量子力学练习答案

《量子力学》试题(A)

答案及评分标准一、简答题(30分，每小题5分)何谓势垒贯穿？是举例说明。答：微观粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。例如金属电子冷发射、a衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。波函数wG,J是应该满足什么样的自然条件？^仅〃2的物理含义是什么？答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。k(r,t)|2表示在t时刻r附近d'体积元中粒子出现的几率密度。分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？答：物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。坐标工分量算符与动量工分量算符Px的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。答：对易关系为L,px]=访，测不准关系为Ax-Ap^>2一……q一. … . .......厄米算符F的本征值人孔与本征矢|〃)分别具有什么性质?答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系二、证明题：(10分，每小题5分)证明：SSS=ixyz证明:由对易关系SS—证明:由对易关系SS—SS=2iSxyyx z及反对易关系SS+SS=0，得.qqq上式两边乘Sz，得SxSybz=Rz证明幺正变换不改变矩阵的本征值。

证：设F在A表象中的本征值方程为Fa=Xa,人为本征值，a为本征矢。将F和a从A表象变换到B表象，则有F=S-1FS,b=S-ia。在B表象中F'b=S-iFsS-ia=S-1Fa=S-Xa=XS-ia，即Fb=Xb。从而说明算符F在B表象中的本征值仍是X。三、（15分）质量为m的粒子，在一维无限深势阱中成）=；。，0<x<a[3, x<0,x>a中运动。（1）求粒子的能量本征值和本征函数。（2）若t=0时，粒子处于W（W（x,0）=p（x）—」1平（x）+1平（x）21状态上，其中，pG）为粒子能量的第n个本征态。求t=0时能量的可测值与相n应的取值几率。（3）求t>0时的波函数wG,'及能量可测值与相应的取值几率。解：（1）（5分）非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为兀2力2E=——n2, n=1,2,3,…n2ma2p（x）=;-sinnxn\aa（2）（5分）将w（x,0）归一化。 '12- '12-|c|2=1可知，归一化常数为c=.^—。u2J于是，归一化后的波函数为wG,0）wG,0）=昏1UQ+点G）能量的取值几率为W（E）=—;W（E）=—; W（E）=—1 13 2 13 3 13能量取其它值的几率皆为零。（3）（5分）因为哈密顿算符不显含时间，故t>0时的波函数为

wG,t)=(iwG,t)=(iXRE3t(\s--Et"力1-I1—甲(x)exp-

\132F由于哈密顿量是守恒量，所以t>0时的取值几率与t=0时相同。、二四、（15分）自旋为2、固有磁矩为M5（其中中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场B=B0k中，（1）求粒子的本征值和本征函数。（2）设t=0时，粒子处于s=2的状态，求出t>0时的波函数。（3）求出t>0时s与J的可测值及相应的取值几率。解：（1）（5分）体系的哈密顿算符为YBo16YBo16三方①6,①二一，B02zz 2H=—M-B=—YB0s=—在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为E=方①,1E=—枷,2（2）（5（2）（5分）在t=0时，方2|w(0)=|+)=*(：xV2k17粒子处于sz的状态，即而0T满足的本征方程为Xk0k1k0k1解之得气2+气2T(1X+:+\2k-1气2+气2T(1X+:+\2k-1JX由于，哈密顿算符不显含时间，故t>0时刻的波函数为w(tw(t)=j,

E1t)+)+(ijexjp-^Et'一=3（3）（5分）因为E,孔10，所以S《是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算t=0时S的取值几率就知道了，＞0时S的取值几率。由于ws由于ws=-,0=-；

