.

24.0或2.

【分析】分≥0和<0两种情况进行讨论即可

【详解】解:(1)当≥0时,,,

所以.

(2)当<0时,,,

所以.

即值为0或2.

【点睛】本题是涉及平方根(算术平方根)和立方根的综合运算,但还应注意本题需要分类讨论.要注意对的讨论,而开立方不需要讨论符号.

25.(1)4;(2)4.

【分析】(1)设的平方根为,,根据题意可得方程组,解方程组求得,由此即可求得a的值;

(2)先求的值,再求其算术平方根即可.

【详解】(1)∵的平方根是的一组解,则设的平方根为,,

则根据题意得:,

解得

∴为.

(2)∵.

∴的算术平方根为4.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解,利用平方根互为相反数得出方程组是解题的关键.

26.12.

【分析】由非负数的性质可得a+6=0,b2﹣2b﹣3=0,由此可得a=﹣6,b2﹣2b=3,再用整体思想求2b2﹣4b﹣a的值即可.

【详解】∵(a+6)2+=0,

∴a+6=0,b2﹣2b﹣3=0,

解得,a=﹣6,b2﹣2b=3,

可得2b2﹣4b=6,

则2b2﹣4b﹣a=6﹣(﹣6)=12,

故答案为:12.

【点睛】本题主要考查了非负数的性质,初中阶段有三种知识点的非负数:绝对值、偶次方、二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.

27.3.

【分析】根据非负数的性质列出方程求出x,y的值,代入所求代数式计算即可.

【详解】解:知条件得,

由②得,,∵,∴,则.

把代入①得,=1.

∴.

【点睛】本题考查的是算术平方根,绝对值的非负性,分式有意义的条件,代数式的值,掌握以上知识是解题的关键.

28.(1)1,2,0;(2)1,4,9;(3)3,0;

【分析】有效数字可以从左边第一个不是0的数开始数起;精确到哪一位,即对下一位的数字进行四舍五入.

【详解】(1)精确到百分位,有三个有效数字1,2,0;

(2)亿精确到百万位,有三个有效数字1,4,9;

(3)精确到千位,有两个有效数字3,0;

【点睛】主要考查了近似数和有效数字的确定.从左边第一个不是0的数开始数起,到精确到的数位为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.

29.(1);(2);(3);(4).

【分析】(1)根据分数指数幂的定义即可求解;

(2)根据分数指数幂的定义即可求解;

(3)根据分数指数幂的定义即可求解;

(4)根据分数指数幂的定义即可求解.

【详解】解:(1);

(2);

(3);

(4).

【点睛】此题主要考查分数指数幂的换算,解题的关键是熟知,其中为正整数,.

30.D

【分析】根据分数指数幂与乘方和开方的对应关系可得.

【详解】解:∵,

∴.

故选:D

【点睛】考核知识点:分数指数幂的意义.理解分数指数幂与乘方和开方的对应关系是关键.

31.(1)4;(2)3;(3)12;(4)4.

【分析】(1)可将分数指数幂表示成算术平方根的形式再求值;

(2)可将分数指数幂表示成立方根的形式再求值;

(3)可将分数指数幂表示成算术平方根的形式再求值;

(4)可将分数指数幂表示成四次方根的形式再求值;

【详解】(1);

(2);

(3);

(4).

【点睛】本题考查了分数指数幂,求分数指数幂的值,就是求一个数的方根,一个正数的分数指数幂的值是一个正数.

32.口算:(1);(2);(3).

【分析】(1)根据负有理指数幂的意义、正分数指数幂与n次方根的关系即可解决;

(2)根据正分数指数幂与n次方根的关系即可解决;

(3)根据正分数指数幂与n次方根的关系即可解决.

【详解】(1);

(2);

(3).

【点睛】本题考查了负有理指数幂的意义、正分数指数幂与n次方根的关系,熟练掌握它们是本题的关键.

33.(1);(2);(3).

【分析】根据用计算器求出一个分数指数幂的方法求解即可.