"z2)2故有而s,的取值几率为-Et方2))(+|+(-|)expf-Et方2))l方1)'IBy

=C0SBy

=C0S2—t2exp一一Et+exp一l方1=-四,t]=s"土t) 2五、(15分)设氢原子处于wG,o,^)^j_R2i(r)y-0g&)-；R31G)Y10g,G-%R21S1g,g的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选H,L2,L「为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为E=一―e41n2力2n2 2分中（r,e,q=R （r）Y（0,中）其中，量子数的取值范围是 n川n=1,2,3,・・.l=0,1.2,…，n-1m=l,l-1,l-2,...,—l+1,-l利用归一化条件求出归一化常数为、一-、一-2主量子数n的可能取值只有两个，即n=2,3，于是E3 18力2E=-些W（E）=2WE3 18力2E=-些W（E）=2W（E）=1.3 4f1+1[122）_1—58力25 18力2即1=1，故有角动量量子数1的可能取值只有一个，L2—2力2,W°2—3力2）=1,L2—2力2角动量磁量子数m的可能取值有两个，即m=—1,0，于是L=0,W（L=—力）-1.4—2z255f11）—+—.124）5W（L=0）二六、（15分）一个电荷为q弱电场u=。,0,0）的作用，、质量为H和角频率为°的线谐振子，受到恒定 …一即H=—q&x，求其能量近似至二级修正，波函数至一级修正。 工 工解：体系的哈密顿算符为HH=—q&xH0的解为E「HGJ,nH0的解为E「、 _J.加 一• . _ 一 、由于H0的解无简并，可以利用无简并微扰论的计算公式H'H^E=E0+H'+Z_kn nk-k力n nk进行计算。由何中｝=:中以\2可知，H，可知，H，=一q8mna（% +\2m,n-1.n+1&1 2 m,n+1显然，能量-级修正Hkk=0，于是，得到能量二级近似为E5+Z2、nnk丰E0-E02ri、n+-2ri、n+-力①+I2:n+1o+_： ok,n+1Eo-Eo2q282q282呻2n+—力①+I2)ri\n+一力①+I2J波函数的一级近似为E上oH=knnn'n+1E上oH=knnn'n+1oE2 k,n+1归"-1〉lk>nlk>《量子力学》试题（B）答案及评分标准一、简答题（30分，每小题5分）何谓定态？它有什么特点？答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数中G,t）=wG2-门描写。在定态中几率密度和几率流密度都与时间无关；在定态中力学量的平均值与时间无关。简述全同性原理。答：在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态。3、 分别说明爱因斯坦的自发发射系数、受激辐射系数与吸收系数的物理意义。答：入威称为原子体系由七能级跃迁到七能级的自发发射系数，它表示原子在单位时间内由孔能级自发跃迁到气能级的几率。8麻称为受激发射系数，B*称为吸收系数。它们的意义分别是：设作用于原子的光波在oro+do频率范围内的能量密度是I（W》（W），则在单位时间内原子由孔能级受激跃迁到气能级、并发射出能量为homk的光子的几率是BI（omk）；在单位时间内原子由孔能级跃

迁到e能级、并吸收能量为袍k的光子的几率是Bk低4.简述pauli原理。答：在Fermi子体系中，不允许有两个或两个以上的Fermi子处于同一量子态。5.轨道角动量x分量算符与轨道角动量y分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。答:对易关系为L,LLi方L。测不准关系为(AL)2侦)>马顼2,在L的答:对易关系为x目 二 x y4zz本征态下为(本征态下为(AL)2 L)6.幺正变换具有什么性质？答：不改变矩阵对本征值、不改变矩阵的迹。二、证明题：(10分，每小题5分)(1)证明：厄密算符的本征值是实数。证：设F的本征值方程为即=人曜，人为本征值，v为本征函数。根据厄密算符的定义』w*的定义』w*F©&=』Fv)©&，令©=v，于是有xfv叩&=人」v叩&，由此得x*=x，即人为实数。1(2)证明2(Xpx+px)是厄米算符：证：Jv*[1(xp+px)WdT=1Jv*(xp)vdT+1Jv*(px)v血12xx2 2 1x2 2 1x2=2J(pxxv1)*v2dT+2J(xpxV1)*v2dT=J=J[1(xp2x+px))v1]*v2dT=J[2(pxx+xpx)v1]*v2dT1^(xpx+p广)是厄米算符。三、(15分)在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为。，如果粒子的状态由波函数v(x)=Ax(o-x)描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：由波函数v(x)的形式可知一维无限深势阱的分布。粒子能量的本征函

数和本征值为,、12sin呸x,0<x<aW(x“\P a0,x<0,x>an2n2兀2方2

2^a2(n=1,2,3,…)动量的几率分布函数为w(E)=\C|2nTOC\o"1-5"\h\zC=「w*(x)w(xx)dx=Jasin呸xW(x)dxn-x 0a先把W(x)归一化，由归一化条件，1=JxW(x)|2dx=JaA2x2(a—x)dx=A2Jax2(a2—2ax+x2)dx—8 0 0=A2Ja(a2x2-2ax3+x4)dx0a5a5a5 a5=A2( — + )=A2-2 5 3030A=・A\a530 n兀C 一sin——x-x(a—x)dx2^15 .n冗 ^ ,n冗xsinxdx—Jx2sinxdx]a3 0 a 0 a2^15a2 n冗 a3 .n冗 a n冗= [— xcos——x+ sin——x+ x2cos——xa3 n冗 a n2冗2 a nn a2a2 .nn 2a3 nn,a一 xsin—x一 cos—x]n2n2 a n3n3a0=^15[1—(—1)n]n3n3 5分240切(E)=CI2= [1—(—1)n]2n n6n6

960,n―1,3,5,,・・n6冗60,n—2,4,6,…E="甲(x)即(x)dx—JaW(x)^W(x)dx

y 0 2g30 方2d2=卜 x(x-a)-[-- x(x-a>)}dx0a5 2gdx2-些Iax(x-a)dx-30竺(竺-竺)

ga50 ga52 3_5力2ga2,一.一…一一..一一 .一....JL.四、（15分）设一体系未受微扰作用时有两个能级：41及气2，现在受到微扰H'的作用，微扰矩阵兀为H'=H'=a,H'=H'=b；a、b都是实数。用微扰公12 21 11 22式求能量至二级修正值。并严格求解，然后和微扰论结果比较。解：由微扰公式得叮=气H'mn之E（0）一E（0）EE⑴=H'=b

01 11E⑴=H'=b

02 2201£ \HfJ201£ \HfJ2 =a2mE01-E0/E01^E⑵02£H12=a2mE02-E07^02^能量的二级修正值为=E01a2E=E01a2E01一E02=E02+b+a2E^⑵严格求解得E⑵严格求解得E=即（"+E伞。土E^X1 2J在\b«|E（0）-E/l条件下作级数展开，取前两项，结果与微扰论结果相同。五、（15）设两个电子在谐振子势场中运动，每个电子的势能是U(r)=若体系的Hamilton算符与电子的自旋无关，求当一个电子处于基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成的体系的波函数和相应的体系的能量。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程方2—史0W(r)+U(r)W(r)=Ey(r)2旦方2,82d2d2、，、 1 ,、 _,、—2「办2+世2+边2)W(r)+2旦①2r2y(r)=Ey(r)考虑到r2=x2+J2+z2，令y(r)=X(x)K(j)Z(z)方2,82 82 82、一1 , 、一_一—2-(8—+8—+—)XYZ+2旦①2(x2+J2+z2)XYZ=EXYZ+岬2J2)/力2182X1 、/力2+岬2J2)(— +■①2x2)+(—2旦X8x2 2 2旦Y8x2力2182Z1+(— +一口①2z2)=E2旦Z8x22=(—加182X+1 x2)=ETOC\o"1-5"\h\z2旦X8x2 2(—归1竺+1旦①2J2)=E2旦Y8x22 j(—生—^^+1旦①2z2)=E2旦Z8x2 2 z

nX(x)=Ne-按x2H(ax)(y)=Ne-ta2y2H(ay)m m m(y)=Ne-；a2y2H(ay)mm mH(ax)H(ay)H,(az)H(ax)H(ay)H,(az)a其中N=】，一-n\ki/22〃n!nW=nW=W (r)=0 0003/2e-扣2对于沿x方向的第一激发态n=1m=/=0,H(x)=2axiW=WW=W(r)=2a5/2v2K3/41—xe2两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为W(r,r)=A[W(r)W(r)+W(rW(r))]TOC\o"1-5"\h\zS1 2w「2 0 1 1 2 110 2a4 1 1 a4 1,a2(r2+r2) a2(r2+r2) a2(r2+r2) [xeca 技1 +r2)+xeca(1 +r2)]— (x+x )e ca (r1 2)I/vJ2 1/vJ2 ] \ 1/v/J2a4 1a2(a4 1a2(r2+r2) (x2-x1)e2a(r1+r2)W(r,r)=4[W(r)W(r)-W(r)W(r)]A12 .、.•2 01 12 02 11而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即可、雄、、S3）时A综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即独态：①]=w$rr2）知三重态:气=wA([，r2)x?)%=WA(r，r)X"中=W(r,r)x⑶三重态:4A12S