【详解】解:(1);

(2);

(3).

【点睛】利用计算器,可直接求出一个分数指数幂的值,要熟悉求分数指数幂的值与相应的乘方、开方运算之间的关系.

34.(1)6;(2)225;(3)1125;(4)

【分析】(1)根据有理数指数幂的运算性质计算即可;

(2)根据有理数指数幂的运算性质计算即可;

(3)根据有理数指数幂的运算性质计算即可;

(4)根据有理数指数幂的运算性质计算即可.

【详解】(1);

(2);

(3);

(4).

【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算性质,熟练运用有理数指数幂的运算性质是解决问题的关键.

35.a=-2;m=49.

【分析】根据正数的两个平方根互为相反数,可得方程(2a-3)+(5-a)=0,解方程即可求得a的值,代入即可求得m的两个平方根,由此即可求得m的值.

【详解】∵一个正数m的平方根为2a-3和5-a,

∴(2a-3)+(5-a)=0,

解得:a=-2.

∴2a-3=-7,5-a=7,

∴m=(±7)2=49.

【点睛】本题考查了平方根的定义,正数的平方根有两个是互为相反数,正的平方根叫算术平方根;负数没有平方根,零的平方根是零.

36.±3

【分析】根据算术平方根有意义的条件得出x的值,再求出y的值,得到结果.

【详解】解:由题意得:

解得=2

∴=3,,

∴的平方根为±3.

【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件、代数式求值和一元一次不等式组,属于基础题目,熟练掌握基本知识是解题的关键.

37.1.

【分析】根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解.

【详解】解:∵和互为相反数,

∴3-7+3+4=0

∴3()=3,

∴=1.

【点睛】此题主要考查代数式求值,解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义.

38.±2

【分析】估算得出整数a的值,求出之和确定出M,求出不等式的最大整数确定出N,进而确定出M+N的平方根.

【详解】解:∵,∴整数a=﹣1,0,1,2,它们的和M=﹣1+0+1+2=2,

∵,∴N=2,

∴M+N=2+2=4,4的平方根是±2.

∴M+N的平方根是±2.

【点睛】此题考查了估算无理数的大小,弄清估算无理数的方法是解本题的关键.

39.-17

【分析】因为所以的整数部分为,小数部分为代入求解即可.

【详解】

的整数部分为,小数部分为,

∴,

.

【点睛】本题考查无理数的估算、代数式求值,正确求得a和b值是解答的关键.

40.D

【分析】找到90左右两边相邻的两个平方数,即可估算的值.

【详解】本题考查二次根式的估值.∵,∴,∴.

一题多解:可将各个选项依次代入进行验证.如下表:

选项逐项分析正误

A若×

B若×

C若×

D若√

【点睛】本题考查二次根式的估算,找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.

41.<

【分析】仿照例题,做差后经过计算判断差与0的关系,从而比较大小.

【详解】解:∵

∴<

【点睛】实数比较大小常用的有作差法和作商法,根据具体情况加以选择.

42.

【分析】根据实数在数轴上的位置将表示在数轴上,比较大小即可

【详解】

又两边同时乘以

两边同时除以

将表示在数轴上:

综上所述:

故答案为:

【点睛】本题考查了求一个实数的相反数,倒数,实数大小的比较,数形结合是解题的关键.

43.(1)或表示为万;(2);(3)0.0306

【分析】根据四舍五入的方法按要求计算即可;

【详解】(1)万=或表示为万;

(2)12341000=;

(3)0.03056≈0.0306;

【点睛】本题主要考查了近似数的计算,准确计算和理解是解题的关键.

44.(1)8;(2)36;(3)576;(4)

【分析】(1)根据幂的运算公式即可变形求解;

(2)根据幂的运算公式即可变形求解;

(3)根据幂的运算公式即可变形求解;

(4)根据幂的运算公式即可变形求解.

【详解】解:(1);

(2);

(3);

(4).

【点睛】此题主要考查幂的运算,解题的根据是熟知有理数指数幂的运算法则.