六、（15分）设氢原子的状态是W=1R(r)Y(六、（15分）设氢原子的状态是W=TOC\o"1-5"\h\z21 11—R(r)Y(9,中)2 21 10求：（1）能量、轨道H3分2分3分2分3分2分\o"CurrentDocument"角动量平方L2、z分量L和自旋角动量平方S2、z求：（1）能量、轨道H3分2分3分2分3分2分1值出现的几率和这些力学量的平均值。（2）总磁矩M=-£l-9S的z分量平2日均值。解：n=2,E2=-,几率为1。L=2加，几率为1。L=方,0,几率分别为1/4,3/4,平均值为h：4。S2=3h2...・4，几率为1。S=h2,-h2,几率分别为1/4,3/4，平均值为-腹4。M=eh：8p。《量子力学》试题（C）

答案及评分标准一、简答题（30分）简述量子力学中态的叠加原理。答：如果W和W是体系的可能状态，那末它们的线性叠加W=cW+cW（c,c1 2 11 2 2 12是复数）也是这个体系的一个可能的状态，这就是量子力学中态的叠加原理。其含义为：当粒子处于W]和W2的线性叠加态W时，粒子是既处在态W],又处在态W2。简要解释一维线性谐振子的零点能。答：一维线性谐振子的零点能为E0=2ho，它是谐振子基态的能量，是一种量子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。分别说明爱因斯坦的自发发射系数、受激辐射系数与吸收系数的物理意义。答：Amk称为原子体系由孔能级跃迁到孔能级的自发发射系数，它表示原子在单位时间内由孔能级自发跃迁到气能级的几率。B^称为受激发射系数，B^称为吸收系数。它们的意义分别是：设作用于原子的光波在①r①+d①频率范围内的能量密度是I©S)，则在单位时间内原子由七能级受激跃迁到气能级、并发射出能量为力①心的光子的几率是B”(&)；在单位时间内原子由九能级跃迁到孔能级、并吸收能量为舟、的光子的几率是BJ叩。简述pauli原理。答：在Fermi子体系中，不允许有两个或两个以上的Fermi子处于同一量子态。坐标工分量算符与动量工分量算符Px的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。答：对易关系为tx,px]=访，测不准关系为Ax-Apx>2幺正变换具有什么性质？答：不改变矩阵对本征值、不改变矩阵的迹。二、证明题：(10分)(1)证明：厄密算符的本征值是实数。证：设F的本征值方程为Fw=^W，力为本征值，W为本征函数。根据厄密算符的定义』w*=』=)©&，令gw，于是有人』W*Wdc=~』w*wdc，由此得x*=x，即人为实数。(2)证明：SSS=i。xyz证：由对易关系SS—SS=2iS及反对易关系SS+SS=0，得66=i(Sxyz上式两边乘S，得SSS=icy2,/S2=1 SSS=iz xyzz z xyzO8,|x|>aT 中运动。(1), [0,|x|<a求能量本证函数和本征值。(2)证明在该粒子的任一定态中，动量的平均值为零。(3)设t=0时体系处于状态

TOC\o"1-5"\h\z1+i.2nx1 世IIsin + cos——,|x|<aa 、；2a 2a0,XI2a求t时刻的状态wG,D=?。（4）在上述wG,D态粒子的能量可能值及其几率、平均值。解：（1）（5分）能量本征值E="〃（n=1,2, ）n 8pa2能量本征函数J_LsinJ_LsinnK(x+a) (|x|<a)a 2a =<0 (|x|>a)■—sin^^x, (|x|<a),n=2,4,—\a 2acos^-x, (XI<a),n=1,3,—\a 2a0,(X>a)（2）由于粒子在所有定态波函数具有确定的宇称，而动量算符具有奇宇称，所以在粒子的任何一个定态中动量的平均值为零。（2分）(3)wG,0)=1-+iw4G)+#w1G)W（x,t）=1+iW4G）e-iEt/力+*WG）e-iEt/力（5分）兀2加 1 「 2兀2加1 17兀2加（4）E1 =8虹几率 2； E4=pa2，几率2； E=18pa2（3分）四、（15分）如果类氢原子的原子核不是点电荷，而是半径为r0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对r<r的区域有影响，对r>r的区域无影响。据题意知H=U(r)-U0(r)其中0（r）是不考虑这种效应的势能分布，即U（r）=-M-4双rU（r）为考虑这种效应后的势能分布，在r>七区域，U（r）=-^一-0在r＜七区域，U（r）可由下式得出,U(r)=—eMEdrZe4 —nr34nr333ZeZe r,4nsr300(r<r)(r>r)U(r)=—ejr0Edr—ej3Edrr r0Ze2fr/

0rdr一

4nsr3r00Ze2(r2—r2)—8nsr3000ZeZe2(r2—r2)—8nsr3000Ze2Ze2(3r2—r2)0(r<r)Ze2(3r2—r2)+0Ze28K8r300(r<r)(r>r)由于r很小，所以H<<H(0)2pV2+U0(r)可视为一种微扰，由它引起的Z3一级修正为（基态w.0）=（Z

—r

)1/2ea0na30=jv(0)*HV(0)dT1jr0[—Ze2na300(3r2—r2)8nsr3 000Ze2 —"r+ ]ear4nr2dr4nsr0・・r<<a0，2Zra0 〜1Z"2 jr0(3r02r2—r4)dr+生己0000 00Z4e2 r5 Z4e2 (r5—")+ r2

2nsa3r305 2nsa30Z4e2 r210nsa30002Z4e2 『r25a3 0010分一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒五、（15分）子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。1分设两个单粒子态为七，七，则体系可能的状态为气二4时（5（q） 3分1I1I2i3中=4(q)4(q)4(q)2j1j2j3 3分中=上[4(q)4(q)4(q)+4(q)4(q)4(q)；3i1i 2 j3i1i3j2+4(q)4(q)4(q)]i2i3j1中二—[4 (q )4 (q )4 (q )+4 (q )4 (q )4 (q )\：3j1 j 2i 3j1j3i2+4(q)4(q)4(q)]j2j3i11R(r)Y(O,中)六、（15分）设氢原子的状态是W二求：（六、（15分）设氢原子的状态是W二求：（1）能量、轨道•再 八一蛆R(r)Y(O,中)2 21 10角动量平方L、Z分量L和自旋角动量平方S、Z分量S的可能值、这些可能Z Z"["[值出现的几率和这些力学量的平均值。（2）总磁矩M=-—L-已S的Z分量平2日日均值。TOC\o"1-5"\h\z解：n=2,气=-箫^，几率为1。 3分L=2力2，几率为1。 2分、=方，0，几率分别为1/4，3/4，平均值为W:4。 3分S2=3力2.；4，几率为1。 2分S广方『2,-您2，几率分别为1/4，3/4，平均值为-方J4。 3分M=eh!如 2分°《量子力学》试题（A）答案及评分标准

一、简答题（30分，每小题6分）简述德布罗意假设？答：具有能量E和动量P的自由粒子与一个频率为v、波长为人的平面波相联系。E=ho,p=£。波函数wG,J是应该满足什么样的自然条件？^仅92的物理含义是什么？答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。k（r,t）|2表示在七时刻r附近d'体积元中粒子出现的几率密度。什么样的状态是束缚态？它是否可看成是平面波的叠加？答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。它可以用平面波展开。坐标x分量算符与动量x分量算符px的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。答：对易关系为L,px]=访，测不准关系为Ax-Apx>2一……q一. … . .......厄米算符F的本征值人孔与本征矢|〃）分别具有什么性质?答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系二、证明题：（10分，每小题5分）ddd•（1）证明：°x°■仁证明：由对易关系SS-6cy=2i6及反对易关系SS+SS=0，得.qqq上式两边乘.qqq上式两边乘°z，得。，七气=吒ggg•CTCTCT=Ixyz（2）证明幺正变换不改变矩阵的本征值。证：设F在A表象中的本征值方程为Fa=£a，人为本征值，a为本征矢。将F和a从A表象变换到B表象，则有F，=S-1FS,b=S-ia。在B表象中F'b=S-1FsS-1a=S-1Fa=S-1£a=£S-1a，即F'b=£b。从而说明算符F在B表象中的本征值仍是人。三、（15分）质量为m的粒子，在一维无限深势阱中成）=；。，0<x<aM， x<0,x>a