45.x=4.

【详解】试题分析:根据如果几个非负数的和为0,那么这几个非负数都为0,可得a,b的值,再将a,b的值代入到方程中得到关于x的一元一次方程.

试题解析:

根据题意得,2a+8=0,b﹣=0,解得a=﹣4,b=,

所以(﹣4+2)x+3=﹣4﹣1,即﹣2x=﹣8,

解得x=4.

点睛:当一元一次方程中含有字母系数时,一般需要根据题目中的已知条件求出字母系数的值,再将所求得的字母系数的值代入到原方程中,得到关于未知数的一元一次方程,再来求解.

46.0

【分析】根据非负性列出方程组求出a,b,c即可求解.

【详解】解:∵

∴,

解得

∴.

【点睛】此题主要考查代数式求值,解题的关键是熟知平方、二次根式及绝对值的非负性.

47.(1)6.24;(2);(3)6.08.

【分析】(1)根据题目信息,找出41前后的两个平方数,从而确定出=6+k(0<k<1),再根据题目信息近似求解即可;

(2)根据题目提供的求法,先求出k值,然后再加上a即可;

(3)把a换成6,b换成1代入公式进行计算即可得解.

【详解】(1)因为,

所以设,则,

所以,所以,解得,

所以.

(2)

设,所以.因为,所以,解得,所以.

(3)因为,所以,,所以,

所以.

【点睛】本题考查了无理数的估算,读懂题目提供信息,然后根据信息中的方法改变数据即可,找出一般性的方法解决问题.

48.A

【分析】根据无理数的概念即可作答.

【详解】解:∵其中无理数有:,,;∴无理数出现的频数是3,

故选:A.

【点睛】本题考查无理数的概念,是中考的常考题,掌握无理数的内涵是基础.

49.A

【分析】根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算,然后根据有实数的运算法则求解即可.

【详解】原式

故答案为:A.

【点睛】本题考查了实数的混合运算,解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.

50.C

【分析】根据立方根的性质得到x﹣3=2x+1,求出x的值代入计算即可.

【详解】解:∵x为实数,且=0,

∴x﹣3=2x+1,

解得:x=﹣4,

∴x2+x﹣3=16﹣4﹣3=9,

∴=±3,

故选:C.

【点睛】此题考查了求一个数的平方根,以及立方根的性质:互为相反数的立方根也互为相反数.

51.D

【分析】根据f(x)表示的意义,分别求出f(1),f(),f(),…f()的值,再计算结果即可.

【详解】由f(x)表示的意义可得,f(1)=1,f()=1,f()=2,

f()=2,f()=2,f()=2,

f()=3,f()=3,f()=3,

∴f(1)+f()+f()+…+f()=1+1+2+2+2+2+3+3+3=19,

故选:D.

【点睛】本题考查了新定义问题,准确理解新定义的基本意义是解题的关键.

52.B

【分析】首先判断出b<0,c>a>0,|c|>|b|>|a|,再根据有理数的大小比较法则,绝对值的性质等知识一一判断即可.

【详解】解:由题意b<0,c>a>0,|c|>|b|>|a|,则

①ab+ac>0,故原结论正确;

②﹣a﹣b+c>0,故原结论错误;

③+=1﹣1+1=1,故原结论错误;

④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|=a﹣b+c+b﹣(﹣a+c)=2a,故原结论错误;

⑤当b≤x≤a时,|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b,故原结论正确.

故正确结论有2个.

故选:B.

【点睛】本题考查了实数大小比较、绝对值、数轴等知识;理解相关定义是关键.

53.B

【分析】将化简得,先估算的取值范围,再估算出的取值范围,进而确定在数轴上的位置即可.

【详解】

∴在点A和点B之间

故选:B.

【知识点】本题主要考查了数轴上表示实数的点所在位置的确定,准确对实数进行计算并估算取值范围是解决本题的关键.

54.2

【分析】直接利用算术平方根以及立方根的定义化简进而求出答案;

【详

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