中运动。求粒子的能量本征值和本征函数。解：（15分）非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为E= 〃2, 72=1,2,3，…«2m。2（\ \2.nncpVx7=1—sm x〃 \aa四、（15分）自旋为、固有磁矩为材=浴（其中y为实常数）的粒子，处于2均匀外磁场B=Bk中，求粒子的本征值和本征函数。解：（15分）体系的哈密顿算符为箜岛三箜岛三Eq一以2 2H=—M•B=—yBs=•0zl<P)=Xl<P)=X&)=l+)<p)=xG)=|—)2' -1/2zfE=力。1E=一方。2五、（15分）设氢原子的状态是五、（15分）设氢原子的状态是W=R21-号R(r)Y(9,(p)2 21 10(叫％)。求：（1）能量、轨道角动量平方〃、Z分量£和自旋角动量平方。2、Z分量^的可能值、这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（2）总磁矩M=-—L--S的z分量平2|Ll|Ll均值。TOC\o"1-5"\h\z解：n=2,E=-叩：，几率为1。 3分2 8力2£2=2力2,几率为1。 2分L=九0,几率分别为1/4,3/4,平均值为方/4。 3分S2=3/z2/4,几率为1。 2分S=方,2,-您‘2,几率分别为1/4,3/4,平均值为-方/4。 3分M=e/z/8p六、（15分）一个电荷为0、质量为u和角频率为①的线谐振子，受到恒定弱电场U=G，0,0)的作用，即H=-q$x，求其能量至二级近似。解：体系的哈密顿算符为H解：体系的哈密顿算符为HH=—q&x、里.. ... ... 由于H0的解无简并，可以利用无简并微扰论的计算公式H'H^E=E0+H+£ kn nk.+|n+|n+1&m,n-1\2 m，n+1进行计算。由｛mx\n)=:i1筝以\2可知，H，可知，H，mn.n+1q om,n+1显然，能量-级修正Hkk=0，于是，得到能量二级近似为E5+£2、nn人丰E0—E0、n《 :n+K竺]2£

aJk丰竺]2£

aJk丰n*2k,n—1\'2 k,n+1Eo-E02上£h①k丰2上£h①k丰nq282呻2Sn+1Qo+o2k,n—1 2 k,n+1n+—力①+I 2Jr 1\n+一力①+I2J《量子力学》试题(B)答案及评分标准一、简答题(30分，每小题6分)何谓定态？它有什么特点？答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数中G,t)=wG2描写。在定态中几率密度和几率流密度都与时间无关；在定态中力学量的平均值与时间无关。简述全同性原理。

答：在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态。3、分别说明爱因斯坦的自发发射系数、受激辐射系数与吸收系数的物理意义。答：A^^称为原子体系由孔能级跃迁到孔能级的自发发射系数，它表示原子在单位时间内由孔能级自发跃迁到气能级的几率。B^称为受激发射系数，B^称为吸收系数。它们的意义分别是：设作用于原子的光波在①r①+d①频率范围内的能量密度是ISdS），则在单位时间内原子由七能级受激跃迁到孔能级、并发射出能量为叫k的光子的几率是BmI（&）；在单位时间内原子由九能级跃迁到孔能级、并吸收能量为舟、的光子的几率是BJ依）4.简述pauli原理。答：在Fermi子体系中，不允许有两个或两个以上的Fermi子处于同一量子态。5.轨道角动量x分量算符与轨道角动量y分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。答:对易关系为LyL^Li方七。测不准关系为（△气I-侦"^答:对易关系为本征态下为(本征态下为(AL)2L)二、证明题：（10分，每小题5分）（1）证明：厄密算符的本征值是实数。证：设F的本征值方程为Fw=^w，力为本征值，v为本征函数。根据厄密算符的定义』v*F^^dT=f^^v^^dT，令©=v，于是有人』w*VdT=人」v*VdT，由此得人*以，即人为实数。._1(2)证明2(xpx+pxx)是厄米算符：证：fv*[1(xp+px)]VdT=1fv*(xp)vdT+1fv*(px)vdT12xx2 2 1x2 2 1x2=-f(pxv)*vdT+-f(xpv)*vdT2x1 2 2x1 2=f[2(xpx+pxx))v1]*v2dT=f[2(px+xp)v1]*v2dT

12(xpx+pxX)是厄米算符。三、(15分)在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数v⑴=山(。-x)描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解：由波函数v(x)的形式可知一维无限深势阱的分布。粒子能量的本征函数和本征值为,、12sin竺x,0<x<aV(x>|Ta a0, x<0,x>an2冗2力2(n=1(n=1,2,3,…)n 2pa2动量的几率分布函数为w(E)=\C|2nTOC\o"1-5"\h\zC=』8甲*(x)v(x)dx=Jasin呸xv(x)dxn— 0a先把v(x)归一化，由归一化条件，1=J"V(x)|2dx=JaA2x2(a-x)dx=A2Jax2(a2-2ax+x2)dx-8 0 0=A2Ja(a2x2-lax3+x4)dx0a5a5a5、 a5=A2(a-—+a)=A2a2 5 30a2,30 n冗C=Ja—-——sin x-x(a-x)dx\'a\a5a=&5[aJaxsi xdx-Jax2si蓊xdx]a3 0a 0a2J15A3「“2 nn a3.nn a[-——xcos——x+ sin——x+——niz a 冗2a minitX2COS——a2a2«2712.nn 2a3 nn「xsinx-cosx]

a "3冗3a24ftG)(E)=|C|2=—[l-(-l)»]2«况6冗6960 9"6冗60,n—2,4,6,•••E=f°°w(x)即 =Jwoo史¥(尤用-oo o2jJ,=\a30x(x-a)[-^2d2x(x-a)Vxoas 2gdx^理iU“壮=次（竺-竺呻o 呻2 3四、（15分）设一体系未受微扰作用时有两个能级：E及E,01 02现在受到微扰白'的作用，微扰矩阵元为H'=H'=a,H'=H'=b；11 2212 21式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得"、。都是实数。用微扰公&i)=Hfn nnEq)nHf mu.E(o)-E(0)mn mE⑴=H'=b01 11

E⑴=H‘=b

02 22EQ)01W ml.E-EE-Em01 0m01 02E⑵=Z- Hm12 =—^—02 m E02-E0m E02一11..・能量的二级修正值为五、E1=E01+人+EE 5分01 02 5分一一。 a2E2=E02+b+E-E 5分02 01 5分(15)设两个电子在谐振子势场中运动，每个电子的势能是1”、( ,)U(r)=—日①2r2=一日①2'x2+J2+z272若体系的Hamilton算符与电子的自旋无关，求当一^电子处于基态，另一^电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成的体系的波函数和相应的体系的能量。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程方2 _ ,、-一Vv(r)+U(r)W(r)=E^(r)2旦方2d2 d2d2 1-京(相+斯+忘)v(r)+2岬2r2V(r)=Ev(r)考虑到 r2=x2+J2+z2，令V(r)=X(x)K(j)Z(z)力2,82d2d2、__1 , 、-一一_-2(8+8+8)XYZ+2旦①2(x2+J2+z2)XYZ=EXYZ,力2182X1 、,力2182Y1 、(-+-U①2X2)+(-+U①2J2)2旦X8x22 2旦Y8x22力2182Z1+(- +一口①2z2)=E2旦Z8x22n(-归—竺+1旦①2x2)=ETOC\o"1-5"\h\z2旦X8x2 2(-生1竺+1旦①2J2)=E2旦Y8x22 j加182Z1(— +—•①2z2)=E2旦Z8x2 2 z

E—E+E+EnX(x)—Ne-2*x2H(ax)(y)—Ne-1a2y2H(ay)TOC\o"1-5"\h\zm m m(y)—Ne-1a2y2H(ay)mm mW (r)—NNNe-2H(ax)H(ay)H(az)nm£ nm£ n m £>>> :a :u①其中N ,a=，——n、'兀1/22nn! \方对于基态n=m=£=0,H0—1nW=nW=W (r)—0 0003/2e-扣2对于沿X方向的第一激发态n=1m=£=0, H(x)=2ax1W=WW=W(r)—2a5/2V2K3/41—xe2两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为W(r,r)=A[W(r)W(r)+W(rW(r))]TOC\o"1-5"\h\zS12.J2 01 12 1102a4 1 1 a4 1,a2(r2+r2) a2(r2+r2) a2(r2+r2) [xeca 技1 +r2)+xeca(1 +r2)]— (x+x )e ca (r1 2)I/vJ2 1/vJ2 ] \ 1/v/J2a4 1a2(a4 1a2(r2+r2) (x2-x1)e2a(r1+r2)W(r,r)—土[W(r)W(r)-W(r)W(r)]A12 ：9 01 12 02 11而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即可、雄、、S3）时A综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即独态：①]=w$rr2）知三重态:气=wAr®x?)%=WA(fr)X"中=W(r,r)x⑶三重态:I4A12S

六、（15分）设氢原子的状态是W=1R(r)Y(六、（15分）设氢原子的状态是W=TOC\o"1-5"\h\z221 11—R(r)Y(9,中)2 21 10求：（1）能量、轨道H3分2分3分2分3分2分\o"CurrentDocument"角动量平方L2、z分量L和自旋角动量平方S2、z求：（1）能量、轨道H3分2分3分2分3分2分1值出现的几率和这些力学量的平均值。（2）总磁矩M=-£l-9S的z分量平2日均值。解：n=2,E2=-,几率为1。L=2加，几率为1。L=方,0,几率分别为1/4,3/4,平均值为h：4。S2=3h2...・4，几率为1。S=h2,-h2,几率分别为1/4,3/4，平均值为-腹4。M=eh：8p。《量子力学》试题（C）

答案及评分标准一、简答题（30分，每小题6分）简述量子力学中态的叠加原理。答：如果W和W是体系的可能状态，那末它们的线性叠加W=cW+cW（c,c1 2 11 2 2 12是复数）也是这个体系的一个可能的状态，这就是量子力学中态的叠加原理。其含义为：当粒子处于W]和W2的线性叠加态W时，粒子是既处在态W],又处在态W2。简要解释一维线性谐振子的零点能。答：一维线性谐振子的零点能为E0=2ho，它是谐振子基态的能量，是一种量子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。分别说明爱因斯坦的自发发射系数、受激辐射系数与吸收系数的物理意义。答：Amk称为原子体系由孔能级跃迁到孔能级的自发发射系数，它表示原子在单位时间内由孔能级自发跃迁到气能级的几率。B^称为受激发射系数，B^称为吸收系数。它们的意义分别是：设作用于原子的光波在①r①+d①频率范围内的能量密度是I©S），则在单位时间内原子由七能级受激跃迁到气能级、并发射出能量为力①心的光子的几率是B”（&）；在单位时间内原子由九能级跃迁到孔能级、并吸收能量为舟、的光子的几率是BJ叩。简述pauli原理。答：在Fermi子体系中，不允许有两个或两个以上的Fermi子处于同一量子态。坐标工分量算符与动量工分量算符Px的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。答：对易关系为tx,px]=访，测不准关系为Ax-Apx>2二、证明题：（10分，每小题5分）（1）证明：厄密算符的本征值是实数。证：设F的本征值方程为Fw=^W，力为本征值，W为本征函数。根据厄密算符的定义』w*=』=）©&，令gw，于是有人』W*Wdc=~』w*wdc，由此得x*=x，即人为实数。（2）证明：SS